Eject - program pentru calculul traiectoriilor balistice ale rocilor aruncate in timpul eruptiilor vulcanice

EJECT

Eject este un program pentru calculul traiectoriilor balistice ale rocilor aruncate in timpul eruptiilor vulcanice.

Introducere

In timpul secolului XX, numerosi observatori au descris eruptiile violente a unui mare numar de roci si bombe in timpul eruptiilor vulcanice. Minakani (1942) a cartografiat locatiile blocurilor de roca aruncate de vulcanul Asama in eruptia sa din 1937. El a descoperit o relatie matematica care leaga viteza initiala si unghiul traiectoriei blocurilor de roca cu distanta eruptiilor, considerand frecarea cu aerul si un coeficient constant de frecare. La sfarsitul anilor 1950, Gorshov (1959) a estimat vitezele de eruptie de la vulcanul Brezymianny in timpul eruptiei sale. Wilson (1972) a dezvoltat primul algoritm matematic pentru traiectoriile balistice din literatura de profil (cele care permiteau aplicatiile militare care considerau variatiile in coeficientul de frecare cu aerul cu constanta Reynolds). Fagents si Wilson (1993) au dezvoltat metoda lui Wilson (1972) prin efectul de reducere a frecarii langa evacuare. Din anii 1970 pana in anii 1990, alte lucrari au estimat vitezele blocurilor vulcanice din timpul eruptiilor vulcanice.

De la inceputul anilor 1990 s-a remarcat o descrestere a numarului de lucrari publicate care cuantifica vitezele eruptiilor folosind traiectoriile balistice. Aceasta descrestere a rezultat in parte, din aprecierea ca vitezele eruptiilor nu pot fi determinate doar in parte, din aprecierea ca vitezele eruptiilor nu pot fi determinate doar de distanta datorita incertitudinilor legate de unghiul traiectoriei initiale si de forta de frecare cu aerul. Pe de alta parte, descresterea interesului a coincis cu cresterea usurintei de calcul a traiectoriei balistice, odata cu dezvoltarea calculatoarelor si usurintei lor in manevrare.

In timpul anilor 1970, doar vulcanologii cu veleitati matematice sau cei care colaborau cu matematicienii au putut face astfel de estimari. Odata cu dezvoltarea calculatoarelor de la inceputul secolului XXI, calculele balistice pot fi disponibile oricui; singurul impediment la accesul tuturor la legile balistice este lipsa unui program ce poate fi utilizat cu usurinta de oricine este interesat.

Programul EJECT vine tocmai in intampinarea acestor dorinte si opereaza pe orice calculator care detine programul Windows.

Metode

In timpul eruptiilor vulcanice se pot produce explozii discrete, evacuarea unor nori de cenusa, blocuri si pietre, gaz vulcanic si in unele cazuri chiar vapori de apa. La cateva secunde dupa evacuare, norul va evolua dintr-o forma mai mult sau mai putin sferica intr-una de forma unui deget; la capatul fiecarui 'deget' se afla un corp balistic sau mai multe fragmente de roca. In spatele 'degetului' se afla un nor de fragmente reduse de roca si gaz care insotesc rocile mari. La cateva secunde dupa ce degetele balistice devin perceptibile, rocile se pot separa de nor si ajung de unele singure in atmosfera.

Ecuatii de baza

Rocile sunt supuse fortelor de frecare cu aerul si fortelor gravitationale. Acceleratia rocilor (dv/dt) pe axa orizontala (x) sau verticala (z) este rezultanta acestor forte.

(1a)

(1b)

Unde:

ρ_a - densitatea aerului;

ρ_r - densitatea blocului de roca;

A - aria sectiunii transversale a rocii;

C_d - coeficientul de frecare a blocului de roca;

m - masa blocului de roca;

g - accleleratia gravitationala (g = 9,81 m/s²);

v - viteza rocii;

t - timpul.

Efectul vantului pe orizontala depinde de viteza w asupra vitezei rocii si poate fi exprimat prin inlocuirea v_x cu v_x - w in relatia 1a si a v cu in 1a si 1b.

Ecuatiile 1a si 1b ignora forta asociata rotatiei, forta Magnus, care este responsabila de efectele de curbura a mingilor de baseball si, in parte, de stabilitatea traiectoriei gloantelor in pusti. Forta Magnus poate influenta traiectoriile rocilor vulcanice (Waitt si altii 1995).

EJECT face abstractie de asemenea de forta vantului, de variatia fortelor gravitationale cu pozitia, de forta Coriolis (ultimile doua sunt importante mai ales in calculele balistice militare).

Calculul termenilor in ecuatiile de baza

Parametrii din ecuatiile (1) se calculeaza folosind :

1. A si m depind de marimea si forma blocului :

A = D² pentru cuburi in care o fata este perpendiculara pe directie ;

A = pentru cuburile orientate cu un colt spre traiectorie ;

A = pentru sfere;

m = pentru cuburi;

m = pentru sfere.

2. Densitatea aerului variaza cu altitudinea si e recalculata in fiecare punct al traiectoriei folosind ecuatia gazelor ideale:

(2)

Unde:

T - temperatura, K;

R - constanta gazelor pentru aer (286.98 J/kg K);

P - presiunea atmosferica, Pa.

Presiunea la o altitudine data este calculata cu formula:

(3)

Unde:

P₀ = 1,013 x 10⁵ Pa, presiunea la nivelul marii;

T₀ - temperatura la nivelul marii.

dT/dz - gradientul de temperatura, K/m.

Ecuatia (3) este obtinuta prin integrarea ecuatiei:

(4)

Valorile T₀ si dT/dz sunt date de intrare ale programului.

Coeficientul de frecare

Coeficientul de frecare C_d este forta de frecare care actioneaza asupra blocului de roca, raportata la energia cinetica pe unitatea de volum a fluidului ambiental ce actioneaza asupra sectiunii transversale a blocului. Coeficientul de frecare influenteaza traiectoria finala a blocului si poate varia in functie de forma, orientare si duritate. Rezultatele experimentale (Hoerner 1965) indica faptul ca Cd variaza cu doi parametrii ce nu tin cont de forma: Reynolds (Re) si Mach (M). Constanta Reynolds pentru aer (Re = ρ_avD/η, unde η este viscozitatea) exprima influenta fortelor de viscozitate asupra fortelor de inertie. EJECT calculeaza constanta Reynolds din ecuatiile de densitate si specifica valorile de intrare ale diametrului rocii, viteza calculata conform ecuatiei 1, viscozitatea gazelor, calculate conform relatiilor empirice pentru aer :

Unde T este temperatura in grade Kelvin iar viscozitatea este exprimata in Pa s.

Valoarea C_d a fost determinata experimental pentru o varietate de forme (de exemplu pentru sfere, fig. 3). Pentru blocurile de roca din timpul eruptiilor vulcanice constanta Reynolds depaseste mereu 1000. Pentru sfere la Re > 200, C_d este aproape constant si egal cu 0,5; la Re > 2 x 10⁵, C_d are valoarea 0,1. EJECT estimeaza C_d = 0,5 pentru 200 < Re < 2 x 10⁵, si C_d = 0,1 pentru Re > 2 x 10⁵. Pentru cuburi, EJECT nu apreciaza valori reduse ale C_d, pentru ca constanta Reynolds la care se produce separarea straturilor este foarte variabila.

Relatia de mai sus guverneaza coeficientul de frecare atata timp cat constanta Mach este mai mica decat 0,5 (175 m/s pentru aer la 25˚C, presiunea 1 atm). La constante Mach mai mari, coeficientul de frecare creste cu cresterea presiunii inaintea rocii. La M = 1-2, presiunea se concentreaza intr-un singur punct iar C_d atinge un maxim. La M de cateva ori mai mari decat 1, C_d descreste odata ce unda de soc incepe sa se raspandeasca in jurul obiectului.

EJECT calculeaza Mach conform ecuatiei:

M = v / c

Unde γ este C_p/C_v la presiune constanta si volum constant (γ = 1,4 pentru aer).

Fig 3. Constantele Reynolds si Mach

Reducere frecarii langa cos

Inainte de anii 1990, cercetatorii au presupus ca rocile sunt emanate in aer din momentul in care au parasit cosul. De fapt, observatiile vizuale indica faptul ca blocurile de roca sunt imbracate intr-un nor si alte fragmente care se misca cu aceasi viteza cu ele. Gradul in care frecarea este redusa si distanta la care frecarea este mai mica decat in aer nu sunt bine stabilite. Fagents si Wilson (1993) au stabilit ca o masa emanata este accelerata la o viteza maxima (v₀) la o distanta (r₀) si timpul (t₀) de la pozitia initiala si va decelera cu viteza:

Unde t este constanta de timp care depinde de presiunea partiala a gazului evacuat (p_gz) in atmosfera:

EJECT nu estimeaza presiunea initiala a gazului deoarece relatia intre presiunea initala si viteza nu este unica (depind de exemplu de temperatura initala, procentul de masa a gazului in amestecul de eruptie, gradul de includere a apei si eficienta de convertire a entalpiei gazoase in energie cinetica, Wilson 1980, Mastin, 1995). EJECT permite calculul distantei (r_d) de la cos la care frecarea este redusa. La o distanta radiala (r) mai mica decat r_d se calculeaza coeficientul de frecare C_dr calculat cu formula:

Valoarea r_d este de aproximativ cateva sute de metri, asa cum se prezinta in fotografii (fig1); se presupune ca frecarea cea mai redusa apare cand roca este invelita in nor. Estimari mai precise ale r_d si relatiile dintre C_dr si C_d ar necesita modele mult mai sofisticate ale exploziilor vulcanice.

Fig.4 Coeficientul de frecare in functie de M

Solutii numerice

Ecuatiile 1a si 1b sunt integrate de-a lungul traiectoriei folosing o metoda de ordinul 4 Runge-Kutta (Press si altii, 1992). Calculele continua prin calculul pozitiei verticale (z) a rocii pana atinge inaltimea de aterizare (z_f).

VALIDAREA MODELULUI

Verificarea traiectoriilor balistice calculate pentru aceste roci in timpul eruptiilor vulcanice nu a fost verificata. Un asemenea studiu ar fi util pentru simplificarea tuturor presupunerilor necesare calculului dupa un asemenea model.

Cazul cand frecarea cu aerul este zero

In cazurile in care frecarea cu aerul este zero si unde densitatea aerului este nesemnificativa in raport cu cea a rocii, ecuatiile 1a si 1b se pot simplifica la:

Integrarea ecuatiilor 1a si 1b in functie de timp duce la expresia pozitiei blocului de roca la un moment dat in traiectoria lui:

Unde v_i este viteza initiala. Presupunand ca blocul parcurge o distanta apreciabila, a carei inaltime este egala cu punctul de evacuare; distanta finala parcursa (x_final) este:

Valorile x_final calculate cu ecuatia de mai sus sunt comparate cu cele date de EJECT, cand C_d = 0, ca in figura 5.

Fig.5. Viteza in functie de distanta parcursa, calculata analitic si folosind Eject

Comparatie cu alte calcule balistice

Tabelul 1 compara rezulatele obtinute folosind EJECT cu calculele lui Miller (1979) pentru sfere de dimensiuni mici. Traiectoriile acestora nu sunt studiate de vulcanologi deoarece sunt usor influentate de curenti. Pe de alta parte, sensibilitatea lor la frecare le face potrivite pentru solutiile numerice folosite aici. Miller a condus o serie de experimente de frecare pentru aceste sfere de dimensiuni mici si a introdus datele intr-un tabel care sa ajute la calculul traiectoriilor balistice (Ingalls 1886, Hermann, 1930). Aproximatia Sciacci presupune ca pentru proiectilele lansate cu o traiectorie apoape orizontala, termenul cos θ poate fi inlocuit cu o constanta, simplificand integrarea. EJECT insa nu foloseste aceasta aproximatie. Rezulatele lui Miller difera de cele ale programului EJECT la a treia cifra semnificativa.

Tabelul 1

Comparatie cu solutiile analitice ale constantei de frecare si densitatii aerului

In cazurile in care coeficientul de frecare si densitatea aerului sunt constante exista solutiile analitice pentru traiectoria blocului de roca si pentru distanta parcursa (Minakami, 1942, Self si altii, 1980, Mastin, 1991). Totusi, pentru a integra ecuatiile 1a si 1b, produsul v_xv din 1a trebuie sa fie inlocuit cu v_x²sgn(v_x) si in 1b, v_zv trebuie inlocuit cu v_z²sgn(v_z) unde sgn este semnul acestor termeni. Aceasta simplificare rezulta din aproximarea fortei de frecare de-a lungul traiectoriei cu factorul (sin⁴θ + cos⁴θ)^1/2 (Sherwood, 1967). Ecuatiile rezultante sunt:

Integrand prima relatie obtinem:

Unde μ = (r_aC_dA)/2m si t_f este timpul total pe care il parcurge blocul. Valoarea t_f este obtinuta prin evaluarea integralei celei de-a doua relatii pentru a obtine timpul de zbor din punctul initial (v_z = v_i sinθ) pana in varful traiectoriei (v_z = 0), apoi integrarea repetata pentru a determina timpul de zbor din varful traiectoriei pana la aterizare (z = 0).

Solutiile analitice pentru distanta parcursa ca functie a vitezei initiale este comparata cu rezultatele programului Eject din fig.5 pentru blocuri cu diametrul de 40 cm cu ρ_r = 2500 kg/m³, θ = 45˚. Solutiile analitice si numerice sunt aceleasi la viteza initiala (v_i < 150 m/s) unde frecarea este neesentiala si difera la viteze mari. Diferentele dintre solutiile analitice si numerice cresc odata cresterea diametrului.

Folosirea EJECT!

Programul Eject! Poate fi downloadat de pe site-ul www.vulcan.wr.usgs.gov/Projects/Mastin

Programul poate opera sub orice versiune Windows. Pentru a instala programul trebuie urmate instructiunile:

Salvarea fisierului .zip pe hard;

Dublu-click pe fisier. Acesta se va despacheta in trei fisiere care vor fi plasate intr-un nou fisier;

In noul fisier apasati dublu-click pe setup.exe. Urmati instructiunile de pe ecran pentru a instala programul;

De pe butonul de start, mergeti in meniul Programs, apoi apasati icoana eject pentru a lansa programul.

La deschiderea programului va aparea un ecran de comenzi. In coltul din dreapta se vor introduce datele pentru viteza, unghiul blocului, viteza vantului si distanta de la locul de aterizare la locul de eruptie. De asemenea sunt mentionate: inaltimea de la punctul de eruptie, temperatura atmosferica la nivelul cosului, gradientul de temperatura, toate fiind utilizate pentru calculul densitatii aerului, presiunii si vitezei sunetului ca functie a inaltimii in timpul traiectoriei rocii.

Conditiile de intrare si calculul traiectoriei de zbor a blocului de roca poate fi scris intr-un fisier a carui nume este specificat in casuta de iesiri (stanga jos). Daca ii este dat un nume fisierul va fi scris in acelasi director care contine programul EJECT.