DESCRIEREA STATISTICA A TENDINTEI CENTRALE: STATISTICILE MEDII

DESCRIEREA STATISTICA A TENDINTEI CENTRALE: STATISTICILE MEDII

Tendinta centrala care se manifesta in comportamentul unitatilor unei colectivitati statistice se poate descrie cu ajutorul statisticilor medii si a statisticilor de pozitie. Cele doua tipuri de statistici ofera informatii complementare.

Statisticile medii

Statisticile medii sunt valori reprezentative din punctul de vedere al diferitelor rezultate algebrice semnificative pentru demersul de descriere statistica: suma, produsul, suma patratelor si suma inverselor. Celor 4 rezultate algebrice le corespund urmatoarele statistici medii:

media aritmetica;

media geometrica;

media patratica;

media armonica.

Media aritmetica

Media aritmetica este valoarea reprezentativa din punctul de vedere al sumei valorilor inregistrate. Concret, aceasta inseamna ca prin inlocuirea tuturor valorilor inregistrate cu media lor aritmetica, suma lor nu se modifica.

Sa consideram, de pilda, o firma cu 5 angajati, ale caror salarii sunt, in ordine crescatoare, de 620, 675, 710, 735 si 760 RON. Aceste salarii determina un fond de salarii[1] de 3500 RON. Intrucat din acest fond cei 5 angajati ar putea fi retribuiti in mod egal cu cate 700 RON, inseamna ca acest nivel de salarizare reprezinta nivelul mediu al salariilor din cadrul firmei (inlocuirea tuturor salariilor initiale cu salariul mediu nu ar modifica fondul de salarii al firmei).

Calculul mediei aritmetice pentru un sir de valori

Din definitia mediei aritmetice rezulta usor relatiile de calcul ale acesteia, prin egalizarea sumei valorilor inregistrate cu suma care ar rezulta in urma inlocuirii tuturor cu valoarea mediei lor aritmetice. Considerand, astfel, o variabila X pentru care s-a inregistrat sirul de valori x₁, x₂ . x_N, media aritmetica () se poate determina pornind de la egalitatea:

Suma (x₁, x₂ . x_N) = Suma (,  . )

Folosind simbolurile matematice obisnuite:

Sa calculam, de exemplu, vechimea medie in munca a celor 50 de angajati ai firmei ABC, pentru care valorile individuale ale vechimii in munca sunt redate in tabelul 1.4.:

Calculul mediei aritmetice pentru distributiile statistice discrete

In calculul mediei aritmetice pentru distributii statistice discrete, se tine cont de frecventele (absolute sau relative) inregistrate pentru fiecare dintre variantele discrete care definesc variabilele statistice:

unde:

X_i reprezinta valoarea i inregistrata de variabila X;

X_j = varianta discreta j care defineste variabila X;

F_j = frecventa absoluta de aparitie a variantei discrete X_j;

F = variabila frecventelor absolute de aparitie a variantelor discrete ale variabilei X;

R = variabila frecventelor relative de aparitie a variantelor discrete ale variabilei X;

k = numarul de variante discrete care definesc variabila statistica X.

Sa presupunem, de exemplu, ca in urma unei cercetari statistice asupra unui esantion de 20 familii, s-au centralizat datele din tabelul 3.1., privitoare la variabila discreta "numar de copii / familie":

Tabelul

Pentru a afla cati copii revin in medie familiilor din esantionul supus observatiei, trebuie impartit numarul total de copii la numarul total de familii care fac parte din esantion.

Numarul total de copii al familiilor din esantionul ales se obtine prin ponderarea variantelor (discrete) inregistrate de catre variabila studiata (variabila "numar de copii", notata cu X) cu frecventele de aparitie constatate (F).

Prin urmare, media aritmetica se determina ca o medie aritmetica ponderata:

Sunt de retinut doua observatii:

relatia de calcul a mediei aritmetice ponderate se poate reduce la relatia de calcul a mediei aritmetice pentru un sir de valori;

valoarea obtinuta are in primul rand o semnificatie statistica, relevanta mai ales in comparatiile cu mediile inregistrate la nivelul altor colectivitati statistice de interes.

Calculul mediei aritmetice pentru distributiile statistice continue

Pentru distributiile statistice continue, media aritmetica se calculeaza cu ajutorul relatiei:

unde:

f(X) este functia care defineste variabila continua X;

m = limita inferioara de variatie a variabilei X;

M = limita superioara de variatie a variabilei X.

Estimarea mediei aritmetice pentru distributiile statistice continue definite pe intervale

Pentru distributiile statistice continue definite pe intervale, media aritmetica se poate aproxima cu media aritmetica a mediilor conventionale ale intervalelor, ponderate cu frecventele (abolute sau relative) inregistrate; mediile conventionale ale intervalelor sunt mediile capetelor acestora, adica centrele intervalelor:

unde C este variabila centrelor intervalelor care definesc variabila statistica, F sunt frecventele absolute inregistrate pe intervale, iar R sunt frecventele relative inregistrate pe intervale.

De exemplu, vechimea medie in munca a celor 50 de angajati ai firmei "ABC", pentru care s-a obtinut distributia din tabelul 1.5., se determina pe baza tabelului 3.2.

Tabelul 3.2.

Pe baza datelor din tabelul 3.2., rezulta:

Se constata o diferenta de 0,6 ani intre estimarea mediei aritmetice cu media aritmetica ponderata (= 13 ani) si valoarea (reala) a mediei aritmetice, calculata pentru cele 50 de valori cunoscute (= 13,6 ani -paragraful privind "Calculul mediei aritmetice pentru un sir de valori", pg. 62-63). Concluzia care se poate formula este aceea ca atunci cand datele statistice sunt culese grupat, statisticile nu se pot calcula decat cu o anumita aproximatie.

Proprietati ale mediei aritmetice

Fiind o valoare numerica, media aritmetica se poate calcula doar pentru serii statistice cu valori numerice;

Marimea mediei aritmetice este unica, o serie neputand fi caracterizata de doua sau mai multe medii aritmetice;

Media aritmetica a unui sir de valori egale cu o constanta (a) este egala cu acea constanta:

Media aritmetica a sumei/diferentei dintre doua variabile, este egala cu suma/diferenta mediilor aritmetice ale celor doua variabile:

unde X si Y sunt doua variabile statistice pentru care s-a inregistrat un acelasi numar (N) de valori.

O consecinta a celor 2 proprietati anterioare consta in faptul ca adaugarea sau scaderea unei constante la toate valorile unui sir de observatii statistice determina cresterea sau scaderea mediei lor aritmetice cu aceeasi constanta:

unde a este o constanta;

Multiplicarea (sau divizarea) cu o constanta a tuturor valorilor inregistrate de o variabila statistica (X) determina multiplicarea sau divizarea cu aceeasi constanta a mediei sale aritmetice:

Multiplicarea (sau divizarea) cu o constanta a tuturor frecventelor absolute (F) ale unei distributii statistice nu produce modificari in ce priveste marimea mediei aritmetice ponderate[2]:

unde b este o constanta;

Suma abaterilor dintre valorile individuale inregistrate si media lor aritmetica este nula. Aceasta proprietate deriva din insasi definitia si modul de calcul al mediei aritmetice:

Media aritmetica este sensibila la asa-numitele valori aberante sau deplasate. Valorile aberante sunt valori nereprezentative pentru esantionul sau populatia care face obiectul cercetarii statistice. De exemplu, pentru seria de valori (1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 80) media aritmetica este egala cu 8,92. Daca s-ar elimina valoarea aberanta sau nereprezentativa 80 (foarte deplasata de celelalte), media aritmetica a valorilor ramase ar fi egala cu 2,45, valoare mult mai reprezentativa pentru seria considerata decat valoarea de 8,92, determinata in prea mare masura de un singur element. Este astfel necesara verificarea atenta a reprezentativitatii datelor obtinute printr-o observare statistica. Daca datele sunt colectate corespunzator si totusi apar valori aberante, este indicat calculul mediilor partiale, adica pentru fiecare tip calitativ al variabilei.

Media geometrica

Media geometrica este valoarea reprezentativa din punctul de vedere al produsului valorilor inregistrate. Concret, aceasta inseamna ca prin inlocuirea tuturor valorilor inregistrate cu media lor geometrica, produsul lor nu se modifica.

Media geometrica este utila atunci cand relatiile multiplicative dintre valori sunt semnificative din punctul de vedere al scopurilor cercetarii efectuate. Este cazul, de pilda, al statisticilor comparative de dinamica (indicii dinamicii inregistrate). Mai precis, este vorba despre relatia dintre indicii cu baza fixa si cei cu baza in lant.

Sa consideram, de exemplu, dinamica salariului mediu net pe economie in primele 9 luni ale anului 2006, redata in tabelul 3.3. Dupa cum se observa in tabel, produsul indicilor cu baza in lant este egal cu ultimul indice cu baza fixa. Aceasta inseamna ca daca toti indicii cu baza in lant ar fi egali cu media lor geometrica, indicele de dinamica inregistrata pentru intreaga perioada a celor 9 luni nu s-ar modifica (tabelul 3.4.).

Calculul mediei geometrice pentru un sir de valori

Din definitia mediei geometrice rezulta usor relatiile de calcul ale acesteia, prin egalizarea produsului valorilor inregistrate cu produsul care ar rezulta in urma inlocuirii tuturor cu valoarea mediei lor geometrice. Considerand, astfel, o variabila X pentru care s-a inregistrat sirul de valori x₁, x₂ . x_N, media geometrica (_g) se poate determina pornind de la egalitatea:

Produs (x₁, x₂ . x_N) = Produs (_g, _g . _g)

Folosind simbolurile matematice obisnuite:

In tabelul 3.4. este calculat - ca o medie geometrica a indicilor cu baza in lant - indicele mediu de dinamica a salariului mediu net pentru primele 9 luni ale anului 2006. Cu ajutorul lui se pot determina salariile medii nete care s-ar fi inregistrat in cele 9 luni in ipoteza unei dinamici constante.

Calculul mediei geometrice pentru distributiile statistice discrete

In calculul mediei geometrice pentru distributii statistice discrete, se tine cont de frecventele (absolute sau relative) inregistrate pentru fiecare dintre variantele care definesc variabilele statistice:

X_i reprezinta valoarea i inregistrata de variabila X;

X_j = varianta discreta j care defineste variabila X;

F_j = frecventa absoluta de aparitie a variantei discrete X_j;

F = variabila frecventelor absolute de aparitie a variantelor discrete ale variabilei X;

R = variabila frecventelor relative de aparitie a variantelor discrete ale variabilei X;

k = numarul de variante discrete care definesc variabila statistica X.

Sa presupunem, de exemplu, o firma al carei profit a inregistrat dinamica prezentata in tabelul 3.5.

Tabelul

In tabelul 3.6. este prezentata distributia celor 5 indici cu baza in lant ai dinamicii inregistrate de profitul firmei.

Tabelul 3.6.

Pe baza acestei distributii putem calcula indicele mediu de dinamica a profitului ca o medie geometrica ponderata a indicilor de dinamica cu baza in lant:

Estimarea mediei geometrice pentru distributiile statistice continue definite pe intervale

Pentru distributiile statistice continue definite pe intervale, media geometrica se poate aproxima cu media geometrica a centrelor intervalelor, ponderate cu frecventele (absolute sau relative) inregistrate:

unde C este variabila centrelor intervalelor care definesc variabila statistica, F sunt frecventele absolute inregistrate pe intervale, iar R sunt frecventele relative inregistrate pe intervale.

Proprietati ale mediei geometrice

Fiind o valoare numerica, media geometrica se poate calcula doar pentru serii statistice cu valori numerice;

Marimea mediei geometrica este unica, o serie neputand fi caracterizata de doua sau mai multe medii geometrice;

Calculul mediei geometrice are sens numai atunci cand intre termenii seriei exista o relatie de produs (multiplicativa);

Daca cel putin o valoare a seriei este nula sau negativa, calculul mediei geometrice este lipsit de sens;

Media geometrica este mai mica sau egala cu media aritmetica a acelorasi valori:

Aceasta proprietate este exemplificata pentru datele din tabelul 3.2., reluate in tabelul 3.7.

Tabelul 3.7.

Media geometrica este mai mica decat media aritmetica:

Media geometrica a unei variabile X este egala cu valoarea exponentiata a mediei aritmetice a variabilei X logaritmate:

Aceasta proprietate este utila pentru calculul simplificat al mediei geometrice . Pentru exemplificare, sunt reluate in tabelul 3.8. datele din tabelul 3.2.

Tabelul 3.8.

Media geometrica este:

Produsul raporturilor dintre valorile individuale inregistrate si media lor geometrica este egal cu 1. Aceasta proprietate deriva din insasi definitia si modul de calcul al mediei geometrice:

Media geometrica a produsului/raportului dintre doua variabile, este egala cu produsul/raportul mediilor geometrice ale celor doua variabile

Aceasta proprietate este exemplificata in tabelul 3.9.

Tabelul 3.9.

O consecinta a proprietatii anterioare consta in faptul ca multiplicarea sau divizarea cu o constanta a tuturor valorilor unui sir de observatii statistice determina multiplicarea sau divizarea cu aceeasi constanta a mediei lor geometrice

Multiplicarea (sau divizarea) cu o constanta a tuturor frecventelor absolute (F) ale unei distributii statistice nu produce modificari in ce priveste marimea mediei geometrice ponderate

unde b este o constanta;

Media geometrica este afectata mai tare de valorile mai mici ale unei serii. In consecinta, media geometrica se calculeaza deseori pentru punerea in evidenta a valorilor mai mici ale unei serii statistice;

Media geometrica se aplica si atunci cand fenomenul studiat are o evolutie aproximativ exponentiala. Cel mai des, media geometrica se utilizeaza pentru calculul indicilor medii ai dinamicii si pentru calculul ritmului mediu;

Ca si media aritmetica, media geometrica este sensibila la valorile aberante inregistrate.

Media patratica

Media patratica este valoarea reprezentativa din punctul de vedere al sumei patratelor valorilor inregistrate. Concret, aceasta inseamna ca prin inlocuirea tuturor valorilor inregistrate cu media lor patratica, suma patratelor acestora nu se modifica.

Utilitatea cea mai importanta a mediei patratice este in legatura cu determinarea variantei sau dispersiei statistice (capitolul 5 - "Descrierea statistica a variatiei").

Calculul mediei patratice pentru un sir de valori

Din definitia mediei patratice rezulta relatiile de calcul ale acesteia, prin egalizarea sumei patratelor valorilor inregistrate cu suma patratelor care ar rezulta in urma inlocuirii tuturor cu valoarea mediei lor patratice. Considerand, astfel, o variabila X pentru care s-a inregistrat setul de valori x₁, x₂ . x_N, media patratica (_p) se poate determina pornind de la egalitatea:

Suma de patrate (x₁, x₂ . x_N) = Suma de patrate (_p, _p . _p)

Folosind simbolurile matematice obisnuite:

Calculul mediei patratice pentru distributiile statistice discrete

Pentru o distributie statistica discreta, media patratica se calculeaza ca o medie patratica a variantelor discrete ponderate fie cu frecventele absolute, fie cu frecventele relative:

unde:

X_i reprezinta valoarea i inregistrata de variabila X;

X_j = varianta discreta j care defineste variabila X;

F_j = frecventa absoluta de aparitie a variantei discrete X_j;

F = variabila frecventelor absolute de aparitie a variantelor discrete ale variabilei X;

R = variabila frecventelor relative de aparitie a variantelor discrete ale variabilei X;

k = numarul de variante discrete care definesc variabila statistica X.

Calculul mediei patratice pentru distributiile statistice continue

Pentru distributiile statistice continue, media patratica se calculeaza cu ajutorul relatiei:

unde:

f(X) este functia care defineste variabila continua X;

m = limita inferioara de variatie a variabilei X;

M = limita superioara de variatie a variabilei X.

Estimarea mediei patratice pentru distributiile statistice continue definite pe intervale

Pentru distributiile statistice continue definite pe intervale, media patratica se poate aproxima cu media patratica a centrelor intervalelor, ponderate cu frecventele (absolute sau relative) inregistrate:

unde C este variabila centrelor intervalelor care definesc variabila statistica, F sunt frecventele absolute inregistrate pe intervale, iar R sunt frecventele relative inregistrate pe intervale.

Proprietati ale mediei patratice

Fiind o valoare numerica, media patratica se poate calcula doar pentru serii statistice cu valori numerice;

Marimea mediei patratice este unica, o serie neputand fi caracterizata de doua sau mai multe medii patratice;

Patratul mediei patratice a unei serii de valori este egal cu media aritmetica a patratelor valorilor seriei respective. Aceasta proprietate rezulta direct din definitia mediei patratice.

Media patratica este mai mare sau egala cu media aritmetica a acelorasi valori:

Aceasta proprietate este exemplificata pentru datele din tabelul 3.2., reluate in tabelul 3.10.

Tabelul 3.10.

Media patratica este mai mare decat media aritmetica:

Multiplicarea sau impartirea cu o constanta a tuturor valorilor unui sir de observatii statistice determina multiplicarea sau divizarea cu aceeasi constanta a mediei lor patratice:

unde a este o constanta;

Multiplicarea (sau divizarea) cu o constanta a tuturor frecventelor absolute ale unei distributii statistice nu produce modificari in ce priveste marimea mediei patratice ponderate

unde b este o constanta;

Pentru orice variabila X, patratul mediei patratice este egal cu suma dintre patratul mediei aritmetice si patratul mediei patratice a abaterilor absolute de la media aritmetica

unde (X) reprezinta media patratica a variabilei abaterilor absolute (D) de la media aritmetica

Aceasta proprietate poate fi considerata ca argument pentru proprietatea 4.

Media patratica este influentata intr-o masura foarte mare de termenii cu valori individuale ridicate. Din acest motiv, ea se calculeaza deseori atunci cand se doreste punerea in evidenta a valorilor individuale mari;

Ca si celelalte medii, media patratica este sensibila la valorile aberante inregistrate.

Media armonica

Media patratica este valoarea reprezentativa din punctul de vedere al sumei inverselor valorilor inregistrate. Concret, aceasta inseamna ca prin inlocuirea tuturor valorilor inregistrate cu media lor armonica, suma inverselor acestora nu se modifica.

Media armonica se foloseste in cazul unor colectii de valori partiale sau de structura. In economie, este utilizata, de exemplu, in calculul indicelui mediu armonic al preturilor.

Calculul mediei armonice pentru un sir de valori

Din definitia mediei armonice rezulta relatiile de calcul ale acesteia, prin egalizarea sumei inverselor valorilor inregistrate cu suma inverselor care ar rezulta in urma inlocuirii tuturor cu valoarea mediei lor armonice. Considerand, astfel, o variabila X pentru care s-a inregistrat setul de valori x₁, x₂ . x_N, media armonica (_h) se poate determina pornind de la egalitatea:

Suma de inverse (x₁, x₂ . x_N) = Suma de inverse (_h, _h  . _h)

Folosind simbolurile matematice obisnuite:

Sa presupunem, de exemplu, ca un intreprinzator are de ales intre a investi un capital in 4 obiective de investitii si a plasa acel capital pe piata financiara.

De la cele 4 investitii se asteapta urmatoarele rate de randament: 10%, 15%, 20% si 35%. Pentru a lua decizia corecta, intreprinzatorul va calcula rata medie pe care o asigura obiectivele de investitii, pentru a o compara cu rata de randament de pe piata financiara. Deoarece cele 4 rate de randament sunt valori de structura, rata medie de randament a celor 4 investitii se calculeaza ca o medie armonica:

Daca s-ar fi aplicat formula mediei aritmetice, s-ar fi obtinut:

care este un rezultat eronat, intrucat sunt ignorate procentele.

Calculul mediei armonice pentru distributiile statistice discrete

Pentru o distributie statistica discreta, media armonica, la fel ca toate celelalte medii statistice, se calculeaza ca medie armonica a variantelor ponderate fie cu frecventele absolute, fie cu frecventele relative:

unde:

X_i reprezinta valoarea i inregistrata de variabila X;

X_j = varianta discreta j care defineste variabila X;

F_j = frecventa absoluta de aparitie a variantei discrete X_j;

F = variabila frecventelor absolute de aparitie a variantelor discrete ale variabilei X;

R = variabila frecventelor relative de aparitie a variantelor discrete ale variabilei X;

k = numarul de variante discrete care definesc variabila statistica X.

Calculul mediei armonice pentru distributiile statistice continue

Pentru distributiile statistice continue, media armonica se calculeaza cu ajutorul relatiei:

unde:

f(X) este functia care defineste variabila continua X;

m = limita inferioara de variatie a variabilei X;

M = limita superioara de variatie a variabilei X.

Estimarea mediei armonice pentru distributiile statistice continue definite pe intervale

Pentru distributiile statistice continue definite pe intervale, media armonica se poate aproxima cu media armonica a centrelor intervalelor, ponderate cu frecventele (absolute sau relative) inregistrate:

unde C este variabila centrelor intervalelor care definesc variabila statistica, F sunt frecventele absolute inregistrate pe intervale, iar R sunt frecventele relative inregistrate pe intervale.

Proprietati ale mediei armonice

Fiind o valoare numerica, media armonica se poate calcula doar pentru serii statistice cu valori numerice;

Marimea mediei armonice este unica, o serie neputand fi caracterizata de doua sau mai multe medii armonice;

Pentru aceleasi valori, media armonica este cea mai mica dintre cele 4 medii statistice calculate:

Aceasta proprietate este exemplificata pentru datele din tabelul 3.2., reluate in tabelul 3.11.

Tabelul 3.11.

Media armonica este cea mai mica dintre cele 4 medii statistice:

Multiplicarea sau divizarea cu o constanta a tuturor valorilor unei serii statistice determina multiplicarea sau divizarea cu aceeasi constanta a mediei lor armonice:

unde a este o constanta;

Multiplicarea (sau divizarea) cu o constanta a tuturor frecventelor absolute ale unei distributii statistice nu produce modificari in ce priveste marimea mediei armonice ponderate:

Daca pentru calculul mediei armonice se folosesc frecvente compuse (X∙F) iar pentru calculul mediei aritmetice se folosesc frecvente simple (F) atunci cele doua medii vor fi egale:

Aceasta proprietate este exemplificata, pe baza datelor din tabelul 3.2., in tabelul 3.12.

Tabelul 3.12.

Se poate constata ca:

unde _h^* reprezinta media armonica determinata pe baza frecventelor compuse (C∙F).

Daca intre doua variabile exista o relatie de inversa proportionalitate, atunci media aritmetica a uneia dintre ele este egala cu inversa mediei armonice a celeilalte. Aceasta proprietate este exemplificata pentru variabilele X si Y din tabelul 3.13.

Tabelul 3.13.

Ca si celelalte medii, media armonica este sensibila la valorile aberante inregistrate.

Media generalizata sau media de ordinul 'r'

Cele 4 medii statistice se pot calcula si pe baza urmatoarei relatii generalizate:

unde _r este media generalizata sau media de ordinul 'r'.

Astfel, pentru anumite valori ale lui r, se pot obtine cele 4 medii:

pentru r = 1, se obtine media aritmetica, 

pentru r = , un numar pozitiv foarte mic, se estimeaza destul de bine media geometrica, _g;

pentru r = 2, se obtine media patratica, _p;

pentru r = -1, se obtine media armonica, _h