Retele de nivelment geometric geodezic

Tema proiectului:

Se dau :

1.O retea de nivelment geometric de ordin superior (formata din reperii de nivelment A , B, C, D) data prin coordonatele geodezice aproximative B, L;

-Cota provizorie si gravitatea absoluta pentru punctual A;

-Diferentele de nivel si de gravitate rezultate in urma masuratorilor de nivelment geometric si respectiv gravimetrice, efectuate intre reperii de ordin inferior situati pe liniile de nivelment: AB, AC, AD, BC, CD.

2.O retea de nivelment trigonometric, dezvoltata din punctual A si formata din punctele A, A₁, A₂, A₃, data prin coordonatele geodezice aproximative B, L.

-Distantele zenitale masurate si lungimile laturilor;

-Inaltimea instrumentului si a semnalului in punct.

Se cer:

1.O schita a celor doua retele (inclusiv reperii de ordin inferior).

2.Compensarea retelei libere de nivelment geometric:

a.) cu diferente de nivel masurate;

b.) in sistemul de altitudini ortometrice - sferoidice;

c.) in sistemul de altitudini normale;

3.Compensarea retelei de nivelment trigonometric (luand ca fixa cota punctului A din compensarea retelei de nivelment geometric in una din variantele b) sau c)):

a.) necunoscuta unica pentru coeficientul de refractie pentru toata reteaua, daca s-au facut toate compensarile de la punctul 2).

b.) necunoscuta pentru coeficientul de refractie in fiecare punct de statie daca s-au efectuat compensarile de la punctele 2a si 2b sau 2a si 2c.

4. a) determinarea si aplicarea corectiilor normale;

b) normalizarea sistemului de ecuatii liniare;

c) rezolvarea sistemelor de ecuatii normale.

Date initiale:

T.1

T.2

I.        Prelucrarea masuratorilor efectuate in retele de nivelment geometric geodezic

In cazul prelucrarii masuratorilor in retele de nivelment trebuie clasificate unele probleme, de natura pur fizica cum ar fi realizarea datum-ului vertical. Pentru a defini un sistem de referinta trebuie sa se parcurga urmatoarele etape:

Sa se aleaga o suprafata de referinta

Sa se adopte o definitie, care trebuie sa aiba o semnificatie fizica sau geometrica, prin care sa se descrie pozitia punctelor situate pe suprafata Pamantului in raport cu suprafata de referinta aleasa;

Pentru sistemul de altitudini ortometrice datumul vertical este geoidul, iar pentru sistemul de altitudini normale este cvasigeoidul.

Stabilirea si utilizarea punctului origine pentru altitudini, sau a punctului zero fundamental, punct de care sunt legate retelele de nivelment, implica rezulvarea a doua mari probleme:

Problema amplasarii punctului zero fundamental;

Problema verificarii stabilitatii punctului zero fundamental;

In Romania, sistemul utilizat pentru reteaua de nivelment de stat este denumit

"sistem Marea Neagra zero 1975". Punct zero fundamental a fost considerat reperul fundamental de tip I din Capela militara din Constanta a carui altitudine a fost determinata prin masuratori repetate de nivelment geometric si determinari gravimetrice.

Compensarea retelelor de nivelment geometric geodezic:

O retea de nivelment geometric este alcatuita din repere de nivelment intre care se efectueaza masuratori in vederea determinarii diferentelor de nivel si a lungimii traseelor pe care se efectueaza observatiile.

Intr-o astfel de retea, pentru a se efectua calculele de compensare prin metoda masuratorilor cvasi -indirecte, trebuie sa se cunoasca sau sa se determine:

1. Diferentele de nivel masurate (Δh_ij^*) prin metoda nivelmentului geometric si reduse la unul din sistemele de altitudini cunoscut. Pentru o prelucrare prin metoda masuratorilor indirecte este necesar ca numarul acestor masuratori sa fie mai mare decat numarul necunoscutelor implicate in model.
2. Lungimile traseelor urmate pentru determinarea diferentelor de nivel.
3. Altitudinea H_i a unuia sau a mai multor repere de nivelment din reteaua considerata.
4. Alte informatii preliminarii utile la construirea modelului functional-stohastic, in mod deosebit cele care pot fi folosite pentru stabilirea unei matrice a ponderilor cat mai buna.
5. Altitudinile provizorii H_i^o pentru toate reperele noi din reteaua considerata. Acestea se determina cu ajutorul diferentelor de nivel masurate, plecand de la altitudinea cunoscuta a unuia sau mai multor repere din retea.

Cu ajutorul acestor elemente se cauta ca, printr-o prelucrare riguroasa, sa se determine:

Valorile absolute (cele mai probabile) ale altitudinilor tuturor punctelor noi din retea, functie de elementele cunoscute initial, in sistemul de altitudini adoptat.

Precizia cu care se determina aceste valori prin procesul de prelucrare.

Valorile cele mai probabile (compensate) ale diferentelor de nivel pe traseele pe care au fost masurate.

Calcule preliminarii:

Pentru a putea prelucra observatiile efectuate intr-o retea de nivelment geometric geodezic trebuie sa se determine unele elemente preliminarii, cum ar fi altitudinea si gravitatea in fiecare reper.

Unde:

• H^o_j,g_j^o-altitudinea, respectiv gravitatea reperului pentru care se fac calculele;
• H^o_i,g_i^o- altitudinea, respectiv gravitatea reperului din care se face transmiterea altitudinii.
• H^*_i,j, g_i,j^*-diferenta de nivel, respectiv diferenta de gravitate intre reperele i si j;

De asemenea diferentele de nivel trebuie reduse la sistemul de altitudini utilizat, pentru a obtine, in final, valorile cele mai probabile ale altitudinilor punctelor in sistemul respectiv.

Reducerea diferentelor de nivel la un sistem de altitudini:

• Reducerea diferentelor de nivel la sistemul de altitudini ortometric-sferoidic:

Valoarea diferentei de nivel in sistemul de altitudini se determina prin aplicarea unei corectii de reducere la sistemul considerat:

Unde ^ORS reprezinta corectia de reducere a diferentei de nivel masurate la sistemul de altitudini ortometric-sferoidic, se calculeaza cu relatia:

• 
• Turtirea gravimetrica : f^*=0.0530244

• Reducerea diferentelor de nivel la sistemul de altitudini normale:

In care ^N reprezinta corectia de reducere a diferentei de nivel masurate la sistemul de altitudini normale,iar calculele se desfasoara astfel:

a)     Se determina valorile gravitatilor normale in punctele de la capetele tronsonului :

b)     Se determina, pentru aceleasi puncte, gravitatea normala la altitudinea H a reperului de nivelment:

c)     Se determina componenta datorata influientei anomaliilor gravitatii:

d)     Relatia de calcul a corectiei normale este alcatuita din doi termini:

-corectia ortometrica sferoidica, datorata neparalelismului dintre suprafetele de nivel;

-corectia datorata anomaliei gravitatii:

Formarea modelului functional-stohastic:

Modelele utilizate in geodezie se impart in doua categorii principale, in functie de natura variabilelor care intervin in model. La prelucrarea observatiilor efectuate in retele geodezice se pot utiliza mai multe modele functional-stochastice, dintre care cel mai cunoscut model este modelul Gauss-Markov. Prelucrarea observatiilor se desfasoara conform modelului functional-stochastic adoptat, repreazentat in cazul nostru de relatiile:

v=Ax+l -reprezinta modelul functional (determinist).

In care : v-vectorul corectiilor;

l-vectorul termenilor liberi;

A-matricea coeficientilor;

x-vectorul parametrilor;

C_m=_o²Q_m -reprezinta modelul stochastic (statistic).

In care: C_m-matricea de varianta-covarianta;

Q_m-matricea cofactorilor masuratorilor;

_o²-varianta unitatii de pondere;

Forme ale ecuatiei de corectie:

Forma generala a ecuatiei de corectie pentru o diferenta de nivel masurata geometric :

Ambele repere de la capetele tronsonului de nivelment sunt noi:

Iar l_ij reprezinta termenul liber si se calculeaza cu relatia:

Ambele repere de la capetele tronsonului sunt vechi:

Nu se executa masuratori directe de diferente de nivel daca nu exista cel putin un reper intermediar nou.

Unul din cele doua repere de la capetele tronsonului de nivelment este fix:

Stabilirea ponderilor observatiilor:

La prelucrarea observatiilor efectuate in retelele de nivelment geometric se utilizeaza in mod curent doua relatii pentru stabilirea ponderilor masuratorilor

Se calculeaza ponderea functie de lungimea traseului pe care s-au efectuat masuratorile

L_ij-lungimea traseului parcurs;

Iar constanta din relatia de mai sus este aceeasi pentru toate diferentele de nivel care intervin in reteaua ce urmeaza a fi prelucrata, se alege astfel incat valorile ponderilor sa fie apropiate de unitate.

Prelucrarea se face prin introducerea unei ecuatii de pondere foarte mare. Ecuatia fictiva va avea toti coeficientii egali cu '1'pentru tote necunoscutele si este de pondere

A doua posibilitate este aceea de a utiliza numarul de statii.

Rezolvarea sistemului normal prin tratare matriceala:

unde:     A - matricea coeficientilor sistemului liniar de ecuatii

P - reprezinta matricea ponderilor

N- matricea sistemului normal

x - vectorul necunoscutelor

L - vectorul termenilor liberi

Verificarea calculului matricii inverse

unde I reprezinta matricea unitate

Calculul valorilor cele mai probabile ale altitudinilor

Calculul valorilor celor mai probabile ale diferentelor de nivel

Verificarea compensarii:

Calcule de estimare a preciziei:

1. Eroarea medie a unitatii de pondere :

; unde m reprezinta numarul de masuratori

n reprezinta numarul de necunoscute

d defect de rang; in cazul nivelmentului d =1

2. Calculul abaterilor standard a necunoscutelor :

unde qsunt elementele de pe diagonala principala a matricii    cofactorilor necunoscutelor.

Calculul abaterilor standard a unei masuratori compensate:

unde p_i reprezinta ponderea diferentei de nivel pe tronsonul considerat.

4. Calculul abaterilor standard pe retea:

Transformarea coordonatelor geodezice (B,L) in coordinate plane (x,y):

Pentru transformarea coordonatelor vom tine cont de aproximatia:

1"(ΔB)=31m

1"(ΔL)=20m

T .I.

1.Compensarea retelei libere de nivelment geometric cu diferente de nivel masurate

T 1.1 Diferente de nivel si distante pentru liniile de nivelment:

T 1.2 Calculul altitudinilor provizorii pentru reperii de nivelment

T 1.3 Forma sistemului liniar al ecuatiilor de corectie

Matricea coeficientilor sistemului liniar

	-1	1	0	0
	-1	0	1	0
	-1	0	0	1
A=	0	-1	1	0
	0	0	-1	1
	1	1	1	1

Matricea ponderilor (P) si vectorul termenilor liberi (L)

									0,00
									1.30
P=								L=	-0.50
									-1.30
									0.50
									0,00

Matricea coeficientilor sistemului normal

N=

Matricea inversa a coeficientilor sistemului normal

N-1=

Controlul calculului matricei sistemului normal

	1	0	0	0
NN-1=	0	1	0	0
	0	0	1	0
	0	0	0	1

Calculul corectiilor pentru cotele provizorii in [mm]:

x=
Control:
x=	2.22E-16

T 1.4 Calculul altitudinilor compensate:

Calculul vectorului corectiilor diferentelor de nivel:

T 1.5 Calculul diferentelor de nivel compensate:

T 1.6

Controlul compensarii:

Calculul elementelor de estimare a preciziilor:

1. Eroarea medie a unitatii de pondere :

=0.147 [mm/km]

2. Calculul abaterilor standard a necunoscutelor :

3. Calculul abaterilor standard a unei masuratori compensate:

Calculul abaterilor standard pe retea:

=0.038 [mm]

Prezentarea rezultatelor:

T 1.7 Diferente de nivel compensate

T 1.8 Altitudini compensate si abaterile standard ale acestora

2.Compensarea retelei libere de nivelment geometric in sistemul de altitudini ortometrice-sferoidice

T 2.1 Diferente de nivel si distante pentru liniile de nivelment:

T 2.2 Calculul altitudinilor provizorii pentru reperii de nivelment

T 2.3 Reducerea diferentelor de nivel la sistemul de altitudini ortometrice-sferoidice

T 2.3 Reducerea diferentelor de nivel la sistemul de altitudini ortometrice-sferoidice

T 2.3 Reducerea diferentelor de nivel la sistemul de altitudini ortometrice-sferoidice

T 2.4 Forma sistemului liniar al ecuatiilor de corectie

Matricea coeficientilor sistemului liniar

	-1	1	0	0
	-1	0	1	0
	-1	0	0	1
A=	0	-1	1	0
	0	0	-1	1
	1	1	1	1

Matricea ponderilor (P) si vectorul termenilor liberi (L)

	0.02	0	0	0	0	0
	0	0.01	0	0	0	0
P=	0	0	0.02	0	0	0	L=
	0	0	0	0.02	0	0
	0	0	0	0	0.02	0
	0	0	0	0	0	1.62

Matricea coeficientilor sistemului normal

N=

Matricea inversa a coeficientilor sistemului normal

Controlul calculului matricei sistemului normal

	1	0	0	0
	0	1	0	0
NN-1=	0	0	1	0
	0	0	0	1

Calculul corectiilor pentru cotele provizorii in [mm]:

T 2.5 Calculul altitudinilor compensate:

Calculul vectorului corectiilor diferentelor de nivel:

T 2.6 Calculul diferentelor de nivel compensate:

Controlul compensarii:

T 2.7

Calculul elementelor de estimare a preciziilor:

1. Eroarea medie a unitatii de pondere :

=0,30 [mm/km]

2. Calculul abaterilor standard a necunoscutelor :

Calculul abaterilor standard a unei masuratori compensate:

Calculul abaterilor standard pe retea:

=0,08 [mm]

Prezentarea rezultatelor:

T 2.8 Diferente de nivel compensate

T 2.9 Altitudini compensate si abaterile standard ale acestora

3.Compensarea retelei libere de nivelment geometric in sistemul de altitudini normale

T 3.1 Diferente de nivel si distante pentru liniile de nivelment:

T 3.2 Calculul altitudinilor provizorii pentru reperii de nivelment

T 3.3 Calculul gravitatii normale la altitudinea H a reperului de nivelment

T 3.3 Calculul gravitatii normale la altitudinea H a reperului de nivelment

T 3.3 Calculul gravitatii normale la altitudinea H a reperului de nivelment

T 3.4 Reducerea diferentelor de nivel la sistemul de altitudini normale

T 3.5 Forma sistemului liniar al ecuatiilor de corectie

Matricea coeficientilor sistemului liniar

	-1	1	0	0
	-1	0	1	0
A=	-1	0	0	1
	0	-1	1	0
	0	0	-1	1
	1	1	1	1

Matricea ponderilor (P) si vectorul termenilor liberi (L)

	0.02	0	0	0	0	0
	0	0.01	0	0	0	0
P=	0	0	0.02	0	0	0	L=
	0	0	0	0.02	0	0
	0	0	0	0	0.02	0
	0	0	0	0	0	1.62

Matricea coeficientilor sistemului normal

N=

Matricea inversa a coeficientilor sistemului normal

Controlul calculului matricei sistemului normal

	1	0	0	0
	0	1	0	0
NN-1=	0	0	1	0
	0	0	0	1

Calculul corectiilor pentru cotele provizorii in [mm]:

T 3.6 Calculul altitudinilor compensate:

Calculul vectorului corectiilor diferentelor de nivel:

T 3.7 Calculul diferentelor de nivel compensate:

Controlul compensarii:

T 3.8

Calculul elementelor de estimare a preciziilor:

1. Eroarea medie a unitatii de pondere :

=0,33 [mm/km]

2. Calculul abaterilor standard a necunoscutelor :

Calculul abaterilor standard a unei masuratori compensate:

4. Calculul abaterilor standard pe retea:

=0,34 [mm]

Prezentarea rezultatelor:

T 3.9 Diferente de nivel compensate

T 3.10 Altitudini compensate si abaterile standard ale acestora

II.      Prelucrarea masuratorilor efectuate in retele de nivelment trigonometric

Pentru a prelucra observatiile efectuate in retele de nivelment trigonometric prin metoda observatiilor indirecte trebuie sa cunoastem:

Distantele zenitale _ij ;

Altitudinile provizorii H_i^o pentru toate punctele retelei , din determinarile preliminarii;

Altitudinile definitive ale unor puncte H_i ;

Distante , reduse la elipsoidul de referinta , dintre punctele intre care s-au efectuat observatii unghiulare verticale , din prelucrari preliminarii ale unor distante masurate ;

Inaltimea instrumentului I in fiecare punct stationat si ale semnalelor S din fiecare punct vizat.

O valoare constanta pentru coeficientul de refractie k=0.13;

pentru a putea determina:

Valorile pentru necunoscutele modelului functional dx_i care adaugate la valorile provizorii vor da valorile cele mai probabile (compensate)ale altitudinilor punctelor noi ale retelei de nivelment trigonometric;

Corectii ale masuratorilor de distante zenitale v_ij cu ajutorul carora se obtin valorile compensate ale acestora:

Precizia cu care au fost determinate aceste valori;

Calcule preliminarii:

Se calculeaza diferentele de nivel provizorii cu ajutorul relatiei:

d_i-j^*-distanta masurata intre reperi;

_i-j^*-distanta zenitala masurata ;

I - inaltimea instrumentului;

S - inaltimea semnalului;

Formarea modelului functional-stochastic:

Prelucrare se va desfasura prin introducerea unei necunoscute pentru coeficientul de refractie si vor obtine corectii pentru distantele zenitale masurate , pentru altitudinile reperilor cat si pentru coeficientul de refractie.

in care se considera k^o=0.13 .

Modelul fuctional este reprezentat de relatia:

unde V - vectorul corectiilor;

A - matricea coeficientilor sistemului de ecuatii ale corectilor ;

x - vectorul necunoscutelor ;

l - vectorul termenilor liberi ;

Modelul functional va cuprinde necunoscutele dx (pentru altitudini) si necunoscuta dy pentru coeficientul de refractie.

Modelul stochastic este reprezentat de ecuatii de forma:

_ij _ij + v_ij

precum si de conditia de minim [pvv]=minim

V^T∙P∙V = minim

Forme ale ecuatiilor de corectie:

Ecuatia de corectie pentru cazul in care ambele puncte in care s-au efectuat observatii zenitale sunt noi:

Pentru cazul in care punctul stationat este nou iar cel vizat este vechi:

iar situatia cand punctul stationat este vechi iar cel vizat este nou:

Coeficientii ecuatiilor de corectie se calculeaza cu relatiile:

• a_ij = ;
• b_ij = ;
• ;
• ;
• l_ij ;

in care:

• R_A-reprezinta raza de curbura a unei sectiuni normale oarecare de azimut A:

;

• M-raza de curbura a sectiunii meridiane:

M = ;

• N- raza de curbura a sectiunii primului vertical:

N = ;

• W-notatie: W = ;
• R- reprezinta raza medie Gauss:

R = ;

• e - prima excentricitate numerica :

e² =

• B_m-latitudinea medie intre cele doua puncte;
• Orientarea intre 2 reperi oarecare A si B se calculeaza cu formula:

Reducerea distantelor la cota medie a terenului:

1. Reducerea distantei la coarda:

;

2. Reducerea distantei la elipsoid:

;

3. Reducerea distantei la cota medie:

;

unde: H_m - reprezinta altitudinea medie a terenului;

s_ij - distanta dintre cele 2 puncte exprimata in kilometri;

Stabilirea ponderilor observatiilor:

Ponderea unei directii unghiulare zenitale poate fi determinata in functie de distanta dintre cele doua puncte observate:

Constanta const poate fi un numar intreg astfel incat valorile ponderilor sa fie cuprinse intre 10^-2 si 10².

Rezolvarea sistemului normal prin tratare matriceala:

unde:     A - matricea coeficientilor sistemului liniarde ecuatii

P reprezinta matricea ponderilor

N- matricea sistemului normal

x - vectorul necunoscutelor

L - vectorul termenilor liberi

Verificarea calculului matricii inverse

unde I reprezinta matricea unitate

Astfel se vor obtine corectii pentru distante zenitale , pentru altitudinile punctelor si pentru coeficientul de refractie si valorile cele mai probabile ale acestora:

I.        Prelucrarea masuratorilor efectuate in retele de nivelment trigonometric

T II.1

Calculul diferentelor de nivel provizorii:

T II.2

Calculul cotelor provizorii:

T II.3

T II.4 Calculul orientarilor intre reperii de nivelment:

T II.4 Calculul orientarilor intre reperii de nivelment: