Rezolvarea unei probleme de asteptare utilizand programul WinQSB

Master ML+IMFP

Tema de Laborator

Rezolvarea unei probleme de asteptare utilizand programul WinQSB

Prezentarea programului

Programul modeleaza si rezolva sisteme de asteptare cu urmatoarele caracteristici:

Sursa sosirilor: populatie infinita, populasie finita;

Natura sosirilor: aleatoare, distributie Poisson, distributie generala;

Un singur fir de asteptare, cu lungime nelimitata sau limitata;

Una sau mai multe statii de servire;

Timpul de servire: variabila aleatoare, distributie exponentiala;

O anumita disciplina de servire: FIFO, LIFO,

Fiecare problema poate fi rezolvata prin trei metode, una analitica si doua aproximative, prin simulare. In plus, modelul ofera facilitati precum analiza performantei sistemului, analiza de senzitivitate pentru parametrii sistemului, reprezentarea grafica a analizei de senzitivitate.

Exemplu: Se presupune ca intr-un magazin este un singur angajat si clientii sosesc in magazin conform unei legi Poisson la un ritm de unul la fiecare doua minute. Angajatul poate servi 4 clienti pe minut. Evaluati si comentati functionarea sistemului.

Rezolvare

Din meniul File aferent modulului Queuing Analisis, se selecteaza optiunea New si apoi tipul de problema, respectiv Simple M/M System. Se specifica, de asemenea, unitatea de masura pentru timp, minute.

Se introduc apoi datele initiale ale problemei:

Prima optiune din meniul Solve and Analyze, respectiv Solve the Performance, ofera informatii cu pivire la elementele de calcul ale sistemului:

Modulul ofera posibilitatea realizarii unei analize a probabilitatii de asteptare in sistem, in functie de numarul de clienti: incepand cu numarul de 10 clienti, probabilitatea ca n clienti sa se afle in sistem devine zero.

Sistemul se poate simula - optiunea Simulate the System, din acelasi meniu, Solve and Analyze. Se selecteaza disciplina de servire si durata in zile pentru simulare:

Rezultatele de mai jos corespund unei discipline de servire FIFO, dupa 1000 de minute de simulare:

De asemenea, se poate efectua o analiza de senzitivitate in functie de oricare dintre parametrii sistemului. Facilitatea se gaseste in meniul Solve and Analyze si se numeste Perform Sensitivity Analysis. Rezultatele de mai jos se obtin in cazul in care numarul statiilor de servire variaza intre 1 si 3.

Rezultatele pot fi prezentate si sub forma grafica, in functie de fiecare parametru al sistemului, cu ajutorul optiunii Show Sensitivity Analysis-Graph, din meniul Result.

Probleme propuse

Prin metode statistice s-a stabilit ca numarul cumparatorilor de ziare in primele ore ale diminetii este o variabila aleatoare poissoniana, iar timpul de servire a unui client de catre vanzator este o variabila aleatoare exponentiala.

Stiind ca in medie sosesc 70 cumparatori pe ora, iar vanzatorul poate servi 100 persoane pe ora, sa se determine:

a)    probabilitatea de inactivitate a vanzatorului;

b)   probabilitatea cain sistemul de asteptare sa existe:

doua persoane

mai mult de doua persoane;

c)    numarul mediu de persoane din sistem, numarul mediu de persoane din firul de asteptare si numarul mediu de clienti ce sunt serviti la un moment dat;

d)   timpul mediu de asteptare a unui client in sistem, apoi in fir;

e)    probabilitatea ca o persoana sa astepte mai mult de doua minute.

Intr-un laborator alimentar se afla 12 instalatii frigorifice, intretinute de un electrotehnician. Pentru fiecare instalatie frigorifica in parte, s-a constatat ca repartitia timpului de functionare, pana in momentul cand instalatia se defecteaza, este exponentiala, cu media de 40 de ore, iar durata medie pentru indepartarea unei defectiuni este de 4 ore. Stiind ca numarul instalatiilor defecte, precum si ale celor reparate sunt variabile aleatoare cu repartitie Poisson, se cere:

a) probabilitatea ca in laborator sa nu existe nici o instalatie care sa astepte sa fie reparata;

b) numarul mediu de instalatii defecte la un moment dat;

c) timpul mediu de asteptare in sistem si in firul de asteptare.

La un post de vama pentru automobile, numarul masinilor care sosesc este in medie de 20 automobile pe ora si are repartitie poissoniana. Intr-o ora un functionar poate realiza formalitatile pentru 7 masini. Stiind ca timpul de servire este o variabila aleatoare cu repartitie exponentiala, sa se determine:

a) numarul functionarilor necesari pentru evitarea aglomerarii;

b) probabilitatea ca nici o masina sa nu astepte la vama;

c) probabilitatea ca doua masini sa astepte la vama;

d) numarul mediu de masini care asteapta sa li se intocmeasca formele de trecere la vama;

e) timpul mediu de asteptare a unei masini in sistem si in firul de asteptare.

Patru mecanici au in grija functionarea a noua utilaje identice, care se defecteaza in mod aleator. Numarul utilajelor defecte este o variabila poissoniana cu = 0,2 utilaje pe ora, iar timpul de eliminare a defectiunii este o variabila exponentiala cu = 0,5 utilaje pe ora.

Sa se determine:

a) probabilitatea ca toate utilajele sa functioneze;

b) probabilitatea ca doua, apoi cinci utilaje sa fie defecte;

c) numarul mediu de utilaje defecte la un moment dat;

d) timpul mediu de asteptare in sistem.

Muncitorii unui atelier sosesc la magazia de scule a intreprinderii in mod aleator. S-a constatat ca sosirile muncitorilor sunt poissoniene, cu media de patru muncitori la fiecare sase minute. De asemenea, un primitor- distribuitor serveste un muncitor intr-un timp cu repartitie exponentiala, putand servi, in medie, trei muncitori la fiecare sase minute. Se presupune ca numarul de muncitori ce pot solicita scule este foarte mare.

Retributia orara a unui primitor-distribuitor este de 9 u.m., iar pierderile din productie, datorita asteptarii unui muncitor la magazie, se apreciaza la 24 u.m. pe ora.

Sa se afle care este numarul optim de primitori-distribuitori ce trebuie angajati la magazie, astfel incat cheltuielile totale, datorate inactivitatii distribuitorilor si asteptarii muncitorilor in firul de asteptare format, sa fie minime.