AMORTIZAREA ESALONATA A CREDITELOR

Finantarea investitiilor se face, dat fiind sumele mari implicate, de obicei prin credite bancare. Achitarea (amortizarea) creditelor se face in rate esalonate in timp pe durata a cativa ani.

In cazul dobanzii compuse,

pentru 1 leu depus la capitalizare cu dobanda anuala i, dupa n ani acesta devine:

Cunoasterea cuantumului dobanzilor ce trebuie platite pentru credite precum si desfasurarea platilor in timp este foarte importanta pentru decizia de luare a creditului.

De obicei plata ratei se face la sfarsitul fiecarei perioadei, caz in care se spune ca este plata "posticipata" dar plata poate fi si la inceputul perioadei si atunci plata se numeste "anticipata ". In continuare ne vom ocupa numai de rate posticipate acesta fiind cazul cel mai frecvent. Uneori se negociaza credite care acorda perioade de gratie la achitarea ratelor dar nu ne vom ocupa de acest aspect.

Rente . O succesiune de sume disponibile la anumite date constituie ceea ce se numeste in general renta.

Sumele    se numesc rate si deobicei au aceiasi valoare .

Scadentele sunt de obicei la perioade egale.

Daca rata se plateste anual atunci se numeste anuitate. Ratele pot fi achitate si fractionat la intervale mai mici precum trimestru sau luna.

Valoarea actuala a unei rente de 1 leu platit posticipat timp de n ani are valoarea :

Pentru primul leu valoarea actualizata este    iar pentru ultimul dat la inceputul anului n are valoarea v . Deci an , valoarea actuala a rentei , este o progresie geometrica cu rata v a carui suma este :

Exemplu : Care este valoarea actuala a rentei de un leu platibil posticipat timp de 15 ani pentru dobanda de 6% .

Acesta este valoarea actuala (care trebuie platita in prezent) a rentei pentru a primi timp de 15 ani posticipat o rata de un leu anual (pentru dobanda de 6%).

Expresia se gaseste ca functie financiara in MS Office EXCEL sub numele PV (present value) astfel ca exista:.

PV(0.06,15,1)=9,712249

Daca rata este egala cu R atunci valoarea actuala a rentei este :

Sa vedem si valoarea finala a unei rente unitare posticipate aceasta fiind cazul unei capitalizari.

Calculam valoarea finala a rentei din exemplul anterior:

In MS Office EXCEL exista functia financiara:

FV(6%,15,1)=23,27597

Rezultatul obtinut reprezinta valoarea finala a rentei posticipate, capitalizate cu rata (unitara) de un leu timp de 15 ani pentru dobanda de 6%.

Daca renta este oarecare, R atunci

Se poate stabili o relatie intre an si Sn facand raportul lor:

Ultima relatie arata ca valoarea actuala a sumei Sn este tocmai an ceea ce era evident din enunt. Sa verificam relatia cu rezultatele din calculele anterioare adica:

Deci se verifica.

Exemplu: Sa presupunem ca se face un imprumut de A=50.000 $ cu dobanda i de 6% si se doreste plata in 15 rate anuale egale . Se cere sa se calculeze rata anuala constanta pentru stingere a datoriei si a dobanzii . Este ca si cum s-ar cere care este valoarea actuala a rentei anuale care trebuie sa fie egala cu datoria plus dobanda.

Functia echivalenta

din MS Office EXCEL este:

PMT(6%,15,50000)=5148,14

Rata se compune totdeauna din doua parti astfel: R=Cp + Ip

unde :

Cp - este cota de capital din rata;

Ip - partea de dobanda din rata.

Este bine de cunoscut cat reprezinta in fiecare rata capitalul

propriu-zis si cat dobanda cunoscand ca proportia dintre cele doua marimi este diferita pentru fiecare rata.

Sa presupunem ca s-au platit p-1 rate si au mai ramas n-p+1 rate de plata. Valoarea actuala la timpul p a rentei ramas de platit este:

Dobanda la nivelul anului p este :

Sa recapitulam, cunoscand valoarea imprumutului A , dobanda i si n numarul de ani se poate calcula un plan de amortizare a unei datorii cu rata anuala constanta in ipoteza platilor posticipate cu formulele:

In dreapta formulelor, in paranteza, se gasesc denumirile ce corespund functiilor financiare existente in MS-Office - Excel.

Se numeste rata fractionata o renta care se plateste anicipat sau posticipat unei fractiuni a anului. Admitem ca dobanda se percepe sau acorda de k ori pe an si ca pentru fiecare rata fractionata dobanda este i/k

Daca notam cu cu i - dobanda nominala si cu j - dobanda efectiva luata in timpul anului, atunci dupa modelul dobanzii compuse exista urmatoarea echivalenta:

O dezvoltare teoretica se obtine pentru k infinit cand exista relatia:

Ultima relatie poarta numele de dobanda nominala instantanee.

In practica, dobanda fractionata se obtine prin impartirea dobanzii nominale anuale i la numarul de fractiuni k iar numarul de perioade n se obtine prin inmultirea numarului de ani n cu numarul de fractiuni k anuale.

Pentru k = 12 se calculeaza ratele lunare numite si mensualitati

Cu aceste precizari si substitutii, formulele de calcul discutate anterior raman valabile si pentru cazul ratelor fractionate.

PLATI ESALONATE PENTRU STINGEREA DATORIILOR

Exemplu Laborator 1: Sa se intocmeasca un program de amortizare a unui credit de 88.000 $ cu durata de 6 ani si dobanda anuala (nominala) de 7 % in ipoteza:

a) Rata anuala constanta

Rezultatele calculelor complete sunt in tabel.

b) Cota de capital anuala constanta pentru acelasi exemplu:

Calculele pentru totii anii sunt in tabel:

c) Rate fractionate

Pentru calculul unei rate fractionate lunare egale se imparte dobanda efectiva la numarul de luni iar numarul de rate devine nx12.

Reluam acelasi exemplul.

Rezultatele calculelor sunt in tabelul urmator:

d) Deseori este interesant raspunsul la intrebarea: In cat timp se amortizeaza creditul daca putem plati rata R cu dobanda i ?

In exemplul nostru daca se plateste o rata constanta anuala de 20.000 $ in cat timp se amortizeaza creditul luat cu dobanda i = 7%., adica, se cere sa se calculeze n = ?

Formula de calcul exista ca functie financiara sub numele de NPER in MS - Office - EXCEL.

e) Uneori oferta de cumparare in rate cuprinde numai valoarea ratei, numarul de rate si valoarea cu plata cash a produsului fara sa specifice si dobanda cu care s-a calculat rata. In acest caz se folosesc formulele urmatoare unde R, A si n sunt cunoscute:

Deoarece i nu se poate explicita, calculul dobanzii se poate face numai prin incercari.

Se recomanda folosirea functiei financiare MS - Office - EXCEL denumita RATE. Astfel ca folosind datele din exemplul anterior:

RATE(72,-1500.31,88000) = 0.58333% echivalent cu

0.58333% x 12 luni = 7 % valoarea cunoscuta a dobanzii

sau direct folosind datele din ipoteza a :

RATE(6,-18462.03,88000) = 0.07 echivalent 7%.

BIBLIOGRAFIE

Craiu I., Mihoc Gh. , Matematici pentru economisti, vol 3, Editura Tehnica, Bucuresti 1971.