TEORIA DOBANZII

TEORIA DOBANZII

Notiunea de baza a matematicilor financiare este dobanda. Dobanda reprezinta plata serviciului facut de creditor debitorului si este platita de debitor creditorului pentru a obtine dreptul de a folosi o anumita suma de bani pe o perioda de timp determinata. ( definitie economica)

Notatii

S₀ - suma de bani plasata intre parteneri ( suma initiala ) avand ca unitate de masura 1 u.m. (o unitate monetara), ex. 1leu, 1I

t - intervalul de timp in care se deruleaza tranzactia financiara. In mod frecvent are ca unitate de masura

1 an. Mai rar se utilizeaza diviziuni ale anului: semestru, trimestru, luna, decada, saptamana, zi.

Se considera t = 0 momentul initial.

S sau S_f suma finala sau suma la momentul t. S = S(S₀, t)

D - dobanda; D = S - S₀

i - dobanda unitara si reprezinta dobanda data de 1u.m. pe timp de un an .

p - procentul; p =100i.

Functia de acumulare

Cel mai important concept legat de definirea matematica a dobanzii, este cel de functie de acumulare

notata cu a( t ) si este suma de bani acumulata la momentul t 0 cand s-a facut o investitie initiala de

1 u.m. Functia a( t ) are urmatoarele proprietati:

1) a( 0 ) = 1

2) Daca t₁ < t₂ T a( t₁ ) < a( t₂ )

3) a'( t ) > 0, t

Va rezulta suma finala S = S₀ .a( t )

Observam ca dobanda unitara i= a( 1 ) - a( 0 ) = a( 1 ) - 1

Cantitatea u = a( 1) = 1 + i    este denumita factorul de fructificare.

Inversa functiei de acumulare 1/a( t ) este functia de actualizare ( reducere ), iar expresia functiei de

actualizare pentru t = 1 an ,adica 1/1+i este notata cu v =1/u si se numeste factorul de actualizare.

DOBANDA SIMPLA

Plasarea sumei initiale S₀ in regim de dobanda simpla are loc cand suma initiala nu se modifica pe

durata plasamentului. ( S₀ = constant) .Vom determina functia de acumulare a(t), pentru tI I

stiind ca:a(0) = 1 si a(1) =u. Ccnform definitei economice ( plasament fara capitalizare, S₀ = const),

marimea dobanzii simple pentru o investitie initiala de 1 u.m. in t q perioade este este egala cu marimea

castigate dupa t perioade adunata cu marimea dobanzii castigate dupa q perioade:

(1)

Dar a(0) = 1, deci ; t q (2)

Presupunand q Dt foarte mica ( Dt 0) avem:

(3)

Folosind relatia (2), din (3) se obtine in final: a'(t) = a(0) (4)

Integram formula (4) pentru tI [ 0,t], se va obtine: (5)

Din relatia (5) deducem:

a(t) - a(0) =a'(0).t sau a(t) = 1 + a'(0)t (6)

In (6) facem t = 1, va rezulta a'(0) = a(1) - 1 = i. Expresia matematica a functiei de acumulare in cazul

dobanzii simple este:

a(t) = 1 + it (7)

adica o functie lineara.

Valoarea finala a investitei initiale S ₀ u.m. pana la momentul t este:

S = S₀ ( 1+ it) (8)

Daca perioada t < 1 an, atunci se considera anul impartit in k parti egale si anume:

k = 2 pentru semestru, k = 4 pentru trimesru, k = 12 pentru luna, k = 360 pentru

zile. In acest caz formula (8) devine: (9)

unde t_k numarul de parti ale anului impartit in k diviziuni. In sfarsit formula dobanzii simple devine:

(10)

Daca operatiunea financiara nu are loc cu acelasi procent p in intervalul [0,t), adica exista m intervale de

timp t_j cu procentele p_j = 100 i_j atunci functia de acumulare este:

si formulele (9) , (10) se modifica corespunzator.

Operatiuni echivalente in regim de dobanda simpla.

O opeatiune financiara consta din plasarea unor sume initiale diferite , cu procente diferite si scadente

diferite. Matricea unei astfel de operatii multiple va fi:

Dobanda simpla a acestei operatiuni financiare multiple va fi:

(11)

Fie operatiunile financiare:

O₁ = si O₂ =

Operatiunile sunt echivalente daca dobanzile lor simple sunt egale. Cu alte cuvinte exista relatia:

(12)

Daca n =m sumele S₁ S_n sunt inlocuite cu o suma medie inlocuitoare notata cu S. Din (12) rezulta:

Formule analoage se obtin si pentru procentul mediu echivalent, cat si pentru scadenta medie.