CALCULUL SIMBOLIC IN MATLAB

CALCULUL SIMBOLIC IN MATLAB

In MATLAB pot fi efectuate in mod simbolic o serie de calcule matematice cum ar fi calculul unor derivate, integrale, limite sau serii Taylor; in cadrul algebrei liniare determinarea inversei, valorilor proprii, determinantului sau descompunerii unei matrici simbolice, metode de simplificare a expresiilor algebrice, rezolvarea simbolica si numerica a ecuatiilor algebrice si diferentiale, functii speciale s.a.

Toolbox-ul Symbolic Math defineste un nou tip de date MATLAB numite obiecte simbolice. Un obiect simbolic este o structura de date de tip sir de caractere ce reprezinta simbolul utilizat pentru a reprezenta o variabila, o expresie matematica sau o matrice.

Crearea de variabile si expresii simbolice

Pentru construirea de variabile si expresii simbolice se utilizeaza comanda sym. De exemplu, comenzile:

a = sym('alpha')

xb= sym('beta')

creeaza o variabila simbolica a care este tiparita pe ecran alfa si o variabila simbolica b ce este tiparita beta. Daca se da comanda a+b, raspunsul va fi:

ans =

alfa+beta

In acelasi mod se procedeaza in cazul expresiilor matematice. De exemplu, daca dorim sa reprezentam simbolic o expresie in care apare raportul: , atunci utilizam comanda:

r=sym('(1+sqrt(5))/2')

Acum pot fi efectuate diferite calcule matematice utilizand variabila r. Spre exemplu, relatia:

f=r^2-r-1

returneaza raspunsul:

f = (1/2+1/2*5^(1/2))^2-3/2-1/2*5^(1/2)

Daca se da comanda: simplify(f) se obtine valoarea 0.

Sa presupunem ca dorim sa studiem functia patatica: f=ax²+bx+c. Comanda

f = sym('a*x^2+b*x+c')

asigneaza expresia simboica ax2 + bx + c variabilei f. In acest caz insa nu se creeaza variabile corespunzatoare termenilor a, b, c si x. Pentru a putea efectua opeatii matematice cu aceasta expresie trebuie create variabilele in mod explicit, adica:

a = sym('a')

b = sym('b')

c = sym('c')

x = sym('x')

sau mai simplu:

syms a b c x (care este mai recomandata deoarece este mai putin de scris).

Conversiile numerice

Consideram urmatoarea marime constanta:

t = 0.1

Functia sym are patru optiuni pentru o reprezentare simbolica a valorii numerice aflate in t. Acestea sunt urmatoarele:

- optiunea 'f' : sym(t,'f')

returneaza o reprezentare simbolica in virgula mobila:

'1.999999999999a'*2^(-4)

- optiunea 'r' : sym(t,'r')

returneaza forma rationala a numarului 1/10 (aceasta este setarea implicita a functiei sym)

- optiunea 'e' sym(t,'e')

returneaza forma rationala a lui t plus diferenta intre valoarea rationala teoretica a lui t si valoarea actuala in virgula mobila

sym(t,'e')

ans = 1/10+eps/40

- optiunea 'd' returneaza numarul t pe atatea cifre zecimale cate specifica instructiunea digits (valoarea implicita fiind de 32 de cifre). sym(t,'d')

ans = .10000000000000000555111512312578

digits(7)

sym(t,'d')

ans = .1000000

O utilizare importanta a functiei sym este conversia unei matrici din forma numerica in forma simbolica. Daca avem urmatoarea matrice:

A = 1.0000 0.5000 0.3333

0.5000 0.3333 0.2500

0.3333 0.2500 0.2000

atunci instructiunea

A = sym(A)

conduce la urmatorul rezultat

A =

[ 1, 1/2, 1/3]

[ 1/2, 1/3, 1/4]

[ 1/3, 1/4, 1/5]

Crearea de functii matematice simbolice

Exista doua modalitati de a crea functii matematice:

folosirea expresiilor simbolice;

crearea de fisiere matlab.

Utilizand expresii simbolice se folosesc comenzile urmatoare:

syms x y z

r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

t = atan(y/x)

f = sin(x*y)/(x*y)

care genereaza expresiile simbolice r, t, si f.

Crearea unui fisier matlab ce contine o functie simbolica permite o utilizare mai generala a functiilor. Spre exemplu crearea functiei sin(x)/x poate fi realizata astfel:

function z = sinc(x)

if isequal(x,sym(0))

z = 1;

else

z = sin(x)/x;

end

Calcule simbolice

Calculul derivatei Spre exemplu, pentru a calcula derivata simbolica a functiei sinus, cream expresia:

syms a x

f = sin(a*x)

dupa care folosind functia diff se calculeaza derivata acesteia in raport cu x.

diff(f)

ans = cos(a*x)*a

Se poate calcula derivata in raport cu variabila a cu comanda:

diff(f,a)

care returneaza df/da.

ans = cos(a*x)*x

Pentru a calcula derivata de ordinul 2 se utilizeaza urmatoarea comanda:

diff(f,x,2)

care returneaza urmatorul rezultat:

ans = -sin(a*x)*a^2

Calculul integralei Daca f este o expresie simbolica, atunci comanda:

int(f,v)

determina integrala nedefinita a lui f in raport cu v. De asemenea este posibil calculul integralei definite folosind comanda:

int(f,v,a,b),

unde f este expresia ce trebuie integrata, v, variabila dupa care se face integrarea, iar a si b sunt limitele de integrare.

Calculul limitelor

Daca f este o expresie simbolica, atunci comanda:

limit(f,x,a) sau limit(f,a), calculeaza

iar limit(f,x,a,'left') si limit(f,x,a,'right') calculeaza limitele la dreapta si la stanga.

Calculul unor serii Suma unor serii de numere poate fi calculata utilizand comanda symsum. Spre exemplu, suma seriei este

syms x k

s1 = symsum(1/k^2,1,inf)

s1 = 1/6*pi^2

Simplificari Iata trei expresii diferite:

syms x

f = x^3-6*x^2+11*x-6

g= (x-1)*(x-2)*(x-3)

h = x*(x*(x-6)+11)-6

Folosind urmatorele comenzi ele pot fi puse sub forma obisnuita:

pretty(f), pretty(g), pretty(h)

x³ - 6 x² + 11 x - 6

(x - 1) (x - 2) (x - 3)

x (x (x - 6) + 11) - 6

Aceste expresii sunt trei reprezentari diferite ale aceleiasi functii matematice. Fiecare din cele trei forme poate fi preferata intr-o anumita situatie. Prima forma este cea mai des utilizata reprezentare a unui polinom. Cea de-a doua este forma factorizata, cea care prezinta radacinile polinomului. Cea de-a treia forma este reprezentarea Horner.

Exista cateva functii ce aplica o serie de identitati algebrice si trigonometrice pentru a transforma o reprezentare a unei functii in alta posibil mai simpla sau mai utila. Aceste functii sunt: collect, expand, horner, factor, simplify, si simple.

Functia collect grupeaza termenii polinomului in ordine descescatoare a puterilor variabilei simbolice:

f=(x-1)*(x-2)*(x-3)

collect(f)

x^3-6*x^2+11*x-6

Functia expand asigura distributivitatea inmultirii fata de adunare. Iata cateva exeple:

Functia horner transforma un polinom in reprezentarea Horner a acestuia.

f= x^3-6*x^2+11*x-6

horner(f)

-6+(11+(-6+x)*x)*x

Functia factor exprima un polinom cu coeficienti rationali in produs de polinoame de grad minim.

f= x^3-6*x^2+11*x-6

factor(f)

(x-1)*(x-2)*(x-3)

Functia simplify poate fi utilizata pentru simplificarea unor expresii ce contin identitati algebrice, puteri intregi sau fractionale, functii trigonometrice, exponentiale sau logaritmice si functii speciale.

f= x*(x*(x-6)+11)-6

simplify(f)

x^3-6*x^2+11*x-6

f=(1-x^2)/(1-x)

simplify(f)

x+1

Rezolvarea ecuatiilor algebrice

Daca S este o expresia simbolica, atunci solve(S) determina valorile variabilei simbolice pentru care S este zero. De exemplu, ecuatia de gradul II se rezolva astfel:

syms a b c x

S = a*x^2 + b*x + c;

solve(S)

ans =

[1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))]

[1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]

Daca se doreste rezolvarea unei ecuatii de forma f(x) = q(x), trebuie folosite siruri de caractere intre apostroafe:

s = solve('cos(2*x)+sin(x)=1')

s =

[ 0] [ pi] [ 1/6*pi] [ 5/6*pi]

Rezolvarea ecuatiilor diferentiale

Functia dsolve calculeaza solutii simbolice pentru ecuatii diferentiale ordinare. Ecuatiile trebuie specificate prin expresii simbolice ce contin litera D pentru a nota diferentiala. D2, D3, . DN corespund derivatei de ordinul 2, 3 . . . N. In mod implicit, variabila independenta este t. Astfel, expresia D2y reprezinta relatia . Conditiile initiale pot fi specificate prin adaugarea de ecuatii. Daca nu sunt specificate conditiile initiale, solutiile vor contine constante de integrare C1, C2, etc.

Exemple:

dsolve('Dy=1+y^2')

ans = tan(t+C1)

Pentru a specifica conditiile initiale se utilizeaza expresia:

y = dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1')

y = tan(t+1/4*pi)

Observatie: Variabila y se afla in spatiul de lucru al MATLAB-ului, insa variabila independenta t trebuie declarata cu comanda syms t , altfel comanda diff(y,t) va da eroare.

Ecuatiile neliniare pot avea mai multe solutii, chiar daca se dau conditiile initiale.

x = dsolve('(Dx)^2+x^2=1','x(0)=0')

x = [-sin(t)]

[ sin(t)]

y = dsolve('D2y=cos(2*x)-y','y(0)=1','Dy(0)=0','x')

simplify(y)

y = -2/3*cos(x)^2+1/3+4/3*cos(x)

Calculul transformatei Z directe si inverse

Transformata Z directa pentru un sir de numere este data de relatia:

In MATLAB exista doua posibilitati pentru calculul transformatei Z:

F =ztrans(f) sau F(z) = symsum(f(n)/z^n, n, 0, inf),

unde n este variabila simbolica a expresiei f.

f = sin(a*n)

ztrans(f,w)

ans= sin(a)*w/(1-w*cos(a)+w^2)

Transformata Z inversa are urmatoarea sintaxa:

f = iztrans(F)

Expresia F are z ca variabila independenta implicita.

Calculul transformatei Laplace directe si inverse

Transformata Laplace pentru o functie f(t) este data de relatia:

In Matlab se utilizeaza comanda L = laplace(F) unde expresia simbolica F are pe t ca variabila independenta implicita. Functia returnata este o functie in s.

f = t^4

laplace(f)

ans= 24/s^5

Transformata Laplace inversa este data de relatia , iar in MATLAB se utilizeaza comanda: F = ilaplace(L) cu variabila independenta implicita s.

f = 1/s^2

ilaplace(f)

ans= t

TEMA:

Sa se calculeze derivatele de ordinul I si II pentru urmatoarele functii:

, ,

Sa se calculeze urmatoarele integrale:

, ,,,

Sa se calculeze urmatoarele limite si serii:

, , ,

Sa se rezolve urmatoarele ecuatii diferentiale:

y"+(y²-1)y'+y=0, y"+5y'y²+y=0

y"'+7y"-y'tg(y')+3y+1=0, in C.I. y"'(0)=0.4, y"(0)=0,y'(0)=0.2

Sa se rezolve urmatoarele sisteme de ecuatii:

,

Sa se calculeze transformata Z directa pentru sirurile:

f(n)=1, f(n)=1/n, f(n)=1/n²

Sa se calculeze transformata Z inversa pentru functiile:

F(z)=, F(z)=, F(z)=, F(z)=

Sa se calculeze transformata Laplace directa pentru functiile:

f(t)=e^-4t+sin(t-2)+t²e^-2t, f(t)=sin(at), f(t)=cos(at), f(t)=e^atsin(bt)

Sa se calculeze transformata Laplace inversa pentru functiile:

, , ,