Rezerva matematica. Rezerva neta, rezerva bruta (rezerva Zillmer)

Rezerva matematica. Rezerva neta, rezerva bruta (rezerva Zillmer)

Rezerva matematica la un moment dat m = suma (fondul) de care trebuie sa dispuna asiguratorul, la momentul m, astfel incat aceasta impreuna cu primele ce urmeaza a fi incasate sa acopere viitoarele plati ale asiguratorului.

Rezerva + Valoarea actualizata a obligatiilor viitoare ale asiguratului = Valoarea actualizata a obligatiilor viitoare ale asiguratorului

Rezerva = Valoarea actualizata a obligatiilor viitoare ale asiguratorului - Valoarea actualizata a obligatiilor viitoare ale asiguratului.

Ambii termeni se actualizeaza la momentul m cand se efectueaza calculul rezervei.

Acesta este modul prospectiv de evaluare a rezervei. Rezerva poate fi evaluata si retrospectiv:

Rezerva = incasari efectuate - plati efectuate.

Rezultatul obtinut prin cele doua metode este acelasi.

Rezerva se calculeaza individual pentru fiecare polita, atata timp cat polita este in vigoare, si reprezinta o obligatie a asiguratorului fata de asiguratii sai; in contabilitate acesta se inregistreaza intr-un cont de cheltuieli. La sfarsitul anului financiar, cand asiguratorii isi determina bilantul, regasim rezerva matematica in pasiv. Aceasta reprezinta valoare actualizata, in ziua incheierii bilantului, a angajamentelor asiguratorului aferente tuturor contractelor de asigurare in vigoare. Autoritatile de supraveghere a asigurarilor vegheaza ca rezerva sa fie calculata cu prudenta si pot impune baze tehnice minime pentru evaluarea ei; aceste baze pot fi distincte de cele utilizate pentru tarifarea contractelor.

Formulele de calcul a rezervei furnizeaza valoarea rezervei la sfarsitul fiecarui an de asigurare. Rezerva la sfarsitul anului financiar se aproximeaza de regula prin interpolare liniara intre cele doua rezerve invecinate.

1. Rezerva matematica neta

In calculul rezervei nete se au in vedere doar obligatiile asiguratorului legate de riscurile asigurate (ne se tine seama si de cheltuielile de administrare aferente politei) respectiv primele nete ca si obligatii de plata ale asiguratului

Notam cu mV_x valoarea rezervei nete dupa m ani de la incheierea politei (asiguratul are, in momentul calcului rezervei, varsta de x + m ani).

Obligatii viitoare ale asiguratorului = prima unica neta a asigurarii, calculata pentru varsta de x + m ani si durata de asigurare ramasa n - m ani.

Obligatii viitoare ale asiguratului = valoarea actualizata a primelor nete ce urmeaza a se incasa de la asigurat.

Rezerva la sfarsitul anului financiar se aproximeaza de regula prin interpolare liniara intre cele doua rezerve invecinate. Pentru un contract cu prime anuale, prin interpolare liniara se obtine o aproximarea pentru rezerva evaluata la momentul m+s de la incheierea politei:

unde k = 1, 2, , n - 1 iar t(m, m + 1]. La inceputul anului de asigurare m+1 asiguratorul dispune de rezerva mV_x respectiv de prima anuala P incasata la inceputul anului m+1.

a) Asigurari de viata cu prima unica

Obligatii viitoare ale asiguratului = 0, astfel rezulta

mV_x = obligatiile viitoare ale asiguratorului privind riscurile asigurate = prima unica neta a asigurarii, calculata pentru varsta de x + m ani si durata de asigurare ramasa n - m ani.

a1) Asigurarea temporara de deces

respectiv

La expirarea asigurarii, m = n, rezerva neta este nula.

a2) Asigurarea viagera de deces

respectiv

a3) Asigurarea mixta de viata

La expirarea asigurarii, rezerva neta este egala cu 1 (suma asigurata, in general).

a4) Anuitati viagere imediate

Acestea sunt contracte cu prima unica, platita la incheierea asigurarii, imediat dupa aceea incepand plata pensiilor. Pentru o anuitate viagera imediata anticipata:

In cazul anuitatii viagere imediate temporare anticipate:

b) Asigurari de viata cu prime anuale

b1) Asigurarea temporara de deces   

unde este prima unica neta pentru asigurarea temporara de deces incheiata la varsta de x+m ani cu durata de asigurare n-m ani

iar P este prima anuala neta pentru asigurarea temporara de deces, calculata la incheierea politei

Valoarea rezervei la asigurarea temporara de deces cu prime anuale este relativ mica.

b2) Asigurarea viagera de deces

Daca primele se platesc pe toata durata vietii, atunci rezerva neta a asigurarii este:

Atunci cand primele se platesc pe o durata limitata p ani, rezerva se determina diferit functie de pozitia momentului calculului rezervei fata de p:

- daca rezerva se calculeaza inainte de incheierea platii primelor m < p

daca rezerva se calculeaza dupa ce s-a incheiat plata primelor m > p

Reamintim ca P este prima anuala neta pentru asigurarea viagera de deces, calculata la incheierea politei.

b3) Asigurarea mixta de viata

unde este prima unica neta pentru asigurarea mixta de viata incheiata la varsta de x+m ani cu durata de asigurare n-m ani:

iar P este prima anuala neta pentru asigurarea mixta de viata, calculata la incheierea politei.

Exemplu. Evolutia rezervei nete pentru o asigurare mixta respectiv o asigurare temporara de deces x = 40, n = 25, SA = 1000 u.m. Tabela de mortalitate 1996 - 1998 barbati, i = 3,5%.

a) Se platesc prime anuale

b) Se platesc prime unice

Observatii

1. De ce este necesara constituirea rezervei in cazul asigurarii temporare de deces? Ratele mortalitatii in prima parte a asigurarii sunt mai mici decat ratele mortalitatii in ultima parte a asigurarii. Asiguratii platesc o prima constanta (nivelata) pe toata durata asigurarii. O parte din primele platite in primii ani de asigurare se acumuleaza in rezerva in scopul acoperirii diferentei dintre obligatiile de plata ale asiguratorului si primele incasate in ultima parte a asigurarii.

In cazul asigurarii mixte, suplimentar motivului anterior, apare si necesitatea constituirii rezervei pentru a se plati Σ asigurata la expirarea asigurarii.

Rezerva matematica bruta (Zillmer)

Pentru evaluarea situatiei reale a asiguratorului la un moment dat este indicat a se tine seama in evaluari si de cheltuielile asiguratorului. Se obtine rezerva matematica bruta. Notam cu _mV_x^' - valoarea rezervei brute la sfarsitul acelor m ani de asigurare, de la incheierea politei.

Rezerva = Valoarea actualizata a obligatiilor viitoare ale asiguratorului - Valoarea actualizata a obligatiilor viitoare ale asiguratului.

In calculul rezervei brute se au in vedere obligatiile asiguratorului legate de riscurile asigurate si de cheltuielile de administrare ale acestuia respectiv primele brute ca si obligatii de plata ale asiguratului.

Obligatii viitoare ale asiguratorului = prima unica neta calculata pentru varsta de x + m ani si durata de asigurare ramasa n - m ani plus valoarea actualizata a cheltuielilor asiguratorului legate de asigurare.

Obligatii viitoare ale asiguratului = valoarea actualizata a primelor brute ce urmeaza a se incasa de la asigurat.

Rezerva intre doua aniversari succesive, necesara la momentul incheierii anului financiar sau a modificarii contractului, se aproximeaza deseori in practica prin interpolare. Pentru un contract cu prime anuale, o aproximare pentru rezerva bruta rezulta astfel:

unde k = 1, 2, , n - 1; t (m, m + 1] iar este prima anuala obtinuta adaugand la prima neta si cheltuielile de gestiune (administrare).

Formula finala de calcul a rezervei brute _mV_x^', la sfarsitul anului m de asigurare, depinde de modul de includere a cheltuielilor in prima bruta.

a) Asigurari de viata cu prime anuale

a1) Asigurarea mixta de viata

Avem in vedere modul de includere a cheltuielilor in prima bruta considerat in paragraful 1.3., prima bruta fiind:

Rezerva bruta in acest caz:

Inlocuind expresia primei brute rezulta relatie de dependenta dintre cele doua forme ale rezervei:

Tinand seama de expresia primei nete rezulta:

Relatia intre rezerva neta si rezerva Zillmer:

Observatii

reprezinta partea din cheltuielile de achizitie inclusa in fiecare prima anuala

este valoarea actualizata a cheltuielilor de achizitie inca nerecuperate la momentul calculului rezervei. Acestea se vor recupera odata cu incasarea urmatoarelor prime.

3) Cheltuielile de achizitie s-au efectuat de catre asigurator integral la incheierea asigurarii, dar acesta sunt recuperate doar treptat, odata cu incasarea primelor anuale.

Exemplu. Evolutia rezervei brute pentru o asigurare mixta respectiv o asigurare temporara de deces x = 40, n = 25, SA = 1000 u.m. Tabela de mortalitate 1996 - 1998 barbati, i = 3,5%, α = 35%, β = 3% , γ = 2%0

Observatii

1. Rezerva bruta este mai mica decat rezerva neta pe tot parcursul asigurarii, dar la expirare ambele sunt egale cu suma asigurata.

Datorita recuperarii treptate (pe parcursul perioadei de plata a primelor) a cheltuielilor de achizitie, balanta societatilor noi de asigurare de viata se incheie in primii ani cu pierderi.

3. Pentru asigurator este mai avantajos sa inregistreze in contabilitate rezerva bruta si nu rezerva neta (astfel rezulta un profit mai mare), acesta fiind echivalent cu permisiunea recuperarii de catre asigurator a cheltuielilor de achizitii din primele prime incasate.

4. De regula legislatia prevede constituirea de catre asigurator a rezervei nete. Astfel in primul an (chiar in primii 2 - 3 ani pentru asigurari durata lunga) asiguratorul inregistreaza pierderi pe aceste polite, deci este necesar un capital suplimentar pentru a putea plati aceste cheltuieli de achizitie si in acelasi timp sa-si constituie si rezerve la nivelul rezervelor nete.

a2) Asigurarea viagera de deces

Caz 1. Primele se platesc pe toata durata asigurarii

relatie ce se deduce analog cu cazul asigurarii mixte de viata.

Caz Durata de plata a primelor este limitata p ani

1. Daca m < p

_mV_x^'= A_x+m + γ · ä_x+m + β · P_b · ä_{x+m: p-m} - P_b · ä_{x+m : p-m}

Se inlocuieste prima bruta cu expresia ei de calcul P_b = (A_x + α + γ · ä_x)/(1 - β) ä_x+n si rezulta

_mV_x^'= _mV_x + γ [ä_x+m - (ä_x / ä_{x: p}) ä_{x+m: p-m} ] - (α / ä_{x: p} ) ä_{x+m: p-m}

ultimul termen reprezentand cheltuieli de achizitie inca nerecuperate la momentul calculului rezervei.

Daca m > p

_mV_x^' = A_x+m + γ · ä_x+m

ultimul termen reprezentand aici rezerva de cheltuieli necesara pentru acoperirea cheltuielilor de administratie ale asiguratorului in perioada in care nu se mai incaseaza prime.

Exemplu. Evolutia rezervei brute pentru o asigurare viagera x = 40, n = 25, SA = 1000 u.m. Tabela de mortalitate 1996 - 1998 barbati, i = 3,5%, α = 35%, β = 3% , γ = 2%0

Caz 1. Plata primelor pe toata durata asigurarii

Caz Plata primelor in primii 25 ani

Observatii

1) In primii 25 de ani rezervele in cazul 1 sunt mai mici decat in cazul 2 in primii 25 de ani deoarece primele anuale incasate sunt mai mici.

2) In cazul 2, dupa incheierea platii primelor (pentru m > 25), rezerva bruta este mai mare decat rezerva neta. Rezerva bruta = rezerva neta + rezerva pentru cheltuielile de administratie.

b) Asigurari de viata cu prima unica

Specific asigurarilor cu prime unice este faptul ca rezerva bruta este mai mare decat rezerva neta, adaosul fiind o rezerva de cheltuieli.

b1) Anuitati viagere

Pentru o anuitate viagera anticipata imediata, avand in vedere modul de includere a cheltuielilor considerat in paragraful 1.3., rezerva bruta este:

_mV_x^'= _mV_x + γ · ä_x+m

a) Asigurari de deces si asigurari mixte, cu prime unice

Avand in vedere modul de includere a cheltuielilor considerat in paragraful 1.3., rezerva bruta pentru asigurarea mixta respectiv asigurarea temporara de deces are forma:

_mV_x^'= _mV_x + γ · ä_{x+m; n-m}

3. Probleme

Problema 1. Reluam datele din problema 1 paragraful 1.4.. Se platesc prime anuale. Se cere:

a)     rezerva neta a asigurarii, pentru m=0, m=1, m=10 respectiv m=20

b)     rezerva bruta a asigurarii, pentru m=0, m=1, m=10 respectiv m=20 .

Rezolvare.

a) rezerva neta:

_mV_x = A_{x+m; n-m} - P · ä_{x+m : n-m}

P= 0,372 mil. lei. Exemplificam calculul pentru m=10

V₃₅ = A_{45: 10} - P · ä_{45 : 10}

unde A_{45 : 10} = ( M₄₅ - M₅₅ + D₅₅)/ D₄₅    iar ä_{45 : 10} = (N₄₅ - N₅₅)/ D_45. Se obtine ₁₀V₃₅ = 0.41, respectiv pentru o SA=100 mil.lei ₁₀V₃₅ = 41mil.lei. Celelalte rezultate se gasesc in tabelul urmator:

b) rezerva bruta

_mV_x^' = _mV_x - (α/ä_xn ) ä_{x+m : n-m}

Pentru m = 0 obtinem:

V₃₅^' = ₀V_{35 : 20} )

Pentru m=1 avem:

V₃₅^' = ₁V_{35 : 19} ) = 0,0349 - (0,03/14,076)*13,576 = 0,006

Analog se obtin celelalte rezultate.   

Observatii

1. La incheierea asigurarii, asiguratorul plateste cheltuielile de achizitie aferente politei, egale cu 30%0 din SA = 30%0 x 100 mil.lei = 3 mil. lei. Rezerva bruta pentru m = 0, inainte de incasarea primei prime anuale, reprezinta chiar nivelul acestor cheltuieli. Faptul ce rezerva este negativa indica o pierdere inregistrata de asigurator la acest moment.
2. Prima anuala P_b = 4,12 mil. incasata in primul an de asigurare se repartizeaza pe urmatoarele destinatii: - 0,6 mil lei in rezerva

- 3 mil. lei cheluieli de achizitie

- cheltuieli β = 4% · 4,12 mil.lei ; γ = 5%0 · 100 mil. lei

- fond de deces.

Problema Se considera datele din problema 2 paragraful 1.4. Se cere:

a)     rezerva neta a asigurarii, pentru m=5 respectiv m=20

b)     rezerva bruta a asigurarii, pentru m=5 respectiv m=20.

Rezolvare.

a) ₅V₆₀ = ä₆₅ = N₆₅/D₆₅ = 70265/6831 = 10, 286

V₆₀ = ä₈₀ = N₈₀/D₈₀ = 8365/1598 = 5,234

Rezerva neta scade odata cu plata pensiilor.

b) ₅V₆₀^' = ä₆₅ + γ · ä₆₅ = (1 + γ) ä₆₅ = 1,01 · 10,29 = 10.39    

₂₀V₆₀^' = 1,01 · 5,234 = 5,286.

Problema 3. Se considera datele din problema 3 paragraful 1.4. Se cere rezerva neta a asigurarii, pentru m=0, m=10 respectiv m=20.

Rezolvare.

V₃₅ = A_{45: 10} - P · ä_{45: 10} = M₄₅ - M₅₅ )/ D₄₅ - 0,0066 (N₄₅ - N₅₅)/ D₄₅.