Sisteme de numeratie

Sisteme de numeratie

La nivel hardware, se folosesc mai multe tipuri de date:

.Bit

.Sir de biti: secvente de biti de lungimi date: tetrada: 4 biti, octet/byte: 8 biti, semicuvant: 16 biti, cuvant: 32 de biti, cuvantdublu: 64 de biti

.Caracter:ASCII: cod de 7 biti,EBCDIC: cod de 8 biti,UNICODE: cod de 16 biti

.Zecimal: cífrele zecimale0-9 codificate binar00002-10012(doua cifre zecimale pot fi impachetate pe un octet sau intr-un octet se poate plasao singura cifra zecimala);

.Intreg(Virgulafixa):

fara semn,

cu semn, reprezentare in: semn si modul (cod direct), complementul fatade 1 (cod invers) complementul fatade 2 (cod complementar).

.Real (Virgulamobila): precizie simpla, precizie dubla(cuvantdublu: 64 de biti), precizie extinsa.

De exemplu reprezentarea in notatie stiintifica este:

12,5=12,5*10⁰=0,125*10²=125*10^-1=125E-1, mantisa exponent.

mantisa este 11001; exponentul este 4₍₁₀₎=100₍₂₎ ; semnul numarului este pozitiv-0; semnul mantisei este; pozitiv-0, iar reprezentarea numarului este: 0 0 0000100 11001 00 0000 0000 0000 0000 ; valoarea biti; nesemnificativi pentru bit; bit exponent mantisei completare; semn semn ; numar exponent mantisa

Adunarea modulelor

.Denormalizarea: numarul cu exponent mai mic se incarca in acumulator si se deplaseaza cu un numar de pozitii spre dreapta, egal cu diferenta exponentilor. Daca exponentii sunt egali oricare dintre numere/operanzi poate fi incarcat in acumulator, fara a se efectua vreo deplasare.

.Adunarea:cel de-al doilea operand este adunat la acumulator.

.Normalizarea:daca s-a pozitionat in unu bitul D atunci se deplaseaza continutul acumulatorului cu un bit spre dreapta.

.Rotunjirea: se aduna 1 la pozitia G, dupa care, daca G = R = ST = 0, se forteaza

.Renormalizarea: daca D este pozitionat in unu se face deplasarea continutului acumulatorului spre dreapta.

.Depasirea: se verifica daca a avut loc o depasire a exponenului.

Sistem binar

Un Sistem binar este, in general vorbind, un sistem bazat pe 2 elemente, posibilitati, aspecte, parti, etape s.a. Acest articol descrie sistemul de numeratie binar, care foloseste drept baza numarul 2. Pentru alte genuri de sisteme (care pot fi binare sau nu) vezi articolul Sistem.

Reprezentarea numerelor in sistemul binar

In texte care contin numere in mai multe sisteme de numeratie, pentru a evita ambiguitatile, dupa numarul in cauza se adauga ca subindice si baza sistemului de numeratie in paranteze. De exemplu numarul zecimal (obisnuit) 100 se noteaza 100₍₁₀₎ (in baza zece), spre a-l deosebi de 100₍₂₎ (in baza doi), care are valoarea unui 4 obisnuit (in baza zece)

Adunarea in binar

Tabla adunarii a doua cifre binare este urmatoarea:

1 + 1 = 10 (cu 'depasire')

Ultimul rand de mai sus se citeste: 'Unu plus unu este egal cu unu-zero (in baza 2)', valoarea lui 10₍₂₎ fiind desigur 2₍₁₀₎. Pe baza tablei de mai sus se pot aduna oricare 2 numere binare A si B. Exemplu (se incepe de la dreapta):

1 1 1 - 1 <== transporturi, rezultate din depasirea de pe pozitia anterioara)

A 1 1 0 1 <== valoarea lui A este 13₍₁₀₎ (1 + 4 + 8)

+B 1 0 1 0 1 <== valoarea lui B este 21₍₁₀₎ (1 + 4 + 16)

=S 1 0 0 0 1 0 <== valoarea sumei este 34₍₁₀₎ (2 + 32).

Scaderea

Scaderea in sistemul binar functioneaza foarte asemanator cu adunarea binara. Tabla scaderii este:

0 - 1 = 1 (cu 'imprumut')

Pe aceasta baza se pot scadea numere binare formate din mai multe 0-uri si 1-uri. Operatia se executa pozitie cu pozitie, de la dreapta la stanga. La nevoie se foloseste 'imprumutul' de la pozitia de mai la stanga. De exemplu:

* * * <== coloanele marcate cu stelute se folosesc pentru imprumut

A 1 1 0 0 1 0 1 <== A are valoarea zecimala 1 + 4 + 32 + 64 = 101₍₁₀₎

−B    1 1 0 1 1 <== B are valoarea zecimala 1 + 2 + 8 + 16 = 27₍₁₀₎

=D 1 0 0 1 0 1 0 <== diferenta lor este D = 2 + 8 + 64 = 74₍₁₀₎

Scaderea unui numar binar produce acelasi rezultat cu adaugarea aceluias numar dar cu semn schimbat. La calculatoare, pentru a schimba semnul unui numar, se foloseste complementul fata de 2, o operatie binara logica elementara. Aceasta elimina necesitatea de a mai realiza, pe langa circuitele de adunare, si pe cele de scadere. Altfel spus, scaderea se realizeaza prin urmatoarele doua adunari: A - B = A + not B + 1

Inmultirea

Inmultirea (multiplicarea) in binar se bazeaza, la fel ca si in sistemul zecimal, pe adunare. Tabla inmultirii binare este simpla:

0 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 0 = 0

1 x 1 = 1

Pentru a multiplica numerele binare A si B se fac intai produsele partiale ale lui A cu fiecare cifra binara a lui B, luate de la dreapta la stanga, si apoi se aduna rezultatele partiale intre ele. Produsele partiale ale fiecarei cifre din B cu A sunt si ele simple: Daca cifra din B este un 0, atunci si produsul partial este 0, si nu are efect asupra adunarii; Daca cifra din B este un 1, atunci produsul partial al lui A cu 1 este chiar A.

Exemplu 1010₍₂₎ x 11011₍₂₎:

1 1 0 1 1 <== A este egal cu 1 + 2 + 8 + 16 = 27₍₁₀₎

× 1 0 1 0 <== B este egal cu 2 + 8 = 10₍₁₀₎

---------

0 0 0 0 0

+ 1 1 0 1 1

+ 1 1 0 1 1

----- ----- -------

1 0 0 0 0 1 1 1 0 <== Produsul A x B = 2 + 4 + 8 + 256 = 270₍₁₀₎

* * * * <== depasire (la adunare)

Impartirea

Si impartirea binara se aseamana in buna parte cu cea obisnuita, zecimala. Cand numarul A trebuie impartit la numarul B, A se mai numeste 'deimpartit', iar B 'impartitor'. In general se deosebesc 2 feluri de impartiri: cea exacta, la care intereseaza si se calculeaza si cifrele de dupa virgula,

si cea cu rest, cand impartitorul B nu intra exact in deimpartitul A; calculele se opresc acolo unde ar urma virgula, dar din deimpartit ramane un rest, care trebuie specificat.

Exemplu de impartire binara cu rest: 1100111₍₂₎ / 101₍₂₎ (sau in zecimal, 103 / 5 = 20 rest 3). Se procedeaza de la stanga la dreapta:

1 1 0 0 1 1 1 / 1 0 1 = 1 0 1 0 0 (= 20₍₁₀₎). Restul se afla pe penultima linie, si anume 0 1 1 (= 3₍₁₀₎).

- 1 0 1 <== incape si executam scaderea; trecem un 1 la rezultat;

<== 'coboram' o cifra din deimpartit;

- 1 0 1 <== nu incape; trecem un 0 la rezultat;

0 0 1.0.1 <== mai 'coboram' inca o cifra;

- 1 0 1 <== incercam sa scadem inca o data, cu o pozitie mai la dreapta;

= 0 0 0.1 <== acum incape exact; trecem un 1 la rezultat, si 'coboram' cifra urmatoare;

- 1 0 1 <== nu incape; trecem un 0 la rezultat;

0 0 0.1.1 <== mai 'coboram' o cifra; acesta este restul, deoarece

- 1 0 1 <== cand incercam inca o data, nu incape nici acum; trecem inca un 0 la rezultat;

acuma insa nu mai exista nici cifre de coborat.

Impartirea binara consta intr-un siri de scaderi. De fiecare data cand impartitorul nu incape in acelasi numar de cifre ale deimpartitului (cu alte cuvinte este mai mic), se mai 'coboara' urmatoarea cifra spre dreapta din deimpartit.

Operatii binare logice

Cu numerele binare se pot executa si operatii logice sau 'booleene' (numite asa dupa matematicianul si filozoful englez George Boole); acestea nu pun accentul pe valoarea aritmetica a numarului binar in cauza, ci pe manipularea numerelor si cifrelor binare conform legilor adevarului si falsului. Vezi articolul Logica binara.