Determinarea primelor de asigurare la asigurarile traditionale de viata

Determinarea primelor de asigurare la asigurarile traditionale de viata

1.1. Ipoteze utilizate in evaluarile actuariale specifice asigurarilor traditionale de viata

Principalele evaluari actuariale:

tarifare - stabilirea primelor de asigurare, inclusiv elaborarea tabelelor de mortalitate, estimarea cheltuielilor incluse in primele de asigurare, determinarea adaosului de risc s.a.;

testele de profitabilitate, se utilizeaza tehnici de tipul cash - flow;

calculul rezervei matematice, a sumei (Σ) de rascumparare, a Σ reduse;

determinarea si repartitia excedentelor catre asigurati;

determinarea marjei de solvabilitate si alte investitii privind managementul financiar.

Motivatiile incheierii asigurarilor de viata:

acoperirea unui risc (componenta de protectie): invaliditate, boala, deces

initierea si mentinerea unui plan de economisire pe termen lung (componenta de investitii).

Din punct de vedere al fundamentarii statistice distingem:

produse traditionale de asigurare de viata. Exista aici o Σ asigurata/anuitate garantata, primele sunt constante;

alte produse, gen contracte unit-linked (contracte legate de performanta portofoliilor de investitii), contracte cu prime variabile, etc.. Unit-linked, nu se garanteaza asigurata, riscul este asumat de asigurat, prime variabile.

Ne vom referi in continuare la produsele traditionale de asigurare de viata. Un astfel de contract de asigurare de viata fixeaza prestatiile la care se angajeaza asiguratorul respectiv, marimea si data la care sunt scadente primele de asigurare. Pentru aceste contracte asiguratorul nu are posibilitatea cresterii primelor sau reducerii prestatiilor in cursul asigurarii. Calculul primelor de asigurare si alte evaluari specifice necesita emiterea unor ipoteze privind evolutia pe termen lung (zeci de ani) a urmatoarelor elemente:

ratele mortalitatii pe varste. Este necesara de fapt aici legea de mortalitatea specifica asiguratilor; aceasta lege se exprima in practica, cel mai adesea, printr-o tabela de mortalitate care indica probabilitatea ca un asigurat de varsta x sa decedeze inainte de a implini x + 1 ani cu q_w = 1;

Ratele din tabela de mortalitate este indicat a fi subestimate pentru asigurarile de deces, respectiv supraestimate pentru asigurarile de supravietuire/anuitati;

rata rentabilitatii investitiilor garantata de asigurator, la investirea fondului de asigurare (rezerva), numita generic rata dobanzii "i". Aceasta este rata dobanzii in baza careia se calculeaza valoarea actualizata a prestatiilor asigurate respectiv a primelor de asigurare. Asiguratorul garanteaza o rata a dobanzii modesta de regula intre 3% - 6%,

cheltuielile asiguratorului, cu care se incarca prima neta de asigurare. Pentru estimarea si alocarea acestora pe polite se au se au in vedere statistici din trecutul asiguratorului;

alte elemente: rata rascumpararilor, adaos de risc, etc.

Acestea sunt bazele tehnice specifice asigurarilor de viata. Ipotezele fiind stabilite cu precautie, rezulta in general prime mai mari decat cele efectiv necesare asiguratorului pentru onorarea obligatiilor sale fata de asigurati si acoperirea cheltuielilor sale. Majoritatea contractelor de asigurare includ o clauza ce da dreptul asiguratilor sa participe la profitul (excedentul) obtinut de asigurator; rezulta excedente ce se repartizeaza periodic asigutatilor. Aceasta reprezinta de fapt o corectie adusa primelor de asigurare (asiguratii platesc prime mai mari decat cele efectiv necesare).

1.2. Prime nete de asigurare

Tabela de mortalitate

O asigurare de viata este o operatiune financiara a carei flux depinde de supravietuirea sau decesul unuia sau a mai multor persoane. Ele depind deci de variabile aleatoare: durata de viata a uneia sau a mai multor persoane. Notatii:

q_x probabilitatea de deces la varsta x (numar de deces/numar populatie expusa riscului).

l_x numarul de supravietuitori la varsta de x ani

numar de decese la varsta de x ani

l_x+1 = l_x - d_x

factorul de actualizare

Numere de comutatie:

; ; ; .

Prima neta unica

Vom prezenta in continuare formulele de calcul a primei nete unice pentru cateva din asigurarile traditionale de viata, cele mai des intalnite.

a) Asigurarea temporara de deces, prevede plata sumei asigurate la deces, daca asiguratul decedeaza pe durata asigurarii.

x    x+1 x+2 . x+n

d_x d_x+1 . d_x+n-1

Functie de numerele de comutatie obtinem:

b) Asigurarea viagera de deces, prevede plata sumei asigurate la momentul decesului

c) Asigurarea de supravietuire, prevede plata Σ asigurate la expirarea asigurarii daca asiguratul este in viata la aceasta data (la varsta de x+n ani)

d) asigurarea mixta, prevede plata Σ asigurate la deces daca acesta decedeaza inainte de expirarea politei respectiv la expirarea politei daca asiguratul este in viata la aceasta data

e) anuitati (rente, pensii). Anuitate viagera imediata temporara anticipata, prevede plata 1 u. m. la inceputul fiecarui an din perioada celor n ani daca asiguratul este in viata la momentul platii

l_x    l_x+1 l_x+n

1 2 n

Anuitate viagera imediata anticipata, prevede plata 1 u. m. la inceputul fiecarui an daca asiguratul este in viata la momentul platii

Exista multe alte tipuri de anuitati.

1.2.2. Prima neta anuala

In cazul platii unor prime esalonate volumul total al primelor incasate este aleator deoarece depinde de momentul decesului asiguratului.

Prima anuala se deduce din principiul echivalentei: valoarea actualizata, la incheierea asigurarii, a obligatiilor asiguratului = valoarea actualizata, la incheierea asigurarii, a obligatiilor asiguratorului.

Valoarea actualizata, la incheierea asigurarii, a obligatiilor asiguratului = prima unica a asigurarii.

Daca prima anuala se plateste la inceputul fiecarui an de asigurare, pe parcursul celor p ani, atata timp cat asiguratul este in viata atunci valoarea actualizata a obligatiilor asiguratului este egala cu . Din egalitatetea aferenta principiului echivalentei rezulta prima anuala. Spre exemplu in cazul asigurarii mixte:

rezulta

1.3. Prime brute de asigurare

Exista 2 mari grupe de cheltuieli ale asiguratorului:

cheltuieli legate de administrarea portfoliului de asigurari. Acestea se adauga la prima neta.

cheltuieli legate de investitiile efectuate de asigurator. Sunt luate in considerare prin scaderea ratei dobanzii i utilizate in actualizare.

Redam mai jos o structura a cheltuielilor de asigurare, structura ce consideram a fi relativ apropiata de strucura reala a cheltuielilor asiguratorului.

O alta clasificare utilizata frecvent in tarifare presupune doar trei grupe mari de cheltuieli:

cheltuieli de achizitie, ce apar cu ocazia subscrierii contractelor: publicitate, comisioane, evaluarea riscului, emitere polite s.a.;

cheltuieli de administrare sau de gestiune, ce apar pe toata durata contractului: evaluari periodice privind rezerva, excedentele, modificarea elementelor politei si alte elemente, etc. Fiecare contract contribuie la formarea cheltuielilor de gestiune ale asiguratorului;

cheltuieli de incasare, specifice asigurarilor cu prime periodice, si se includ de regula ca si procent din prima de asigurare bruta.

1.3.1. Prime brute anuale

a) Asigurari de deces si asigurari mixte. Traditional:

cheltuielile de achizitie α sunt incluse ca si % din suma asigurata (SA) si se efectueaza la incheierea asigurarii

cheltuieli curente β sunt % din prima bruta (P_b); se efectueaza la inceputul fiecarui an de plata a primelor

cheltuieli de administratie γ sunt % din suma asigurata; se efectueaza la inceputul fiecarui an de asigurare.   

Se incarca prima neta cu cheltuieli. Se tine seama atat de momentul la care se efectueaza aceste cheltuieli (de catre asigurator) cat si de modul in care variaza (proportional cu prima, cu suma asigurata, suma fixa pe polita). Exemplu: α = 35% SA, β = 3% P_b, γ = 4%0 SA.

Principiul echivalentei: valoarea actualizata a primelor brute = valoarea actualizata a obligatiilor asiguratorului privind plata beneficiilor din asigurare respectiv acoperirea cheltuielilor sale de asigurare.

Obligatia asiguratului: sa plateasca P_b in fiecare an, atata timp cat este in viata, pe durata celor p ani.

Obligatia asiguratorului: plata sumei asigurate conform contractului si acoperirea cheltuielilor de asigurare.

a1) Asigurarea temporara de deces

Din principiul echivalentei, obligatii asigurat = obligatii asigurator, rezulta:

unde este prima unica neta pentru acest tip de asigurare.

In cazul particular cand primele se platesc pe toata durata asigurarii n = p rezulta

Pentru o suma asigurata SA oarecare prima bruta (tarifara) = SA · P_b. De regula, in practica, se utilizeaza tabele in care se gaseste nivelul acestor prime pentru o suma asigurata egala cu 1000 lei.

a2) Asigurarea viagera de deces

respectiv

dupa cum primele se platesc pe termen limitat (p ani) sau nelimitat.

a3) Asigurarea mixta de viata

unde este prima unica neta pentru acest tip de asigurare.

In cazul particular cand primele se platesc pe toata durata asigurarii n = p rezulta

1.3.2. Prime brute unice

Specific primelor brute unice este faptul ca prima nu se majoreaza prima neta cu cheltuieli de incasare β.

a) Anuitati viagere

Consideram o anuitate viagera anticipata imediata. Vom calcula prima unica bruta A_b. Ipoteze privind cheltuielile:

cheltuilele legate de achizitie α vor fi incluse aici ca si % din prima unica bruta (A_b), la inceputul primului an de asigurare;

cheltuielile cu plata anuitatii (pensiei) si cheltuielile de administrare a politei se efectueaza la inceputul fiecarui an de plata a pensiei si se includ ca si procent din fiecare anuitate (pensie) platita.

Rezulta, in aceste ipoteze, urmatoarea expresie de calcul a primei unice brute:

.

b) Asigurari de deces si asigurari mixte, cu prime unice

In cazul platii unei prime unice cele doua grupe de cheltuieli, de achizitie respectiv administratie, pot fi incluse spre exemplu astfel:

cheltuielile de achizitie α sunt % din suma asigurata si se efectueaza la inceputul primului an de asigurare

cheltuieli de administratie γ sunt % din suma asigurata si se efectueaza la inceputul fiecarui an de asigurare.

Rezulta, in cazul asigurarii mixte de viata, o relatie de forma:

Observatii:

1. Exista si alte modalitati de includere a cheltuielilor in prime (mai multe grupe de cheltuieli, diferente privind momentul efectuarii si includerii cheltuielilor). Important: structura cheltuielilor incluse in prima trebuie sa fie cat mai apropiata de structura reala inregistrata de catre asigurator.

2. α, β, γ difera de la o societate de asigurare la alta si de la o forma de asigurare la alta.

3. In cazul primelor subanulale se utilizeaza anuitati fractionate. O varianta simplificata: se imparte prima anuala la 12, 4 respectiv 2 pentru prime lunare, trimestriale respectiv semestriale si se majoreaza cu un anumit procent ex. 5%, 3% respectiv 2% .

1.4. Probleme

Problema 1. O asigurare mixta se incheie la varsta de 35 ani, durata de asigurare 20 de ani, durata de plata a primelor egala cu durata de asigurare, suma asigurata 10 000 lei. Mortalitatea este conforma cu tabela de mortalitate 1990 - 1992 barbati, iar rata tehnica a dobanzii i = 3,5%. Se cere:

a) prima unica neta respectiv prima anuala neta

b) prima bruta anuala P_b (prima tarifara anuala), in urmatoarele ipoteze privind cheltuielile: α = 30 %0 SA la inceputul primului an

β = 4 % P_b la inceputul fiecarui an de plata a primelor

γ = 5 %0 SA la inceputul fiecarui an de asigurare.

Rezolvare

a) Prima unica neta (SA = 1):

Aferent sumei asigurate, prima unica neta = 10 000 ∙ 0,524 = 5 240 lei.

Prima anuala neta (SA = 1):

Pentru SA = 10 000 lei, prima anuala neta = 0,0372 ∙ 10 000 = 372 lei.

Observatie = 14,076 < 20 deoarece intervine actualizarea respectiv anuitatile se plateasc pana la deces iar acesta poate interveni inainte de trecerea celor 20 de ani.

b) Prima bruta anuala (SA = 1):

Pentru SA = 10 000 lei, prima anuala bruta = 10 000 ∙ 0,0412 = 412 lei.

Problema 2. O anuitate viagera imediata anticipata, ce prevede plata a 5 000 lei anual, este cumparata la varsta de 60 ani. Se utilizeaza tabelaa de mortalitate 1990 - 1992 barbati, iar rata tehnica a dobanzii i = 3,5%.

Se cere: a) prima neta

b) prima bruta, cheltuielile incluse in prima fiind:

- α = 4 % din prima bruta, la incheierea asigurarii

- γ = 1 % din fiecare pensie anuala, la inceputul fiecarui an de plata a pensiei.

Rezolvare

a) Pentru o pensia anuala egala cu 1 leu, platibila cat timp asiguratul este in viata, plata pensiei incepand imediat dupa momentul incheierii contractului, asiguratul plateste o prima unica neta egala cu:

Aferent pensiei de 5 000 lei anual, prima neta unica = 5 000 ∙ 12,059 = 60 295 lei.

b) Prima bruta unica:

Pentru o pensie de 5 000 lei anual, prima bruta unica = 5 000 ∙ 12,687 = 63 435 lei.

Problema 3. O asigurarea temporara de deces se incheie la varsta de 30 ani, durata asigurarii fiind de 20 ani egala cu durata de plata a primelor iar suma asigurata 50 000 lei. Se utilizeaza aceeasi tabela de mortalitate1990 - 1992 barbati, rata dobanzii i = 3,5%. Se cere:

a) prima unica neta

b) prima anuala bruta, cheltuielile incluse in prima fiind:

α = 10 % din P_b pentru fiecare an de plata a primei

β = 2 % din P_b pentru fiecare an de plata

γ = 1 %0 din SA pentru fiecare an de asigurare.

Rezolvare

a) Prima unica neta:

Prima anuala neta:

Pentru SA = 50 000 prima unica neta este 4 645 respectiv prima anuala neta 325.

b) Prima anuala bruta:

Aferent sumei asigurate de 50 000 lei, prima bruta anuala = 432 lei.

Problema 4. a) Influenta dobanzii si a mortalitatii asupra primei de asigurare.

b) Ce pondere are prima necesara acoperirii riscului de deces in prima de asigurare a asigurarii mixte?

Rezolvare

Exemplificam nivelul primei anuale brute pentru o asigurare mixta respectiv o asigurare temporara de deces cu urmatoarele caracteristici: x = 40 ani, n = 5 ani, SA = 50 mil.lei, tabela de mortalitate 1996 - 1998.

Concluzii din tabel:

1. Prima de asigurare e sensibila la modificarile dobanzii, mai pronuntat la asigurarea mixta unde exista si o componenta de economisire.

2. Daca comparam primele la cele doua tipuri de asigurari observam ca ponderea costului asigurarii de deces in prima asigurarilor mixte este foarte mica.

3. Daca asiguratorul garanteaza o dobanda de 25% la fructificarea rezervei, atunci nivelul primei este mult mai mic. Exista insa garantia obtinerii de catre asigurator a unei rate a rentabilitatii investitiilor egala cu 25% in urmatorii 5 ani?