BAZELE STATISTICII

BAZELE STATISTICII

I. Indicatorii tendintei centrale

Media

Media nivelurilor individuale ale unei variabile (caracteristici) statistice este expresia sintetizarii intr-un singur nivel reprezentativ a tot ceea ce este esential, tipic si obiectiv in aparitia, manifestarea si dezvoltarea acesteia.

a. Media aritmetica

Media aritmetica se foloseste atunci cand fenomenul supus cercetarii inregistreaza modificari aproximativ constante, in progresie aritmetica, prezentand, deci, o tendinta liniara.

Media aritmetica simpla se foloseste pentru seriile simple, adica in cazul in care numarul variantelor caracteristicii studiate este egal cu numarul unitatilor sau cand se cunoaste nivelul totalizat al caracteristicii si numarul unitatilor: .

Media aritmetica ponderata este intalnita in cazul seriilor de distributie, cand unele variante ale caracteristicii se inregistreaza de mai multe ori. Daca fiecare varianta x_i a caracteristicii are o frecventa de aparitie f_i in colectivitate, atunci suma simpla este inlocuita cu suma produsului x_i · f_i, rezultand:

b. Media armonica

Media armonica se determina doar pentru variabile cantitative si se aplica numai in cazuri speciale. In general, utilizarea acestui tip de medie este recomandat atunci cand doua variabile interdependente se afla in raport de inversa proportionalitate.

Media armonica are, in principiu, aceeasi metodologie de calcul ca media aritmetica, functia determinanta fiind tot de tip aditional; deosebirea consta in aceea ca nu se folosesc variantele x₁, x₂, . , x_n , ci inversul acestora, adica .

Media armonica simpla este specifica seriilor simple, determinandu-se astfel:

Media armonica ponderata se utilizeaza in cazul seriilor de frecvente, determinandu-se astfel:

c. Media patratica

Media patratica se foloseste in cazul in care fenomenele inregistreaza cresteri, aproximativ, in progresie exponentiala, adica atunci cand cresterea este mai lenta la inceputul seriei si din ce in ce mai pronuntata spre sfarsitul acesteia, fiind utilizata, deci, in analiza tendintelor neliniare, de tip exponential. Este folosita si ca model matematic in calculul indicatorilor sintetici ai variatiei (abaterea standard).

Media patratica se determina in mod asemanator mediei aritmetice, functia determinanta fiind tot de tip aditional, cu deosebirea ca, in cazul mediei patratice, se foloseste patratul caracteristicii.

Media patratica simpla este utilizata pentru seriile simple si se determina astfel: .

Media patratica ponderata se utilizeaza pentru seriile de frecvente, obtinandu-se astfel: .

d. Media geometrica

Media geometrica se foloseste in cazurile in care fenomenele inregistreaza modificari, aproximativ, in progresie geometrica. Se utilizeaza mai frecvent in situatia in care diferentele dintre variantele caracteristicii sunt mai mari la inceputul seriei si din ce in ce mai mici catre sfarsitul acesteia. Rezulta ca, media geometrica este recomandata pentru analiza tendintelor neliniare care evidentiaza cresteri la inceput si o atenuare a acestora spre sfarsitul seriei.

Este folosita ca model matematic in calculul unuia dintre indicatorii sintetici ai seriilor cronologice (indicele mediu al dinamicii).

In cazul mediei geometrice functia determinanta este de tipul produsului.

Media geometrica simpla este specifica seriilor simple, determinandu-se astfel: .

Media geometrica ponderata se determina pentru seriile de frecvente, astfel: .

2. Mediana

Mediana reprezinta acea valoare care imparte seria (ordonata crescator sau descrescator) in doua parti egale.

Pentru o serie simpla vom parcurge etapele:

se ordoneaza crescator sau descrescator elementele seriei;

se calculeaza valoarea mediana intr-una din urmatoarele doua variante:

daca seria are un numar impar de termeni, atunci: ;

daca seria este formata dintr-un numar par de termeni, atunci mediana este semisuma termenilor de rang si , adica: .

Pentru seriile de distributie se calculeaza astfel:

Pentru o serie de distributie dupa variante, determinarea medianei presupune parcurgerea urmatoarelor etape:

se determina frecventele cumulate crescator sau descrescator (Fc_i );

determinam unitatea mediana dupa relatia: ;

stabilim mediana, care este egala cu prima valoare din cadrul seriei de valori pentru care: U_Me ≤ Fc_i .

Pentru o serie de distributie pe intervale, determinarea medianei se face parcurgand etapele urmatoare:

se determina frecventele cumulate crescator sau descrescator (Fc_i );

determinam unitatea mediana dupa relatia: ;

se stabileste intervalul median , respectiv intervalul pentru care este respectata relatia: U_Me ≤ Fc_i ;

se calculeaza mediana cu ajutorul relatiei: ,

unde: - reprezinta limita inferioara a intervalului median;

S_n - reprezinta suma frecventelor care preced intervalul median;

k - marimea intervalului in care se plaseaza median;

f_Me - frecventa intervalului median.

3. Modul

Modul (dominanta) reprezinta valoarea caracteristicii care are frecventa cea mai mare.

Se calculeaza cu ajutorul relatiei:

,

unde: k - reprezinta marimea intervalului modal;

- reprezinta diferenta dintre frecventa maxima si frecventa intervalului precedent: ∆₁ = f_Mo - f_Mo-1;

- reprezinta diferenta dintre frecventa maxima si frecventa intervalului urmator: ∆₂ = f_Mo - f_Mo+1;

II. Indicatorii variatiei

a. Abaterea standard (σ). Denumita si abatere medie patratica, abaterea standard se calculeaza ca o medie patratica simpla sau ponderata a abaterilor valorilor seriei fata de media lor, respectiv radacina patrata din dispersie:

- pentru serii simple;

- pentru serii de frecvente.

b. Coeficientul de variatie, propus de Pearson, se calculeaza ca raport intre abaterea standard si nivelul mediu, adica: .

III. Sondajul statistic

Sondajul simplu intamplator

Acest tip de sondaj se utilizeaza la cercetarea populatiilor statistice care prezinta un grad de omogenitate ridicat.

In cazul acestui tip de sondaj se utilizeaza urmatorii indicatori:

IV. Analiza seriilor cronologice

Indicatorii dinamicii

Pentru a caracteriza dinamica fenomenelor economico-sociale, prelucrarea unor serii dinamice conduce la obtinerea unei varietati de indicatori. Dupa modul de calcul si exprimare acestia pot fi grupati in trei categorii: indicatori absoluti, indicatori relativi, indicatori medii.

Indicatorii absoluti - se exprima in aceeasi unitate de masura cu fenomenul supus cercetarii. In cadrul lor intalnim doua categorii:

nivelul absolut - este dat de sirul nivelurilor fenomenului a carui evolutie se urmareste. Daca seria este simpla, atunci nivelurile absolute pentru variabila Y sunt y₁ , y₂ , . , y_n ;

modificarea absoluta - se determina ca diferenta intre nivelurile absolute ale uneia dintre variabilele seriei, luate succesiv, si un nivel oarecare considerat baza de comparatie:

- cu baza fixa - arata cu cat a crescut sau a scazut nivelul indicatorului y fata de perioada de baza. Relatia de calcul este urmatoarea: ;

- cu baza in lant - arata cu cat a crescut sau a scazut nivelul indicatorului y de la o perioada la alta. Relatia de calcul este urmatoarea: ,

Indicatorii relativi - se calculeaza ca raport intre doi indicatori absoluti ai aceluiasi fenomen. In cadrul lor intalnim indicele dinamicii și ritmul.

Indicele dinamicii - se calculeaza ca raport intre nivelul indicatorului de comparat si nivelul indicatorului folosit ca baza de comparatie. In functie de baza de comparatie aleasa, indicele dinamicii poate fi de doua feluri:

- cu baza fixa - cand arata proportia existenta intre nivelul indicatorului de comparat si nivelul indicatorului din perioada de baza. Relatia de calcul este: ;

- cu baza in lant - cand arata proportia existenta intre nivelul indicatorului de comparat si nivelul indicatorului din perioada precedenta. Relatia de calcul este: .

Ritmul dinamicii - exprima, in marimi relative, cu cat a crescut sau a scazut nivelul fenomenului cercetat in perioada de timp considerata. In functie de baza de comparatie aleasa, ritmul dinamicii poate fi:

- cu baza fixa - reflecta cresterea sau scaderea relativa a fenomenului cercetat in fiecare perioada fata de perioada de comparatie. Se calculeaza folosind relatiile:

;

- cu baza in lant - reflecta cresterea sau scaderea relativa a fenomenului cercetat dintr-o perioada fata de perioada anterioara. Se calculeaza cu relatiile:

.

Indicatorii medii - sunt indicatori calculati pe baza tuturor termenilor seriei cronologice. Astfel, in timp ce indicatorii absoluti si relativi ne arata nivelurile individuale inregistrate de-a lungul perioadei, indicatorii medii reunesc aceste valori individuale intr-una singura. In aceasta categorie de indicatori regasim: nivelul mediu, modificarea medie, indicele mediu si ritmul mediu.

nivelul mediu - se calculeaza in mod diferit dupa cum seria dinamica este de intervale sau de momente:

daca seria cronologica este de intervale, nivelul mediu se calculeaza folosind:

media aritmetica - daca valorile sunt aproximativ constante;

media patratica - daca valorile sunt mai mici la inceputul seriei si din ce in ce mai mari spre sfarsitul acesteia;

media geometrica - daca valorile sunt mai mari la inceputul seriei si din ce in ce mai mici spre sfarsitul acesteia.

daca seria cronologica este de momente, nivelul mediu se determina ca o medie cronologica. Media cronologica este, in principiu, o medie aritmetica, si se determina in doua etape: a) calculul mediilor mobile - acum are loc transformarea seriei de momente in serie de intervale, mediile mobile nefiind altceva decat medii aritmetice simple calculate din cate doi, trei sau mai multi termeni ai seriei, in cadrul carora unul sau mai multi termeni se repeta; b) calculul mediei cronologice - se obtine ca medie aritmetica a mediilor mobile. Intervalele dintre momentele seriei pot fi egale sau inegale, rezultand medii cronologice simple sau ponderate.

Media cronologica simpla este utilizata in cazul in care intervalele dintre momente sunt egale (t₁ = t₂ = . = t_k , unde k - numarul mediilor mobile sau numarul intervalelor dintre momente, k = n - 1). Determinarea mediei cronologice simple se face dupa etapele precizate anterior, astfel:

calculul mediilor mobile: ;

calculul mediei cronologice simple: .

In practica se foloseste mai frecvent o relatie derivata din relatia de baza, in cadrul careia se preiau direct variantele x_i , fara a mai parcurge cele doua etape enuntate anterior. La aceasta relatie se ajunge prin inlocuirea mediilor mobile cu formulele lor de calcul:

.

Media cronologica ponderata se foloseste atunci cand intervalele dintre momente sunt inegale (t₁ ≠ t₂ ≠ . ≠ t_k). Ca si in cazul mediei cronologice simple, media cronologica ponderata se determina urmand cele doua etape:

calculul mediilor mobile: ;

calculul mediei cronologice ponderate: .

modificarea medie - exprima, sub forma de medie, modificarea inregistrata in fiecare perioada a seriei cronologice. Se calculeaza ca o medie aritmetica simpla a modificarilor cu baza in lant, pe baza relatiei urmatoare:

.

Modificarea medie prezinta importanta pentru stabilirea tendintei (trendului) unui fenomen, astfel:

- daca tendinta evolutiva (crescatoare);

- daca tendinta involutiva (descrescatoare).

De asemenea, acest indicator permite ajustarea seriei dinamice si elaborarea de prognoze privind evolutia viitoare a fenomenului analizat.

indicele mediu - reuneste intr-un singur indicator nivelurile individuale ale indicilor cu baza in lant calculati pentru o serie dinamica. Se determina ca o medie geometrica simpla a indicilor cu baza in lant, pe baza relatiei: .

Indicele mediu se foloseste la ajustarea seriei dinamice, precum si la determinarea ritmului mediu.

ritmul mediu - arata cu cat a crescut sau a scazut in medie, pe fiecare perioada, fenomenul analizat si se exprima in procente. Se calculeaza pe baza relatiei: .

V. Analiza statistica a legaturilor cauzale dintre fenomene

Expresia sintetica a intensitatii legaturii cauzale dintre fenomene - poarta denumirea de corelatie.

Corelatia simpla liniara

Are la baza utilizarea functiei liniare pentru analiza regresiei:

in care:

- valorile calculate (teoretice) ale variabilei rezultative Y prin functia de regresie;

- valoarea pe care o ia variabila rezultativa atunci cand variabila factoriala nu o influenteaza;

- coeficientul de regresie - arata contributia modificarii cu o unitate a variabilei factoriale la modificarea valorii variabilei rezultative;

- valorile x₁, x₂, x₃, x_n, ale variabilei factoriale X.

Intensitatea corelatiei liniare

Determinarea instensitatii corelatiei liniare se realizeaza cu ajutorul coeficientului de corelatie liniara al lui Pearson care se determina cu ajutorul uneia din relatiile urmatoare:

sau