FUNCTII MATEMATICE UZUALE

FUNCTII MATEMATICE UZUALE

1. NUMERE COMPLEXE

Operatiile cu numere complexe folosesc functiile:

abs - calculeaza valoarea absoluta (modulul) a argumentului;

angle - calculeaza faza (unghiul) argumentului;

unwrap - calculeaza partile reala si imaginara ale numerelor complexe exprimate in forma polara;

conj - extrage partea imaginara a argumentului;

real - extrage partea reala a argumentului.

1.1. Definirea numerelor complexe in MATLAB

Numerele complexe sunt permise in toate operatiile si functiile din MATLAB. Acestea sunt introduse utilizand variabilele speciale i si j, ca in exemplele:

Pentru a defini matricea:

exista doua metode:

- ca suma a doua matrice cu elemente numere reale, una reprezentand partea reala iar celalta partea imaginara;

M = [2 0; -1 -5]+[3 1; 0 1]*i

- ca o matrice cu elemente numere complexe;

M=[2+3*i i; -1 -5+i]

Prin al doilea procedeu, trebuie evitat orice spatiu liber (blanc) intre partile reala si imaginara ale aceluiasi numar complex; astfel:

a=[2+3*i]

b=[2 +3*i]

returneaza:

a=[2.0000+3.0000i ]

b=[2.0000 0+3.0000i]

notatia b reprezentand doua numere separate

Daca variabilele i sau j au fost deja utilizate in alte scopuri, pentru calculul cu numere complexe poate fi declarata o noua unitate imaginara, in modul urmator:

1.2. Modulul si argumentul numerelor complexe

Un numar complex z se exprima in una din formele:

- carteziana:

- polara:

unde x si y sunt partile reala si imaginara ale numarului complex z, iar r si j sunt modulul si argumentul numarului complex z.

Functia abs determina modulul elementelor unui vector sau matrice; se apeleaza cu sintaxa:

Functia angle calculeaza argumentul elementelor unui vector sau matrice, in radiani; se apeleaza cu sintaxa:

Functia unwrap permite calculul partilor reale si imaginare, cu sintaxele:

x=unwrap(z)

x=unwrap(real(z))

y=unwrap(imag(z))

Argumentul numarului complex trebuie sa fie exprimat in radiani.

Exemplul 1.Sa se scrie numarul complex sub forma polara.

Cu instructiunile:

se obtine rezultatul

r = 1.4142

fi = 0.7854

Exemplul 2. Sa se scrie numarul complex sub forma carteziana.

Cu instructiunile:

se obtine rezultatul:

Exemplul 3. Fie data matricea cu numerele complexe exprimate sub forma polara:

.

Sa se determine proiectiile acestor numere pe axele reala si imaginara, aplicand functia unwrap.

Cu instructiunile:

M=[1 exp(i*pi/4) exp(-i*pi/4); exp(i*(pi/2+pi/4)) exp(i*(2*pi+pi/4)) .

exp(-i*(2*pi+pi/4))];

x = unwrap(real(M))

y = unwrap(imag(M))

se obtine:

1.3. Partile reala si imaginara si conjugatul numerelor complexe

Partea reala a unui numar complex poate fi determinata cu functia real; se apeleaza cu sintaxa:

x=real(z)

iar partea imaginara poate fi determinata cu functia imag; se apeleaza cu sintaxa:

y=imag(z)

Conjugatul al unui numar complex se poate determina cu functia conj; se apeleaza cu sintaxa:

conj=conj(z)

Exemplu. Fie data matricea .

Sa se determine partea reala, imaginara si conjugatul elementelor acesteia.

Cu secventa MATLAB:

M=[1 2+i; -i 4*exp(i*pi/4)]

Mr = real(M) %partea reala

Mi = imag(M) %partea imaginara

Mc = conj(M) %matricea conjugata

se obtin rezultatele:

2. FUNCTIILE PUTERE, RADICAL, LOGARITM ÈI EXPONENTIALÆ

Functiile MATLAB pentru ridicarea la putere, extragerea radicalului, calculul logaritmului si al exponentialei, sunt:

^ - ridica un numar la puterea n ();

exp - calculeaza exponentiala ();

log - calculeaza logaritmul natural ();

log2 - calculeaza logaritmul in baza 2 ();

log10 - calculeaza logaritmul zecimal ();

nextpow2 - determina puterea N a numarului 2 care majoreaza modulul argumentului P ();

pow2 - calculeaza valoarea numarului 2 la puterea n ();

sqrt - calculeaza radicalul de ordinul doi dintr-un numar.

Daca argumentul acestor functii elementare sunt matrice, ele opereaza element cu element. Argumentele functiilor pot fi si numere complexe.

2.1. Functia putere

MATLAB - ul dispune de doua functii pentru ridicarea la putere:

- pow2 - pentru a ridica 2 la puterea n (),

- ^ - pentru a ridica un numar la puterea n ().

Se apeleaza cu sintaxele:

y=pow2(x) - calculeaza numarul . Daca x este o matrice, y va fi o matrice de aceleasi dimensiuni, cu elementele calculate dupa aceasta regula, functia actionand element cu element.

y=pow2(m,n) - calculeaza numarul ;

- calculeaza puterea n a numarului a, . Exponentul n poate avea orice valoare, reala sau complexa. Pentru calculul radicalului de ordinul n dintr-un numar a, se utilizeaza functia putere sub forma: .

Functia nextpow2 avand ca argument scalarul P, se apeleaza cu sintaxa:

N=nextpow2(P)

si returneaza cel mai mic numar natural N astfel incat .

Daca P este vector, functia returneaza scalarul N, astfel incat majoreaza numarul de elemente ale vectorului.

Exemplul 1. Sa se calculeze

Cu secventa:

rezulta:

adica:

Exemplul 2. Sa se efectueze aceleasi calcule ca la punctul anterior, utilizand operatorul de ridicare la putere ^.

Cu secventa:

se obtin aceleasi rezultate.

Exemplul 3. Sa se calculeze: .

Cu secventa:

se obtine:

x = 5.0000

Exemplul 4. Sa se determine puterile N ale lui 2 care majoreaza elementele vectorului . Sa se calculeze vectorul majorant .

Cu secventa:

se obtin rezultatele:

2.2. Functia radical

Calculul radicalului de ordinul 2 dintr-un numar, , poate utiliza functia putere sau functia sqrt, apelata cu sintaxa:

Argumentul poate fi orice numar real sau complex. Daca numarul a este negativ sau complex, rezultatul calculului este un numar complex.

Exemplul 1. Sa se calculeze radicalul fiecarui element al matricei: .

Cu secventa de instructiuni:

se obtine rezultatul:

2.3. Functia logaritm

Calculul logaritmului natural, logaritmului in baza 2 sau al logaritmului in baza 10 al unui numar utilizeaza functiile log, log2 si respectiv log10, apelate cu sintaxele:

Daca argumentul functiilor log si log10 este un numar negativ sau complex, , rezultatul este calculat cu relatiile:

log(z)=log(abs(z)) + i atan2(y,x)

log10(z)=log10(abs(z)) + i atan2(y,x)

unde atan2 este functie MATLAB ce calculeaza arctangenta numarului complex.

Exemplul 1. Sa se calculeze logaritmul natural si zecimal din numerele si 100.

Cu secventa:

sau:

se obtine rezultatul:

Exemplul 2. Sa se calculeze logaritmul in baza 2 al elementelor matricei:

Cu secventa:

se obtine rezultatul:

2.4. Functia exponentiala

Calculul exponentialei, (unde ) foloseste functia exp, apelata cu sintaxa:

Daca argumentul este numarul complex , rezultatul este calculat cu relatia:

Exemplu. Sa se calculeze: , si .

Cu secventa:

sau

se obtine rezultatul:

3. FUNCTIILE TRIGONOMETRICE

Functiile trigonometrice se apeleaza cu sintaxa:

x = nume_functie(argument)

unde:

- nume_functie - este numele uneia dintre functiile trigonometrice de mai jos;

- argument - este valoarea pentru care se evalueaza functia;

- x - este variabila in care se returneaza rezultatul;

Daca argumentul este o matrice, functiile trigonometrice opereaza asupra fiecarui element.

3.1. Functiile trigonometrice directe

Functiile trigonometrice directe in MATLAB sunt:

sin - calculeaza sinusul argumentului;

cos - calculeaza cosinusul argumentului;

tan - calculeaza tangenta argumentului;

cot - calculeaza cotangenta argumentului;

sec - calculeaza secanta argumentului;

csc - calculeaza cosecanta argumentului.

Pentru argumente numere complexe, , relatiile de calcul sunt:

Exemplu. Sa se calculeze functiile trigonometrice directe ale elementelor vectorului:

Cu secventa:

se obtin rezultatele:

3.2. Functiile trigonometrice inverse

Functiile trigonometrice inverse in MATLAB sunt:

asin - calculeaza arcsinusul argumentului;

acos - calculeaza arccosinusul argumentului;

atan - calculeaza arctangenta argumentului;

atan2 - calculeaza arctangenta unui argument complex;

acot - calculeaza arccotangenta argumentului;

asec - calculeaza arcsecanta argumentului;

acsc - calculeaza arccosecanta argumentului.

Exemplu. Sa se calculeze functiile trigonometrice inverse pentru elementele vectorului: .

Cu secventa:

se obtin rezultatele:

4. PROBLEME PROPUSE

1. Fie matricea .

Sa se determine proiectiile elementelor matricei M pe axele reala si imaginara.

2. Sa se calculeze logaritmul natural si logaritmul zecimal din numerele e⁵ si 1000.

3. Sa se calculeze functiile trigonometrice sin si cos ale elementelor vectorului:

.

4. Sa se scrie numarul sub forma polara.

5. Sa se calculeze logaritmul natural si logaritmul zecimal din numerele e³ si 1000.

6. Sa se calculeze functiile trigonometrice sin si cos ale elementelor vectorului:.

7. Sa se scrie numarul complex sub forma carteziana.

8. Sa se calculeze logaritmul natural si logaritmul zecimal din numerele e⁷ si 10000.

9. Sa se calculeze functiile trigonometrice sin si cos ale elementelor vectorului:

.

10. Fie matricea .

Sa se determine proiectiile elementelor matricei M pe axele reala si imaginara.

11. Sa se calculeze functiile trigonometrice sin si cos ale elementelor vectorului:

.

12. Sa se scrie numarul sub forma polara.

13. Sa se calculeze logaritmul natural si logaritmul zecimal din numerele e⁴ si 100.

14. Sa se calculeze functiile trigonometrice sin si cos ale elementelor vectorului:

.

15. Sa se scrie numarul complex sub forma carteziana.

16. Sa se calculeze logaritmul natural si logaritmul zecimal din numerele e⁵ si 1000.

17. Sa se calculeze functiile trigonometrice sin si cos ale elementelor vectorului:

.