Probleme rezolvate. Asigurari clasice de viata

Problema 1 O asigurare mixta de viata se incheie la varsta x = 22 ani, pe o durata n = 20 ani. Durata de plata a primelor p = 20 ani. Suma asigurata SA = 20 000 u.m.. Se utilizeaza in calcul tabela de mortalitate 1990 - 1992 barbati respectiv o rata a dobanzii i = 3,5%. Se cere:

a)     prima unica / prima anuala neta

b)     prima anuala bruta (tarifara), cheltuielile incluse in prima fiind: α = 40%0 din suma asigurata la inceputul primului an de asigurare, β = 5% din prima bruta la inceputul fiecarui an de plata a primelor, γ = 7% din suma asigurata la inceputul fiecarui an de asigurare

c)     rezerva matematica neta a asigurarii dupa m = 0, 1, 10 respectiv 20 ani

d)     rezerva bruta (Zilmer) a asigurarii dupa m = 0,1, 10 respectiv 20 ani

e)     suma de rascumparare dupa 10 ani, in ipoteza ca asiguratorul garanteaza o suma de rascumparare egala cu 99% din rezerva matematica bruta

f)      suma redusa la care este indreptatit asiguratul dupa 10 ani de la incheierea asigurarii, utilizand una din relatiile de calcul prezentate.

Rezolvare

a) Prima unica neta:

Pentru SA = 20 000, prima unica neta = 0,51 ∙ 20 000 = 10 200.

Prima anuala neta:

unde

Pentru SA = 20 000, prima anuala neta = 0,0352 ٠

b) Prima anuala bruta:

Pentru SA = 20 000, prima anuala bruta = 20 000 ∙ 0,0473 = 946.

c) Rezerva matematica neta dupa m ani:

Rezerva matematica neta la sfarsitul primului an de asigurare (m = 1):

deoarece

Rezerva matematica neta dupa 10 ani de la incheierea asigurarii:

unde

Pentru o suma asigurata egala cu 20 000, rezulta urmatoarele valori ale rezervei matematice nete:

d) Rezerva matematica bruta (Zilmer) dupa m ani:

La o suma asigurata de 20 000 obtinem urmatoarele valori ale rezervei brute:

e) Suma de rascumparare, dupa 10 ani de la incheierea asigurarii:

.

Corespunzator unei sume asigurate de 20 000 obtinem    ₁₀S = 7 652.

f) Suma asigurata redusa, la sfarsitul a 10 ani de la incheierea asigurarii:

Pentru SA = 20 000 rezulta ₁₀S = 1 074. Daca asiguratul opteaza pentru transformarea asigurarii la suma redusa, dupa 10 ani de la incheierea politei, acesta va ramane in continuare asigurat la o suma asigurata egala cu 1 074.

Problema 2. O anuitate viagera anticipata imediata, ce prevede plata a 1000 u.m. anual,    este cumparata la varsta x = 55 ani. Se utilizeaza in calcul tabela de mortalitate 1990 - 1992 barbati respectiv o rata a dobanzii i = 3,5%. Se cere:

a)     prima neta

b)     prima bruta, cheltuielile incluse in prima fiind α = 6% din prima unica bruta la incheierea asigurarii, γ = 2% din suma platita la inceputul fiecarui an de plata a anuitatii

c)     rezerva matematica neta dupa 5 respectiv 20 de ani

d)     rezerva matematica bruta dupa 5 respectiv 20 de ani de la cumpararea anuitatii.

Rezolvare

a) Prima neta:

Prima bruta rezulta din principiul echivalentei

Corespunzator unei pensii anuale egale cu 1000 rezulta o prima neta 13 787 respectiv prima bruta 14 147.

c) Rezerva matematica neta:

La o pensie anuala egala cu 1000 rezerva neta dupa 5 ani este 12 060 respectiv 6 810 dupa 20 de ani.

d) Rezerva matematica bruta:

Pentru o pensie anuala egala cu 1000 rezerva bruta dupa 5 ani este egala cu 12 301 respectiv 6 878 dupa 20 de ani.

Problema 3. O asigurare temporara de deces se incheie la varsta x = 45 ani, durata asigurarii find n = 10 ani. Suma asigurata SA = 100 000 u.m. Se cere:

a)     prima unica neta respectiv prima anuala neta

b)     prima anuala bruta P_b, cheltuielile incluse in prima fiind α = 30% din P_b pentru fiecare an de plata a primei, β = 3% din P_b pentru fiecare an de plata a primei respectiv γ = 3% din suma asigurata pentru fiecare an de asigurare.

Rezolvare

a) Prima unica neta:

Prima anuala neta:

unde

Pentru SA = 100 000 prima unica neta este 8 200 respectiv prima anuala neta 980.

b) Prima bruta anuala rezulta din principiul echivalentei

Aferent sumei asigurate SA = 100 000 prima anuala bruta este 1 900.

Problema 4. O asigurare mixta de viata se incheie la varsta x = 22 ani, pe o durata n = 5 ani. Durata de plata a primelor p = 5 ani. Suma asigurata SA = 1 u.m.. Cheltuielile incluse in prima bruta anuala sunt α = 40%0 din suma asigurata la inceputul primului an de asigurare, β = 5% din prima bruta la inceputul fiecarui an de plata a primelor, γ = 7% din suma asigurata la inceputul fiecarui an de asigurare. Presupunem de asemenea ca portofoliul asiguratorului contine 100 000 de astfel de polite de asigurare. Se utilizeaza in calcul tabela de mortalitate 1990 - 1992 barbati respectiv o rata a dobanzii i = 3,5%.

Calculati valoarea actualizata a profitului, daca rata dobanzii obtinuta de asigurator la investirea fondului de asigurare este 25%. Aceeasi rata a dobanzii se va utiliza si in actualizarea profitului.

Rezolvare

Prima anuala bruta:

astfel

Explicatii

(1) Numarul politelor in vigoare la inceput de an se determina tinand seama de probabilitatile de supravietuire .

.

(2) Venituri din prime, la inceput de an = (1) · P_b

(3) Cheltuieli, la inceput de an:

anul 1

cheltuieli per polita = α + β + γ = 0,04 + 0,05 ∙ 0,28792 + 0,007 = 0,0614

cheltuieli per portofoliul = 100 000 ٠

anul 2

cheltuieli per polita = β + γ = 0,05 ∙ 0,28792 + 0,007 = 0,0214

cheltuieli per portofoliu = 99869 ٠

Cheltuielile per polita raman constante incepand cu anul 2 iar per portofoliu scad usor datorita scaderii numarului politelor ramase in vigoare.

(4)Venitul din investitii, la sfarsit de an = [(3) -(4)] ٠

(5) Plati urmare a deceselor aparute per portofoliu, la sfarsit de an

Numar decese per portofoliu, in anul1 = 100 000

(7) Cash flow, la sfarsit de an = (2) + (4) - (3) - (5 )- (6)

(8) Cresterea in rezerva

Prima neta anuala:

Rezerva matematica neta la sfarsitul primului an:

Rezerva matematica neta la sfarsitul anului 2:

rezulta

astfel

Cresterea in rezerva, la sfarsitul fiecarui an de asigurare:

(9) Profit, la sfarsit de an = (7) - (8)

Valoarea actualizata a profitului:

factorul de actualizare fiind .

Problema 5. Se considera datele din problema 4. Daca rata rentabilitatii investitiilor ceruta de investitori = 12%, analizati profitabilitatea produsului de asigurare prin prisma celor 4 criterii prezentate la curs.

Rezolvare

Valoarea actualizata a profitului per polita subscrisa:

Profitul per polita subscrisa:

a) Marja de profit:

Daca marja minima de profit se cere a fi 5% atunci produsul este profitabil, prin prisma acestui criteriu, deoarece:

2) Se observa ca in acest caz nu este nevoie de un capital initial, produsul de asigurare generand profit din primul an.

3) Rata interna a rentabilitatii (RIR) este rata dobanzii pentru care valoarea actualizata a profitului este zero VAP = 0. In cazul nostru ecuatia

nu are solutie.

4) Cheluielile legate de achizitie sunt aici α = 40% SA = 0,04 ٠

Daca se considera procentul p egal cu 50% atunci produsul de asigurare este profitabil, prin prisma acestui criteriu, deoarece: 0,472 > 0,5 0,04 adica

VAP ≥ 0,05 · comisionul de achizitie.