Consideratii teoretice privind analiza statistica a seriilor dinamice

Consideratii teoretice privind analiza statistica a seriilor dinamice

1. Conceptul de serii cronologice (SRC)

Cunoasterea nivelului si a evolutiei in timp a unor indicatori referitori la activitatea economica desfasurata (evolutia profitului, costurilor, productivitatii etc.) constituie o buna baza pentru fundamentarea viitoarelor afaceri economice.

O serie cronologica se prezinta sub forma unui sir sistematizat de valori, ale unei caracteristici, realizate la momente sau intervale de timp succesive. Exemple de serii cronologice pot fi: evolutia lunara a exporturilor sau importurilor realizate de o societate comerciala; evolutia lunara a stocurilor de marfuri dintr-un depozit; evolutia anuala a cifrei de afaceri, a profitului brut etc. realizate de o societate comerciala; evolutia dobanzilor bancare sau a cursului valutar etc.

Definitia si exemplele de mai sus impun unele observatii cum ar fi:

● Curgerea timpului se masoara in succesiune cu ajutorul unei scale de interval. Unitatile de timp, frecvent utilizate, sunt: anul, trimestrul, luna, saptamana, ziua.

● O serie cronologica poate fi privita ca o variabila aleatoare, deoarece valorile individuale se formeaza ca urmare a actiunii (la momente sau intervale de timp diferite) unui ansamblu diferit de factori comuni sau specifici, esentiali sau neesentiali etc.

● Caracterizarea evolutiei in timp a unui fenomen, cu ajutorul SCR specifice, presupune ca timpul sa fie variabil, iar spatiul si structura organizatorica sa fie constante. Prin urmare, intr-o SCR variabila y este legata functional de variabila "timp" (fiecare moment sau interval de timp corespunde unei valori individuale a caracteristicii y), dar nu si invers (aceeasi valoare individuala poate fi inregistrata in mai multe momente sau intervale de timp). Deci, o SCR poate fi scrisa astfel:

y = f (t)

unde:

- variabila "timp" t, ia valorile t_i (cu i = ) si nu trebuie interpretata ca factor de influenta al variabilei y.

- variabila "y" ia valorile individuale y_i.

Analiza SCR se deosebeste de analiza seriilor de repartitie sau a seriilor teritoriale deoarece in analiza lor se presupune o anumita stabilitate structurala a distributiilor, o anumita permanenta a interdependentelor dintre variabile.

● O serie cronologica poate fi considerata un esantion al realizarilor unui proces stohastic, ordonat dupa variabila timp (1 = ).

Seria cronologica, spre deosebire de oricare alt tip de serie statistica prezinta o serie de particularitati, dintre care precizam urmatoarele:

a) Variabilitatea termenilor unei SCR, oglindeste procesul de schimbare, de transformare si de dezvoltare in timp a unui fenomen.

b) Omogenitatea si comparabilitatea sunt particularitatile interconditionate ale SCR. Omogenitatea termenilor, dispersia minima a termenilor, presupune existenta in perioada analizata termenii au aceeasi esenta calitativa. Asigurarea omogenitatii termenilor determina in mod implicit comparabilitatea acestora.

c) Asigurarea omogenitatii termenilor unei SCR in cadrul unui interval de timp implica si o alta particularitate: interdependenta in timp a termenilor. Marimea fiecarui termen al SCR depinde intr-o masura mai mare sau mai mica de valorile individuale ale aceleiasi caracteristici realizate anterior. Interdependenta dintre termenii unei SCR necesita analiza autocorelatiei, a tendintelor de manifestare in timp a fenomenelor etc. In functie de natura caracteristicilor (de stoc sau de flux) observarea statistica se face continuu, in decursul unui anumit interval, sau la momente de timp distincte. Din aceasta cauza in practica exista SCR de momente sau marimi de stoc si SCR de intervale sau marini de flux. Deosebirea dintre cele doua serii este esentiala si are implicatii asupra metodologiei statistice de analiza. Astfel:

- Termenii unei serii cronologice de momente nu sunt insumabili: ei contin acele elemente ale stocului care coexista, in mod repetat, in momente diferite de timp. De exemplu, stocul de produse finite din depozitele unei societati comerciale la diferite momente de timp; valoarea medie lunara a capitalului fix etc.

- Termenii unei serii de intervale sunt marimi de flux. Ei sunt insumabili deoarece se formeaza prin cumulare continua, pe masura curgerii timpului. Un flux este, deci, un eveniment produs intr-o perioada de timp (de exemplu dezvoltarea unui parc de automobile intre 1999 si 2001 sau modificarea numarului populatiei intre doua recensaminte). Diferite fluxuri pot forma un stoc total (de exemplu, formarea bruta a capitalului fix este un flux care afecteaza stocul "capital fix"). Diferenta dintre flux si stoc poate fi sesizata.

In functie de numarul termenilor, seriile cronologice au lungime mica, medie sau mare. Daca seriile de lungime mica au mai mult caracter de informare, de popularizare, din punctul de vedere al analizei statistice prezinta interes SCR de lungime medie si mare. Pe baza acestor tipuri de SCR, legea numerelor mari avand camp de actiune, se desprind legitatile de evolutie, componentele acestora, se elaboreaza variante de prognoza.

1.2. Reprezentari grafice a SRC si sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Evolutia unui fenomen prezentata intr-o SCR poate fi vizualizata in trei tipuri de reprezentari grafice trasate: in axe ortogonale; in diagrame semilogaritmice; in coordonate polare.

a) Grafice trasate in coordonate rectangulare. Ele sunt elaborate in baza unor norme cum ar fi:

● timpul se ia in consideratie pe axa absciselor, iar valorile variabilei y pe axa ordonatelor;

● punctele sunt legate prin segmente de dreapta si niciodata prin curbe;

● aflarea scarii de reprezentare a datelor pe axa ordonatelor in functie de amplitudinea variatiei. De marimea scarii de reprezentare depinde "aplatizarea" graficului;

● trebuie efectuata intreruperea axei 0y pentru a evita deplasarea graficului si implicit exagerarile de interpretare.

b) Grafice semilongitudinale. Aceste tipuri de grafice utilizeaza scari de reprezentare logaritmice atunci cand:

● exista mari diferente intre valorile variabilei analizate, pentru a evita "iesirea" graficului din axele carteziene.

● se doreste sa se puna in evidenta aparitia variatiilor

● se urmareste liniarizarea unei evolutii exponentiale etc.

De exemplu, evolutia unui fenomen y care prezinta un ritm constant de crestere se vizualizeaza utilizand atat coordonate rectangulare (hartie aritmetica) cat si scara de reprezentare logaritmica (hartie semilogaritmica).

Aceste grafice sunt elaborate atunci cand se doreste evidentierea variatiilor sezoniere din evolutia unui fenomen.

Principiul general de elaborare a acestor grafice este urmatorul: se traseaza 12 axe gradate despartite de unghiuri egale cu 30⁰ (30⁰ = 360⁰ / 12). Fiecare axa gradata in scara aritmetica corespunde unei luni. Prin unirea punctelor de pe fiecare axa (departate diferit fata de centru, in functie de marimea termenilor lunari) se vizualizeaza variatia sezoniera, ciclica, corespunzatoare.

Pentru caracterizarea evolutiei unui fenomen de masa, in complexitatea sa, din termenii unei SCR se calculeaza un sistem de indicatori statistici, analitici si sintetici. In functie de modul de calcul si de exprimare, indicatorii din sistem sunt structurati in indicatori absoluti, indicatori relativi si indicatori medii.18

1.Indicatori exprimati prin marimi absolute

Indicatorii absoluti exprima starea fenomenului investigat dintr-o perioada (sau moment) de timp sau modificarile aparute succesiv in timp. In marimi absolute, in unitatile concrete de masura (lei, m, kg etc.) ale caracteristicilor urmarite se calculeaza si se analizeaza indicatori statistici care redau nivelul, volumul agregat (totalul), modificarile (cresterile sau descresterile) fata de diferite perioade de referinta. Din categoria acestor indicatori fac parte:

1) Valorile individuale ale caracteristicii (indicatori de nivel) corespunzatoare conditiilor specifice de producere si reproducere ale fenomenului urmarit: ₁ =

2) Volumul agregat sau suma termenilor SCR de intervale. (). Acest indicator se calculeaza cu precautie deoarece nu toate caracteristicile au variantele insumabile.

3) Modificarea absoluta (sporul absolut, cresterea sau descresterea absoluta) exprima cu cate unitati de masura s-a modificat valoarea individuala dintr-o perioada fata de o perioada baza de comparatie (fixa sau mobila). Prin urmare, se calculeaza:

● modificare absoluta cu baza fixa:

● modificare absoluta cu baza mobila:

Continut si relatiile de calcul ale modificarii absolute necesita urmatoarele observatii:

- baza fixa de comparatie poate fi oricare termen al seriei. Alegerea bazei fixe de comparatie nu trebuie sa afecteze comparabilitatea termenilor;

- trecerea de la modificarile absolute cu baza fixa la cele cu baza mobila si invers se realizeaza cu ajutorul relatiilor urmatoare:

si

Relatiile de trecere de la o baza la alta se utilizeaza in mod frecvent pentru reconstituirea SCR de date absolute (atunci cand nu se dispune de seria termenilor initiali).

- In cazul in care SCR sunt periodizate, baza de comparatie se ia de regula primul termen al subperioadei analizate sau ultimul termen al subperioadei precedente.

- Modificarile absolute pot avea semnificatia economiei sau a pierderilor absolute.

Acesti indicatori nu pot fi utilizati in compararea evolutiei mai multor fenomene de masa.

1.4.Indicatori exprimati prin marimi relative

Indicatorii exprimati prin marimi relative spre deosebire de indicatorii absoluti pot fi utilizati in analiza comparativa a evolutiei mai multor fenomene. Ei redau proportia sau "decalajul" din nivelurile realizate ale unei caracteristici in perioade distincte. Prin urmare, indicatorii relativi exprima: de cate ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mica fata de cea aleasa ca baza de comparatie; cu cat la suta s-a modificat valoarea caracteristicii in perioada raportata fata de cea din perioada de referinta (baza de raportare).

In aceasta categorie de indicatori se disting:

1) Indicele de dinamica. Acesta se exprima sub forma de coeficient sau in procente si semnifica de cate ori (de cat la suta) s-a modificat valoarea caracteristicii fata de perioada baza de comparatie (fixa sau mobila). Relatiile sale de calcul sunt:

● pentru indicele de dinamica cu baza fixa:

● pentru indicele de dinamica cu baza mobila:

Observatii:

- Acesti indici de dinamica, daca sunt supraunitari sau subunitari desemneaza cresteri sau descresteri;

- Trecerea de la indici de dinamica cu baza mobila la aceia cu baza fixa se realizeaza cu ajutorul urmatoarelor relatii:

2) Ritmul modificarilor relative sau ritmul (rata) sporului este un alt indicator relativ. Acest indicator exprima cu cat la suta s-a modificat nivelul inregistrat, de caracteristica analizata, intr-o anumita perioada fata de nivelul din perioada baza de comparatie. Ritmul modificarii relative se calculeaza:

- fie ca raport intre modificarea absoluta (cu baza fixa sau mobila) si marimea termenului din perioada baza de comparatie (fixa sau mobila);

- fie prin diferenta dintre indicele de dinamica (cu baza fixa sau mobila) exprimat in procente si 100.

Prin urmare:

- ritmul cu baza fixa:

- ritmul cu baza mobila:

3) Valoarea absoluta a unui procent de crestere. Acest indicator absolut ca mod de exprimare, dar ca mod de calcul (prin raportare) se determina comparand modificarile absolute (cu baza fixa sau mobila) cu ritmul modificarilor relative (cu baza fixa sau mobia). Prin urmare, valoarea absoluta a unui procent de crestere se calculeaza:

- cu baza fixa:

- cu baza mobila:

Rationamentul determinarii valorii absolute a unui procent de crestere dupa sau are la baza repartizarea uniforma a modificarii absolute pe procentele ritmului de modificare relativa. Din aceasta cauza el exprima cate unitati de masura revin unei cresteri de un procent.

O problema deosebita pentru calculul indicatorilor relativi si absoluti o reprezinta alegerea termenului baza de comparatie. Aceasta trebuie, sa fie subordonata cerintei de asigurare a comparabilitatii termenilor din SCR. Cu cat baza de comparatie este mai bine aleasa cu atat se sesizeaza mai bine regularitatea miscarii in timp a fenomenului analizat.

1.5.Indicatori medii ai SCR

Pentru caracterizarea tendintei centrale in seriile cronologice de termeni absoluti, si relativi este necesar sa se calculeze indicatori medii specifici: nivelul mediu, modificarea medie absoluta, indicele mediu de dinamica; ritmul mediu al modificarii relative.

1) Nivelul mediu al termenilor dintr-o SCR. Calculul acestui indicator se justifica numai daca termenii SCR sunt omogeni; adica in orizontul de timp analizat termenii SCR nu prezinta oscilatii foarte ample. Nivelul mediu se calculeaza diferentiat pentru SCR de intervale (flux) si pentru SCR de momente (de stoc):

● pentru SCR de intervale (termenii fiind insumabili) nivelul mediu se calculeaza cu ajutorul mediei aritmetice simple:

● pentru SCR de momente (de stoc) nivelul mediu se calculeaza cu ajutorul:

- mediei cronologice simple (daca momentele sunt echidistante):

- mediei cronologice ponderate (daca momentele sunt inegal distantate):

unde: semnifica lungimea (in unitati de timp) dintre doua momente succesive.

Dupa relatie se calculeaza valorile medii trimestriale sau anuale ale capitalului fix, numarul de salariati etc., pentru a facilita comparatiile cu indicatori de flux (de exemplu, productia) obtinuti in perioada respectiva. Din aceste comparatii se obtin indicatori calificativi: nivelul productivitatii muncii, eficienta capitalului fix etc.

2) Modificarea medie absoluta: se calculeaza ca medie aritmetica simpla a modificarilor absolute cu baza mobila, determinate pe orizontul de timp al SCR. Relatia de calcul este urmatoarea:

unde T - 1 = numarul modificarilor absolute cu baza mobila.

Reprezentativitatea modificarii medii absolute (sporul mediu sau reducerea medie absoluta) este asigurata numai daca modificarile absolute cu baza mobila sunt omogene (aproximativ egale). Conditia variatiei minime a modificarilor absolute cu baza mobila trebuie cu atat mai mult respectata cu cat modificarea medie absoluta se calculeaza si pe baza relatiei dintre primul si ultimul termen SCR fara sa se ia in considerare termenii intermediari. In cazul in care sirul manifesta o regularitate liniara, datorita unor tendinte opuse (de exemplu, o evolutie aproximativ parabolica) este necesar sa se periodizeze SCR. Se vor calcula modificarile medii absolute partiale, iar apoi, pe baza acestora, se calculeaza valoarea tipica pentru intreaga SCR.

3) Indicele mediu de dinamica se calculeaza ca medie geometrica a indicilor de dinamica cu baza mobila.

unde: T - 1 = numarul de indici de dinamica cu baza mobila. Relatia pune in evidenta faptul ca indicele mediu de dinamica arata de cate ori (daca se exprima in coeficient) sau de cat la suta (daca se exprima in procente) s-a modificat fenomenul analizat, in medie, in cadrul orizontului de timp al SCR.

Nivelul indicelui mediu de dinamica calculat dupa relatie este reprezentativ pentru evolutia fenomenului prezentat, in cadrul SCR, numai daca indicii de dinamica cu baza mobila sunt aproximativ egali. Aceasta cerinta este cu atat mai importanta cu cat indicele mediu de dinamica se poate calcula si in functie numai de termeni extremi ai SCR, fara sa ia in considerare termenii intermediari. In cazul in care seria de indici cu baza mobila nu este omogena este necesara periodizarea SCR in "K" intervale de timp. Atunci, indicele mediu de dinamica pe orizontul de timp al SCR se calculeaza in functie de indicii medii de dinamica, corespunzatori celor "K" intervale, dupa relatia urmatoare:

unde: T_j = indicele mediu (partial de dinamica pentru intervalul "j");

T_j = numarul de indici cu baza mobila in functie de care se calculeaza fiecare indice mediu partial (T_j);

K = numarul de intervale de timp omogene in care s-a periodizat orizontul de timp al SCR.

4) Ritmul mediu al dinamicii sau rata medie de crestere sau descrestere - un alt indicator mediu - exprima cu cate procente fenomenul analizat s-a modificat in medie de la un interval / moment de timp la altul. El se calculeaza pe baza indicelui mediu al dinamicii, dupa relatia:

Prin urmare, analiza statistica a SCR presupune calculul indicatorilor absoluti, relativi si medii intre care exista relatii de sistem. Sistemul de indicatori ai SCR ofera informatii sintetice si analitice despre evolutia unui fenomen de masa intr-un orizont de timp. Cu toate acestea ei nu permit evaluarea componentelor determinate de influenta factorilor specifici si generali care actioneaza in subperioadele orizontului de timp al SCR.

2. Analiza statistica a componentelor SCR

Evolutia unui fenomen de masa prezentata intr-o SCR, ca urmare a diversilor factori de influenta, oglindeste schimbarea, trasnformarea si dezvoltarea. Intr-o SCR de lungime suficient de mare, ca urmare a actiunilor factorilor de influenta, in evolutia unui fenomen se identifica mai multe componente de marimi diferite. Identificarea si evaluarea componentelor seriilor cronologice este precedata de verificarea omogenitatii si comparabilitatii termenilor SCR, de analiza sistemului de indicatori prezentat.

2.1. Definirea componentelor seriilor cronologice

Pe intregul orizont al SCR fenomenul analizat prezinta o evolutie crescatoare. Aceasta tendinta generala este reprezentata prin trendul manifestat de fenomenul urmarit de-a lungul perioadei. Componenta trend sintetizeaza variatiile sistematice, lente si semnifica miscarea regulata desfasurata de fenomenul analizat pe intregul orizont al SCR. Marimea componentei trend este determinata de influenta factorilor esentiali care actioneaza in intreaga perioada.

Estimarea tendintei generale sau ajustarea trendului se efectueaza prin diferite metode, corespunzatoare formei manifestate de acesta: liniar, parabolic, exponential, logistic, hiperbolic .

Intr-o serie cronologica de lungime suficient de mare, fata de tendinta centrala (trend), se intalnesc oscilatii sau variatii periodice sistematic repetabile. In functie de natura factorilor de influenta care determina aceste oscilatii, de marimea perioadelor la care se manifesta repetabilitatea acestora, se identifica variatii (oscilatii) ciclice sau sezoniere.

Oscilatiile ciclice sunt fluctuatii in jurul trendului (de tip sinusoidal) repetabile la perioade de timp mai mari de un an. Un ciclu cuprinde mai multe faze: expansiune, criza, recensiune; relansare.

Ciclicitatea este determinata de factori de natura diversa care actioneaza asupra fenomenului analizat. In teoria economica unii cercetatori nu sunt de acord cu existenta ciclurilor, iar altii le aprofundeaza din punct de vedere metodologic si le clasifica in: cicluri lungi de tip Kondratiev (cu periodicitate de 50 de ani); cicluri de tip jugular (cu periodicitate de aprox. 9 ani); cicluri Kitcin si cicluri politico-economice etc.

O caracteristica a oscilatiilor sezoniere (S_t) o reprezinta faptul ca acestea se produc cu o periodicitate constanta. Astfel, daca datele sunt:

- trimestriale: S_{1 = S5 = S9 = .} S₁ = S_{1 + 4}

- lunare: S₁ - S_{1 + 12}

In general, pentru o periodicitate "p" avem:

S_t = S_{t + p} = S_{t + 2 p} = .

Cunoasterea componentei sezoniere, a periodicitatii acestor oscilatii, prezinta mare importanta pentru planificare, pentru fundamentarea deciziilor.

3) Ele sunt determinate de factori intamplatori, neprevazuti (crize internationale, greve, revolutii, cutremure, inundatii etc.). Variatiile accidentale se manifesta sub forma unor abateri mari, imprevizibile, de la ceea ce este sistematic in evolutia fenomenului analizat.

In cadrul aceleiasi SCR de lungime mare componentele prezentate sunt combinate aditiv, multiplicativ sau mixt. Deoarece, influenta factorilor se manifesta simultan, in formarea termenilor SCR, separarea componentelor se face pe baza unor ipoteze simplificatoare, pe baza unor abstractizari. Nu exista o metoda de separare ideala a componentelor unei SCR.

2.2. Determinarea trendului din evolutia fenomenelor

Problema principala in analiza SCR o reprezinta determinarea trendului, estimarea tendintei generale a evolutiei unui fenomen (Ŷ₁, t = ). In acest scop, se elimina oscilatiile sezoniere, ciclice si accidentale si se inlocuiesc termenii reali    Y₁ (t = ) cu termenii Ŷ₁, (t = ) care exprima trendul. Estimarea tendintei generale, aflarea termenilor Ŷ₁ se efectueaza prin operatii de ajustare a SCR. Ajustarea se efectueaza prin metode mecanice si prin metode analitice.

a) Metode mecanice de ajustare a SCR utilizate frecvent sunt: metoda mediilor mobile (MMM); metoda grafica; metoda sporului mediu (MSM); metoda indicelui mediu (MIM).

1) Metoda mediilor mobile (MMM), ca metoda de ajustare, presupune inlocuirea termenilor reali ai SCR cu mediile lor mobile (glisante sau alunecatoare). Prin aceasta operatie se inlatura influenta factorilor care provoaca oscilatiile periodice (are loc compensarea abaterilor fata de medie) si se obtine o noua SCR care evidentiaza miscarea larga, continua din evolutia fenomenului analizat.

Mediile mobile (MM) sunt medii aritmetice partiale calculate din doi, trei sau mai multi termeni succesivi ai SCR. Numarul termenilor din care se calculeaza MM este stabilit in functie de periodicitatea oscilatiilor din SCR.

Cu cat este mai mare numarul de termeni din care se calculeaza MM cu atat ajustarea este mai pronuntata, cu atat este mai lin graficul obtinut prin unirea mediilor mobile succesive.

● cazul cand MM se calculeaza dintr-un numar impar de termeni (de exemplu, p = 3).

Procedura de aflare a termenilor care estimeaza trendul este urmatoarea:

- se calculeaza prima media mobila din primii trei termeni (Y₁, Y₂, Y₃) care va inlocui termenul Y₂.

- se calculeaza a doua medie mobila din Y₂, Y₃, Y₄ care va inlocui Y₃ s.a.m.d.

Cand numarul de termeni din care se calculeaza MM este impar observam ca: numarul de medii mobile calculare este T-(p-1); valorile ajustate coincid cu mediile mobile calculate; numarul de termeni reali care se pierd prin ajustare este (p+1)/2; trendul din evolutia fenomenului analizat este prin noul sir de valori ₁.

● cazul cand mediile mobile se calculeaza dintr-un numar par de termeni (p = 4). In aceasta situatie procedura de determinare a trendului este urmatoarea:

- se calculeaza MM dupa procedeul descris (cand p este impar). Aceste medii mobile provizorii, deoarece se plaseaza intre termenii reali, iar acestia nu pot fi inlocuiti. Pe baza MM provizorii se calculeaza MM finale din doi termeni succesivi, iar acestia coincid cu valorile ajustate (MM finale plasandu-se in dreptul teremnilor reali ii va inlocui pe acestia).

In cazul in care in ajustarea MM se calculeaza dintr-un numar par de termeni se constata ca se pierd un numar p de termeni.

Prin urmare, ca metoda de estimare a tendintei centrale (in general in SCR afectate de factori sezonieri) MMM prezinta dezavantajul ca pierde informatii reale. De asemenea, nu intotdeauna numarul de termeni din care se calculeaza se stabileste in urma unei analize calitative.

2) metoda grafica de ajustare a trendului poate fi utilizata in doua variante:

● Varianta I: consta in unirea punctelor mediane de pe proiectiile varfurilor (piscurilor) curbei SCR pe segmentele de dreapta dintre varfurile graficului SCR de date reale.

Determinarea trendului prin metoda grafica (varianta I) este simpla si rapida. Cu toate acestea, varianta de mai sus prezinta o serie de dezavantaje: tine seama de valorile aberante, daca ele exista; trendul determinat astfel, tine seama numai de valorile extreme inregistrate de variabila Y; depinde de calitatea reprezentarii grafice etc.

● Varianta II are la baza ipoteza actiunii constante, pe intregul orizont al seriei, a factorilor de influenta. Aplicarea metodei grafice, in varianta II, pentru determinarea trendului consta in trasarea pe graficul SCR a liniei (drepte sau curbe) care uneste punctele extreme in asa fel incat abaterile fata de punctele reale sa fie minime. In aceasta varianta metoda grafica, riguros aplicata are avantajul ca permite identificarea functiei analitice care estimeaza tendinta generala din evolutia fenomenului.

3) Metoda modificarii absolute medii (metoda sporului mediu - MSM) este o alta metoda de determinare a trendului ajustat. Ea se recomanda atunci cand modificarile absolute cu baza mobila sunt aproximativ egale sau cand sirul termenilor SCR se aseamana cu o progresie aritmetica (cu rata egala cu modificarea absoluta medie).

Determinarea trendului ajustat prin MSM are la baza urmatoarea relatie:

Ŷ_t = Y₁ + (t - 1)

Analiza relatiei ca si a MSM in general necesita unele observatii:

- primul termen ajustat (Ŷ₁) este identic cu primul termen real al SCR (Y₁);

- ultimul termen ajustat (Ŷ_T) este egal cu ultimul termen al SCR (Y_T);

- baza de ajustare este, de regula, primul termen al seriei (t = l). Dupa natura, lungimea, SCR baza de ajustare poate fi oricare termen din cadrul seriei, cu conditia ca el sa fie cel mai apropiat de linia care uneste punctele extreme ale SCR.

4) Metoda indicelui de dinamica (MIM) de determinare a trendului ajustat este asemanatoare cu MSM. Metoda indicelui mediu de dinamica se recomanda pentru estimarea tendintei centrale din evolutia fenomenului studiat daca indicii de dinamica cu baza mobila sunt aproximativi egali, sau daca sirul termenilor SCR este asemanator unei progresii geometrice (cu ratia egala cu indicele mediu de dinamica).

Potrivit MIM de ajustare, relatia dupa care se obtin valorile care estimeaza trendul este:

Ŷ₁ = Y₁ . T^{(1 - l)}, t =

Observatii:

- primul termen ajustat (Ŷ₁) si ultimul termen ajustat (Ŷ_T) sunt egali cu primul si ultimul termen real al SCR;

- observatia cu privire la baza de ajustare efectuata la MSM este valabila si pentru MIM;

- daca pe grafic se traseaza linia care uneste punctele extreme, prin punctele care reprezinta valorile ajustate se obtine tendinta generala de evolutie sub forma unei curbe exponentiale.

Din analiza comparativa a metodelor prezentate constatam ca metoda sporului mediu, metoda indicelui mediu de dinamica, metoda grafica (varianta II) fata de MMM se bazeaza in determinarea trendului ajustat numai pe baza primului si ultimului termen al SCR. Din aceasta cauza ele au un caracter "mecanic", dar pot oferi informatii utile despre tendinta de evolutie a unui fenomen in masura in care conditiile de omogenitate a termenilor SCR, a modificarilor absolute sau a indicilor de dinamica cu baza mobila este satisfacuta.

b) Metode analitice de determinare a trendului. O estimare mai exacta a tendintei generale din evolutia unui fenomen o putem obtine prin metode analitice care iau in considerare toti termenii SCR. Metodele analitice se bazeaza pe functii matematice Ŷ_t = 1(T) numite si functii de ajustare a trendului, de estimare a tendintei centrale. Aceasta estimare a tendintei cu o functie de ajustare reprezinta in cele din urma tot o ipoteza, deoarece in realitate evolutia fenomenului nu depinde de succesiunea timpului, ci de ansamblul factorilor generali si specifici care determina marimea fiecarui termen al SCR, factori care activeaza pe scala timpului. Deci, la metodele analitice, variabila timp este luata in considerare nu ca factor de influenta, ci este utilizata numai pentru ordonarea termenilor SCR.

Functiile de ajustare sunt functiile matematice uzuale (functia de gradul unu si doi, hiperbola, exponentiala, logistica etc.). Aceste functii se stabilesc in raport cu traiectoriile reale ale evolutiei in timp a fenomenelor; cu analiza teoretica, calitativa, complexa a fenomenului; cu reprezentarea grafica a SCR; cu analiza modificarilor absolute sau relative cu baza mobila etc.

Astfel, pe baza graficului SCR si a altor criterii tendinta generala de evolutie a unui fenomen, intr-un orizont de timp, este estimata printr-o anumita functie.

Dupa alegerea functiilor de ajustare, in baza unor criterii fundamentale, este necesara estimarea parametrilor. Estimarea parametrilor functiilor de regresie se efectueaza prin mai multe metode din care cea mai utilizata (datorita calitatilor sale) este metoda celor mai mici patrate (MCMMP). Functia obiectiv a MCMMP o reprezinta minimizarea sumei patratelor abaterilor valorilor ajustate (de trend) de la termenii reali.

Deci,

min Ŷ_t)²

MCMMP se aplica in acest context in mod asemanator cu algoritmul prezentat pentru estimarea parametrilor modelelor de regresie. Deosebirile care apar vizeaza faptul ca in locul variabilelor exogene (cauzale) se ia variabila timp "t". Deoarece timpul este o variabila care se masoara cu ajutorul scalei de interval, punctul de origine (t = 0) al scalei si unitatea de masura a variabilei timp "t" se aleg in mod convenabil. Pentru rezolvarea sistemului de ecuatii dedus prin MCMMP se poate apela la o simplificare importanta: se stabilesc valorile variabilei "t" astfel incat .

Aceasta simplificare poate fi efectuata in felul urmator:

- daca SCR este formata dintr-un numar impar de termeni ca origine (t = 0) se ia termenul median; restul termenilor sunt plasati simetric (crescator si descrescator) fata de origine;

- daca SCR este formata dintr-un numar par de termeni, originea (t = 0) se ia intre termenii mediani; iar apoi restul termenilor sunt plasati simetric fata de origine la distante egale.

Aplicand MCMMP cu simplificarea de mai sus pentru determinarea parametrilor functiei liniare cu care se estimeaza tendinta generala de evolutie a unui fenomen se obtine urmatorul sistem de ecuatii:

Dupa determinarea parametrilor functiilor de ajustare se determina valorile ajustate Ŷ₁ = a + b_T luandu-se in considerare valorile acordate variabilei timp.

Determinarea trendului ajustat prin metode analitice, prin functii matematice de ajustare se bazeaza, insa, pe o serie de ipoteze care trebuie verificate a posteriori.

2.Analiza calitatii estimarii tendintei generale de evolutie

a unui fenomen

Pentru aceeasi SCR determinarea trendului ajustat se efectueaza prin mai multe metode "mecanice" sau analitice. Din aceasta cauza este necesara aprecierea "fidelitatii" ajustarii trendului in SCR.

Aprecierea calitatii ajustarii prin anumite metode este o problema de decizie statistica care presupune utilizarea unor tehnici obiective. Dintre acestea cele mai uzuale (aplicabile simplu si rapid) prezentam urmatoarele:

● pe grafic se compara vizual, in acelasi sistem de axe, curba (dreapta) care uneste valorile reale cu cea corespunzatoare valorilor ajustate, calculate. Urmarindu-se curbele trasate se va alege acea metoda care conduce la cele mai apropiate valori ajustate de valorile reale.

● calitatea ajustarii se poate aprecia comparand suma valorilor empirice ( ) cu suma valorilor ajustate (Ŷ_t). Dupa acest procedeu se va alege acea metoda de estimare a tendintei centrale care conduce la cea mai mare apropiere a sumei valorilor ajustate de suma valorilor emipirice (reale). Rationamentul utilizarii acestui criteriu are la baza faptul ca suma abaterilor termenilor ajustati fata de termenii reali (empirici) trebuie sa fie nula.

● o alta modalitate de alegere a metodei care estimeaza cel mai bine tendinta generala de evolutie a unui fenomen este:

min (Y_t - Ŷ_t)²

● in mod frecvent, pentru aprecierea calitatii ajustarii, un alt criteriu este cea mai mica abatere medie patratica a termenilor reali fata de termenii ajustati (ai trendului):

min

In literatura de specialitate (indeosebi in lucrarile lui Croxton) se prezinta mai multe criterii, mai mult teste, riguroase (dar mai greu utilizabile) dupa care sa se decida care este cea mai buna metoda de determinare a trendului, de estimare a tendintei generale din evolutia unui fenomen de masa.

Analiza statistica a sezonalitatii seriei cronologice

Asupra termenilor unei SCR actioneaza in afara factorilor care imprima tendinta generala si factorii de influenta care determina variatii periodice ale termenilor fata de tendinta pe orizontul de timp analizat. In functie de periodicitatea lor, oscilatiile se clasifica in oscilatii sezoniere si oscilatii ciclice. Prin urmare, din punctul de vedere al modelarii statistice se pune problema determinarii oscilatiilor (componentei) sezoniere si a oscilatiilor (componentei) ciclice pe care le prezinta SCR. In continuare, ne vom ocupa de determinarea componentei sezoniere.

Componenta sezoniera este legata, de regula, de influenta modificarii anotimpurilor asupra termenilor unei SCR. Aceasta inseamna ca este necesar sa se determine masura si directia in care sezonalitatea conduce la abateri alte termenilor unei SCR de la tendinta centrala in diferite faze ale perioadei, de obicei ale anului.

Pentru a pune in evidenta influenta factorilor sezonieri asupra evolutiei fenomenului intr-o SCR, nestationara, trebuie sa se elimine din aceasta influenta celorlalte componente (de exemplu, trendul si abaterile aleatoare). In cazul seriilor stationare determinarea efectului sezonalitatii necesita eliminarea numai a abaterilor aleatoare. Componenta sezoniera pusa astfel in evidenta ofera informatii utile in unele activitati din industria conservelor / industria zaharului consumul de energie electrica si gaze naturale / turism etc. pentru luarea de masuri de prevedere, de tinere sub control, de atenuare si chiar de inlaturare a factorilor cu influenta sezoniera. In acest scop sunt elaborate serii cronologice corectate, din care se elimina componenta sezoniera si care contine numai trendul si abaterile intamplatoare. In esenta, analiza sezonalitatii intr-o SCR presupune ca dupa stabilirea modelului aditiv sau multiplicativ, sub care se manifesta influenta factorului sezonier, sa se estimeze valorile componentelor S_j sau S_j* (cu ) prin determinarea variatiilor (abaterilor) S_j sau a indicilor de sezonalitate S_j*. Determinarea variatiilor sezoniere intr-o SCR nestationara necesita determinarea prealabila a trendului, cu un model analitic sau cu MMM. Pentru determinarea trendului intr-o SCR afectata de influente sezoniere se recomanda metoda mediilor mobile (MMM).22

In cazul in care s-a stabilit ca influenta factorului sezonier se manifesta aditiv metodologia de determinare a componentei sezoniere presupune un algoritm desfasurat in urmatorii pasi:

1) Se calculeaza diferentele dintre fiecare termen al SCR si valorile corespunzatoare trendului. Deci pe baza ipotezei formulate se calculeaza diferentele:

Y_ij - Ŷ _ij = (Ŷ _ij + S_j + ε _ij) - Ŷ _ij = S_j + ε _ij

cu

- reprezinta numarul curent al perioadei (anului);

- reprezinta numarul de ordine al subperioadei (de exemplu, luna, trimestrul etc.).

Aceste diferente calculate contin numai componenta sezoniera si componenta aleatoare.

2) Pe baza diferentelor referitoare la acelasi sezon J (trimestru sau luna) se calculeaza medii partiale (pentru fiecare sezon), pentru a inlatura componenta aleatoare:

S'_j =

Acestia sunt estimatori ai componentei sezoniere. In cazul in care trendul a fost determinat cu MCMMP suma abaterilor sezoniere este nula si deci media lor este nula, deoarece:

Daca, insa, trendul se determina prin MMM aceasta compensare a abaterilor sezoniere nu are loc intotdeauna si in consecinta se trece la pasul urmator.

3) In cazul , pe baza estimarilor , calculate anterior, se determina mediile pentru a evalua abaterile de la valoarea teoretica scontata. Apoi se calculeaza diferentele dintre estimatorii si mediile care reprezinta abaterile sezoniere corectate.

Cele m abateri sezoniere, calculate prin relatia semnifica faptul ca in fiecare sezon j componenta sezoniera se abate cu S_j de la valoarea de trend Ŷ_ij. Directia abaterilor sezoniere depinde, in mod evident, de semnul estimatorului S_j.

4) Se determina SCR corectata formata din diferentele dintre toti termenii Y_ij si abaterile sezoniere S_j.

Y_ij - S_j cu

In ipoteza s_j = S_j datele corectate, prin excluderea sezonalitatii contin trendul si abaterea aleatoare:

Y_ij - S_j = Ŷ_ij + ε_ij

Dupa alegerea algoritmului prin care se determina componenta sezoniera se determina din relatia componenta aleatoare.

1.Indicatorii dinamici

A.    Indicatori absoluti ;

B.     Indicatori relativi ;

C.     Indicatori medii ;

A. Indicatori absoluti - nivelul absolut

- sporul absolut - cu baza fixa

- cu baza in lant

- valoarea absoluta a unui procent de crestere

- cu baza fixa -cu baza in lant

B. Indicatori relativi - indicele dinamicii - cu baza fixa

- cu baza in lant

- ritmul dinamicii - cu baza fixa

- cu baza in lant

C. Indicatori medii - indicatori medii absoluti - media nivelurilor absolute

- sporul mediu

- ritmul dinamicii - indicele mediu al dinamicii

- ritmul mediu al dinamicii

- valoarea medie a unui procent de crestere .

A.Indicatori absoluti

Modificarea absoluta - cu baza fixa

- cu baza mobila (in lant)

Relatiile de trecere de la o baza la alta sunt :

a)

si demonstratia

b)

demonstratia

B.Indicatori relativi

1)Indicele de dinamica arata de cate ori s-a modificat nivelul unui fenomen in perioada curenta fata de perioada de baza .

Acest indice este : - cu baza fixa:

- cu baza in lant: :

Relatii de trecere de la o baza la alta se refera la :

a) adica

b)

2)Ritmul de modificare relativa, adica cu cate procente s-a modificat fenomenul.

Acest indice este cu :

-cu baza fixa:

-cu baza mobila:

3)Valoarea absoluta a unui procent de crestere din ritmul de modificare ce arata cate unitati revin unei cresteri de un procent2

-cu baza fixa :

-cu baza mobila:

C.Indicatori medii

C1.Indicatori medii absoluti

1.Media nivelurilor absolute

2.Sporul mediu

C2.Indicatori medii relativi

1.Indicele mediu al dinamicii :

2.Ritmul mediu al dinamicii:

CMedia unui procent de crestere