Serii de timp - definire, clasificare, factori de influenta, tipuri de modele de timp

Serii de timp - definire, clasificare, factori de influenta, tipuri de modele de timp

Seria cronologica reprezinta o forma de prezentare ordonata a datelor statistice in care se reflecta nivelul de manifestare a fenomenelor intr-un anumit moment sau perioada de timp. Altfel spus, seria cronologica reprezinta un sir de valori ale unui indicator economic sau de alta natura, observate in timp, oglindind procesul de schimbare si dezvoltare a unei colectivitati statistice in perioade succesive de timp.

Forma generala a unei serii cronologice se poate prezenta astfel:

2 3 ¼¼¼t ¼¼¼T

Y₁ Y₂ Y₃¼¼ Y_t ¼¼¼ Y_T

unde:

t = momentul sau intervalul de timp ();

y_t = nivelul (exprimat prin date absolute sau relative) atins de fenomenul Y la momentul t.

Seriile dinamice se impart in:

serii de stoc sau sau serii de momente (integrale), care caracterizeaza nivelul de dezvoltare a fenomenelor la anumite momente de timp. Caracteristica acestor serii este faptul ca indicatorii prezentati nu pot fi insumati intrucat nivelul de la un moment dat cumuleaza nivelurile tuturor momentelor anterioare. Prin insumare, aceeasi marime ar fi luata in calcul de mai multe ori, ceea ce este lipsit de sens. Din aceasta cauza, termenii acestor serii se mai numesc si marimi de stoc.

serii de intervale (diferentiale), care reflecta evolutia unui proces sau fenomen pe anumite perioade de timp. Nivelurile indicatorilor se poate evidentia pe ani, luni sau alte fractiuni de timp. Caracteristica seriilor de intervale o reprezinta posibilitatea de insumare a marimilor succesive ale indicatorilor. Aceasta caracteristica are o deosebita importanta atat in formarea seriilor, in iteratiile de optimizare a marimii intervalelor de grupare, cat si in analiza economica in vederea stabilirii rezultatelor pe intervale mari de timp. In literatura de specialitate aceste serii sunt numite de unii autori cumulative.

Modelarea statistica a seriilor de timp se fundamenteaza pe acceptarea unor ipoteze privind evolutia acestor serii, si anume:

miscarea in timp a unui fenomen social-economic este rezultatul actiunii unui nunar mare de factori care, chiar daca in viitor unii dintre acestia isi vor modifica actiunea pe o anumita perioada de timp, influenta lor nu va provoca perturbatii bruste si semnificative asupra legitatii de evolutie a fenomenului, acesta continuandu-si miscarea sub impulsul efectului inertial;

legea de miscare a fenomenului in timp, tendinta, nu poate fi cunoscuta decat prin cercetarea trecutului si prezentului fenomenelor socio-economice, evolutia lor fiind privita ca efect al unui sistem caracterizat printr-un ansamblu de relatii care au o relativa stabilitate in timp.

Ca atare, descrierea statistica a seriilor de timp porneste de la analiza factorilor ce provoaca miscarea acestora. In general, evolutia unui fenomen este generata de actiunea unor grupe de factori:

factorii esentiali, cu actiune de lunga durata, ce imprima fenomenelor tendinta de evolutie a acestora; actiunea acestor factori studiindu-se in functie de unitatile de timp pentru care a fost masurat fenomenul analizat;

factorii sezonieri, cu actiune pe perioade mai mici de un an, care determina abateri de la tendinta fenomenului imprimata de factorii esentiali;

factorii ciclici, cu actiune pe perioade mai mari de un an, ce imprima o evolutie oscilanta a fenomenului in cazul unor serii contruite pe perioade lungi de timp;

factorii intamplatori, (cu actiune aleatoare), a caror actiune se compenseaza daca datele inregistrate se refera la un numar mare de perioade de timp.

Pornind de la structura factorilor ce determina evolutia unui fenomen, descrierea statistica a seriilor de timp se poate realiza cu ajutorul urmatoarelor modele:

Modele aditive

y_t = f(t) + s(t) + c(t) + u(t)    (4.1)

Modele multiplicative

y_t = f(t) s(t) c(t) u(t) (4.2)

unde: f(t) = componenta trend, efect al actiunii factorilor esentiali;

s(t) = componenta sezoniera, efect al actiunii factorilor sezonieri;

c(t) = componenta ciclica, generata de actiunea factorilor ciclici;

u(t) = componenta reziduala, care exprima influenta factorilor intamplatori asupra evolutiei fenomenului.

Utilizarea unui anumit tip de model, aditiv sau multiplicativ, se face pe baza reprezentarii grafice a fenomenului.

Modelele aditive se utilizeaza in cazul in care cronograma seriei este de forma graficului din figura 4.1, adica seria prezinta oscilatii de amplitudine constanta si regulata fata de tendinta.

Fugura 4.1

Modelul multiplicativ, relatia (4.2), se transforma intr-un model aditiv daca se logaritmeaza ecuatia. In timp ce intr-un model aditiv componentele se exprima in aceeasi unitate de masura cu ale fenomenului respectiv, in cazul modelului multiplicativ, componentele se exprima procentual fata de functia tendinta f(t). Aceste modele se recomanda sa fie utilizate daca oscilatiile fenomenului fata de tendinta se amplifica sau se diminueaza odata cu cresterea numarului perioadelor de timp (Figura 4.2- a) si b)).

a) b)

Figura 4.2

In particular, in functie de natura fenomenului studiat, modelele de mai sus pot fi :

modele cu o singura componenta sau modele stationare: (4.3)

modele cu doua componente, trend si variabila reziduala:y _t = f (t) + u (t) (4.4)

modele cu trei componente: trend , sezonalitate si variabila reziduala:

y _t = f (t) + s (t) + u (t) (4.5)

y _t = f (t) s (t) u (t) (4.6)

modelele cu patru componente, vezi relatiile (4.1) si (4.2), se utilizeaza mai rar, in cazuri speciale, deoarece necesita serii lungi de date, conditie care impune probleme deosebite privind comparabilitatea termenilor, din punct de vedere al metodologiei de calcul si unitatilor de evaluare ale fenomenelor.

O serie de timp y_t este stationara daca:

-M(y_t) = , (4.7) Þ media seriei nu depinde de timp;

- (4.8) Þ dispersia seriei este independenta de timp;

- (4.9) Þ covarianta seriei nu depinde de timp.

Definitia de mai sus este de fapt definitia stationaritatii slabe.

O serie de timp este deci stationara daca media, dispersia si covarianta sa raman constante de-a lungul timpului. In cazul in care oricare din conditiile de mai sus nu este satisfacuta, atunci seria de timp este nestationara.

Daca primele doua conditii de mai sus nu pot fi acceptate, dar (4.10), unde f (k) reprezinta functia de autocorelatie de ordinul k , atunci poate fi acceptata ipoteza unei stationaritati slabe.

In acest caz, modelul econometric de timp poate fi scris astfel:

(4.11)

Acceptand ca variabila aleatoare u _t indeplineste ipotezele I₂, I₃, I₄, respectiv ipoteza de homoscedasticitate, de independenta a erorilor si de normalitate a valorilor variabilei reziduale, estimarea lui y_t se face pe baza unui interval de incredere:

(4.12)

In cazul in care numarul de observatii este mai mic decat 30, atunci valoarea lui t va fi preluata din tabela distributiei Student, iar, in caz contrar (n > 30), din tabela distributiei normale.

Un astfel de model poate fi acceptat fie pe baza reprezentarii grafice (cronograma - vezi Fig. nr. 4.3), respectiv daca distributia punctelor empirice poate fi aproximata cu o dreapta paralela cu axa Ox, atunci modelul este stationar, fie utilizand diverse teste.

Figura 4.3

Demn de retinut este faptul ca, in general, orice serie cronologica poate fi transformata intr-o serie stationara. Aceasta posibilitate permite construirea de serii stationare, operatie ce reprezinta primul pas in construirea de modele autoregresive.

In domeniul social-economic nu se prea intalnesc serii stationare, dar o serie de timp oarecare poate fi transformata intr-o serie stationara in urma calcularii diferentelor de un anumit ordin k.

Tabel 4.1

Daca diferentele de ordinul 1 sunt aproximativ constante, o seri de timp de timp oarecare poate fi ajustata (estimata) cu ajutorul unui model liniar, stationar.

Tabel 4.2

In cazul unui model neliniar se continua calculul diferentelor pana cand se obtine o serie stationara. Daca diferentele de ordinul 2 sunt constante, atunci legea de evolutie a fenomenului poate fi aproximata cu o parabola.

Ordinul diferentei indica gradul polinomului: daca diferentele de ordinul 2 sunt constante, atunci polinomul este de gradul doi, daca diferentele de ordiunul 3 sunt constante, atunci polinomul este de gradul 3 etc.

Alegerea unui anumit tip de model se face in functie de analiza statistica a structurii factorilor ce determina fenomenul respectiv si de cronograma seriei de timp respective.

Modele econometrice de timp cu doua componente: trend si variabila reziduala

Descrierea statistica a legitatii de evolutie a unui fenomen social-economic permite utilizarea modelului in scopuri explicative, de simulare sau de prognoza. Printre metodele de prognoza a fenomenelor social-economice, metoda extrapolarii - fundamentata pe modelele econometrice de timp - ocupa un loc important datorita usurintei calculelor si a prognozelor relativ exacte pe termen scurt si mediu.

Aplicarea unui model econometric de timp presupune parcurgerea urmatoarelor etape de lucru:

a)      identificarea functiei de ajustare;

b)      estimarea parametrilor modelului de ajustare;

c)      verificarea semnificatiei modelului;

d)      estimarea valorilor viitoare ale fenomenului utilizand metoda extrapolarii.

a) Exprimarea matematica a modelului de ajustare se deduce din reprezentarea grafica a seriei dinamice. In functie de forma cronogramei se alege o anumita functie sau grup de functii, daca graficul punctelor empirice nu poate fi asimilat cu graficul unei anumite functii matematice.

Multimea functiilor care pot fi folosite in ajustarea seriilor cronologice este foarte larga. In general, aceste functii se impart in doua categorii:

functii liniare: f(t) = a + bt

functii neliniare:

parabola

functie exponentiala

polinom de grad u

functie logistica.

Functiile de ajustare neliniare pot fi liniarizate prin logaritmare si, din acest motiv, se va trata numai cazul liniar.

b)      Estimarea parametrilor modelului de ajustare

Odata identificata ecuatia componentei trend, f(t), urmeaza operatia de determinare a parametrilor acesteia. Pot fi utilizate mai multe procedee, dar cele mai frecvent folosite sunt:

metoda punctelor empirice;

metoda celor mai mici patrate.

Estimarea parametrilor prin intermediul primului procedeu presupune alegerea arbitrara a unui numar de puncte de pe cronograma, egal cu numarul parametrilor modelului. Prin introducerea valorilor coordonatelor acestor puncte in functia de ajustare se obtine un sistem de k ecuatii cu k necunoscute (k = numarul parametrilor respectivi).

Fie y fenomenul cercetat a carui tendinta este o parabola de forma:

Fie M₁(t₁,y₁), M₂(t₅,y₅) si M₃(t₇,y₇) punctele empirice alese ca reprezentative pentru evolutia fenomenului si prin care va trebui sa treaca parabola:

In urma rezolvarii acestui sistem de ecuatii se vor obtine valorile parametrilor a, b si c dupa care, cu ajutorul functiei de ajustare, se vor calcula valorile teoretice ale fenomenului Y.

Procedeul recomandat a fi utilizat atunci cand functia de ajustare este folosita nu numai pentru descrierea evolutiei fenomenului ci si pentru efectuarea de previziuni este metoda celor mai mici patrate.

Sa admitem ca functiile de ajustare pot fi liniare sau neliniare. Deoarece foarte multe functii neliniare pot fi transformate in functii liniare, metoda celor mai mici patrate va fi prezentata numai pentru cazul liniar.

Se admite deci ca legea de evolutie a fenomenului y in perioada este , reprezinta valorile toeritice ale functiei trend, iar si sunt estimatorii parametrilor modelului de ajustare. Rezulta ca - variabila reziduala.

In mod curent, metoda celor mai mici patrate consta in minimizarea functiei:

Impunand conditiile de minim se ajunge la urmatorul sistem de ecuatii:

(4.16)

Rezolvarea sistemului de ecuatii va conduce la urmatoarele solutii:

(4.17) si (4.18) sau

(4.19) si (4.20)

daca in sistemul de ecuatii (4.16) variabila t (anii) se inlocuieste cu valorile sale centrate: .

Odata calculati estimatorii parametrilor a si b se va trece la determinarea valorilor ajustate ale tendintei pe baza functiei de regresie:.

c) Verificarea semnificatiei modelului si d) estimarea estimarea valorilor viitoare ale fenomenului se va realiza dupa aceleasi principii prezentate in cazul regresiei unifactoriale.

In cazul polinomului de gradul doi: se ajunge, in urma anularii derivatelor partiale in raport cu parametrii pentru expresia la urmatorul sistem de ecuatii in conditiile in care :

(6.1.3)

Sistemul permite obtinerea estimatiilor cu un numar redus de calcule.

6.2 Sezonalitatea

Sezonalitatea reprezinta acea componenta sistematica ce se manifesta prin oscilatii de perioada mai mica sau egala cu un an, repetabile in timp. Denumirea de sezonalitate semnaleaza cauza principala a acestor fluctuatii care consta in schimbarea anotimpului. Prin extensie, acest gen de fluctuatii se refera si la intervale mai mici decat un sezon (trimestru) cum ar fi luna sau saptamana. In acest caz, ele s-ar putea datora si altor factori decat cei climaterici si astfel de factori pot fi: traditia, vacantele scolare, plata salariilor, repausul duminical, alternanta zi-noapte, ciclurile biologice etc.

Din punct de vedere al posibilitatilor de masurare, sezonalitatea se manifesta sub forma unor abateri de la medie care revin sistematic. Acest aspect de oscilatie in jurul unui nivel de referinta (media) se observa mai clar la seriile stationare.

Astfel, in varianta aditiva, modelul poate fi formulat ca o suma de medii:

(6.2.1)

unde:

i = 1, 2, . , m ani;

j = 1, 2, . , h sezoane;

Exemplu

Se cunosc urmatoarele date privind productia de bere obtinuta in doi ani succesivi in Romania (valori rotunjite reprezentand sute de mii de hectolitri).

Tendinta, ca si valorile extrapolate ale tendintei (vezi Tabelul 6.2.2, coloana 7), au rezultat in urma aplicarii modelului liniar:

pentru care:

In ce priveste sezonalitatea, au fost calculate reprezentand media valorilor trimestrului j din anul i si anul i +1. Astfel, Mentionam ca valorile trimestrului j pentru care se calculeaza asfel de medii reprezinta rezultate ale raportului (coloana 8). Prin calculul valorilor s-a ajuns la evaluarea intensitatii sezonalitatii in urma unui prim filtru. Raportand aceste prime evaluari la media lor au rezultat INDICII DE SEZONALITATE dupa un al doilea filtru (coloana 10). In ultima coloana a tabelului s-au obtinut valori care includ ambele componente sistematice (trend+sezonalitate) ca urmare a utilizarii modelului de tip multiplicativ.

Tabelul 6.2.2

Tendinta, seria integrata, seriile cointegrate si implicatiile acestora asupra analizei regresiei

Problema existentei tendintei generale in seria de date intereseaza nu numai sub aspectul prognozei (extrapolarii) evolutiei in timp, ci si din perspectiva acuratetei parametrilor de regresie estimati, ca si din punct de vedere al analizei echilibrului economic pe termen lung.

In economie, majoritatea seriilor economice privind indicatorii importanti (preturile, cursul de schimb, masa monetara, consumul, exportul etc.) prezinta tendinta. Astfel de serii sunt considerate NESTATIONARE. Faptul ca termenii seriei cronologice au, in general, tendinte de crestere sau de scadere in decursul timpului, face ca media sirului valorilor lui y_t sa difere in functie de momentul t de la care consideram ca incepe seria. Mai mult, chiar si dispersia si covarianta sunt dependente de variabila timp (t).

SERIA STATIONARA este acea serie ale carei valori oscileaza, mai mult sau mai putin aleator, in jurul unui nivel de referinta - media, fiind deci intr-o stare de echilibru. Mai precis, seria stationara este rezultatul unui PROCES STOCHASTIC STATIONAR pentru care media si dispersia sunt constante, indiferent de momentul de la care consideram ca incepe seria, iar covarianta depinde numai de distanta (lag-ul) dintre unitatile de timp pentru care este calculata [4]. Asadar:

(6.5.1)

(6.5.2)

(6.5.3)

Revenind la seriile nestationare, mentionam ca o tipologie a manifestarii trendului in date evidentiaza distinct:

Tendinta de tip determinist, caracterizata prin faptul ca este invariabila, usor de prevazut, mentinandu-se in timp atat ca directie cat si ca panta. Ea poate fi inclusa in functia de regresie ca un factor distinct, simbolizat cu litera t, astfel:

Tendinta de tip stochastic, in sensul ca se modifica pe diversele secvente de timp.

In raport cu modalitatea in care este recomandata eliminarea tendintei din seria de date deosebim:

Serii nestationare, denumite si serii TSP ("trend stationary processes"), in care trendul se recomanda sa fie eliminat prin scaderea acestuia din sirul de date empirice, termen cu termen:

unde:tendinta.

Serii nestationare, denumite serii DSP ("difference stationary processes"), in care trendul se recomanda sa fie eliminat prin calculul diferentelor de ordinul intai -, eventual de ordinul doi -, sau mai mare.

In literatura econometrica de data mai recenta intalnim serii cronologice caracterizate prin termeni ca:

SERIE INTEGRATA - acea serie nestationara care poate fi transformata intr-o serie stationara prin calculul diferentelor de ordinul intai (serie integrata de ordinul intai - I₍₁₎ ), adica: , iar daca tendinta nu a fost eliminata in totalitate, se procedeaza la calculul diferentelor de ordinul doi (serie integata de ordinul doi - I₍₂₎) astfel: etc.

Seria la care se ajunge in final, intrucat nu mai include tendinta, fiind deci stationara, este considerata serie integrata de ordinul zero -I₍₀₎.

SERII COINTEGRATE - sunt considerate acele serii cronologice care, integrate fiind de acelasi ordin, admit o combinatie liniara care este integrata de ordin zero sau, in orice caz, este integrata de ordin mai mic decat ordinul de integrare a seriilor initiale. Astfel, in cazul a doua serii, x_t , y_t , fiecare fiind integrata de ordinul intai, daca exista o combinatie liniara "z" care poate rezulta astfel: z_t = y_t + x_t sau z_t = y_t-x_t sau, mai frecvent, z_t = y_t - (a₀+a₁x_t), care este integrata de ordinul zero, afirmam ca cele doua serii sunt cointegrate de ordinul intai. Asadar, daca y_t I , x_t I₍₁₎ si z_t I₍₀₎ afirmam ca x_t ,y_t CI_(1;1). Astfel de serii sunt caracterizate ca fiind intr-o relatie de echilibru pe termen lung.

Un interes aparte prezinta combinatia liniara care conduce la obtinerea variabilei reziduale u_t (z_t = y_t - (a₀ + a₁x) = u_t), caracterizata ca fiind integrata de ordin zero. Intr-o astfel de situatie, "terenul este pregatit" pentru o analiza de regresie de calitate, in care estimatorii parametrilor sunt consistenti, testul t si F oferind rezultate importante pentru o astfel de analiza. O definitie a cointegrarii avand un grad mai mare de generalizare este urmatoarea: componentele vectorului X_t sunt de ordin b, d daca toate componentele vectorului X_t sunt integrate de acelasi ordin d si daca exista un vector a a#0) astfel incat vectorul Z_t obtinut astfel: reprezinta o serie integrata de ordin d-b, (b>0) [2]. Vectorul "Z" este denumit vector de cointegrare, respectiv daca combinatia liniara este reprezentata de diferenta y-(a₀+a₁x), parametrul a₁ poate fi denumit parametru de integrare. Regresia insasi pentru astfel de serii poate fi "etichetata" drept regresie de cointegrare, iar intreg demersul este numit ANALIZA DE COINTEGRARE.

Pentru modelarea econometrica prezinta interes, asa cum am aratat, indeosebi situatia in care, pentru doua serii cointegrate, combinatia liniara, y - (a₀+a₁x) = u, este integrata de ordin zero. Aceasta a condus la remarca "the valuable contribution of the concepts of integration, unit root etc. is to force us to find out if the regression residuals are stationary" [6].

Pentru a incadra o serie cronologica intr-una dintre categoriile mentionate, se apeleaza la reprezentari prin tabele, grafice (cronograme, corelograme) dar mai ales la testele statistice. Dintre modalitatile de verificare, relativ numeroase, descrise in articolele si cartile de econometrie mai recente, ne referim indeosebi la acelea care sunt legate direct de calitatea parametrilor de regresie de a fi consistenti .

Astfel, in vederea caracterizarii seriei prin calificativul stationara sau nestationara, ne putem baza pe cronograma si pe FUNCTIA DE AUTOCORELARE (r_k), care exprima intensitatea dependentei dintre valori ale seriei aflate la o distanta de k unitati de timp:

(6.5.4)

In cazul proceselor stationare, , astfel incat sau, mai simplu:

(6.5.5)

In practica procedam la estimarea functiei de autocorelatie utilizand un esantion de n valori. Ca urmare, se obtin coeficientii de autocorelatie, r_k, pentru n valori, iar relatia generala de calcul devine :

(6.5.6)

Pentru k = 1, obtinem:

Pentru k = 2, obtinem:

Functia logistica

O lege cvasigenerala de evolutie a fenomenelor din natura si societate poate fi pusa in evidenta de curba logistica. Astfel de evolutii intalnim atunci cand urmarim in timp nivelul vanzarilor unui produs pe piata interna, numarul populatiei unei tari, generalizarea unei noi tehnologii in productie, consumul in cazul unui nou produs pe piata.

Functia logistica reprezinta un model al cresterii care, de fapt, include mai multe tendinte in succesiune. Astfel, in prima faza, evolutia poate fi schitata printr-o dreapta, pentru ca apoi cresterea sa devina exponentiala pana in preajma punctului de inflexiune.

, evident, de natura transformarilor efectuate, procedandu-se in consecinta.

In ceea ce priveste functia logistica, mentionam ca ea descrie schematic evolutia unui numar mare de fenomene si procese indeosebi in situatiile in care ipoteza admiterii unui "mediu inchis" de desfasurare a cresterii este plauzibila. Modelul logistic poate fi exprimat in mai multe variante, dintre care mentionam:

(6.1.4)

unde:

a,b,c = parametrii;

t =

unde:

t = 1, 2, 3, . , n;

a = parametru reprezentand limita superioara de crestere;

b = parametru (e^b indica pozitia curbei in raport cu axa timpului);

c = parametru care exprima panta curbei (a, b, c > 0)

Varianta (6.1.5) este utilizata cu precadere in studiile economice si demografice. Viteza de crestere, exprimata de prima derivata a functiei descrisa de relatia (6.1.5), este proportionala cu raportul c/a. Punctul de inflexiune a curbei este de coordonate (b/c;a/2). In vederea estimarii parametrilor a, b si c este utilizata fie M.C.M.M.P., fie metoda punctelor echidistante. Aceasta din urma metoda presupune segmentarea seriei cronologice in trei parti egale definind din fiecare o valoare caracteristica (valoarea de mijloc) : y(1), y(2), y(3). Daca avem in vedere ca relatia (6.1.5) face posibila egalitatea:

Þ (6.1.6)

atunci, inlocuind variabila y cu valorile celor trei variante, obtinem:

- pentru momentul t = 0 Þ (6.1.7)

- pentru momentul t = k Þ

- pentru momentul t = 2k Þ (6.1.9)

unde:

k = distanta intre valorile caracteristice .

Egalitatile formeaza un sisterm de trei ecuatii cu trei necunoscute .

Evolutia unui proces economic pe o traiectorie de tip S poate evita faza finala de stagnare, urmata de scaderea de nivel, prin atragerea unor noi factori (inovatii in tehnologie, facilitati la cumparare, intrarea pe noi piete etc.) care sa relanseze procesul pe o traiectorie care reia, la o alta scara, evolutia anterioara. Succesiunea de astfel de functii logistice, desfasurate la nivele tot mai inalte, este descrisa de asa numita CURBA INFASURATOARE. O astfel de reprezentare descrie si permite extrapolarea unei evolutii desfasurate pe coama unei curbe de tip S. Infasuratoarea este astfel o tangenta comuna tuturor curbelor desfasurate in succesiunea intr-un interval de timp, de regula, indelungat. O prezentare formala a unei astfel de evolutii are in vedere existenta unei familii de curbe, f(t, y, a aIA. Fiecare curba este definita pe I_a [a_a ,b_a] nu neaparat disjunctive.

Definim infasuratoarea acestor curbe functia , astfel ca: Problema poate fi pusa in contextul determinarii unui extrem cu legaturi pentru care construim lagrangianul :

L(t, y, a l) = y - l(t, y, a (6.1.10)

Egalarea cu zero a derivatelor in raport cu y, a si l reprezinta conditia necesara pentru atingerea unui extrem. Ultimele doua ecuatii la care se ajunge reprezinta un sistem care include printre solutii si pe cele destinate rezolvarii problemei de maxim care ne sta in atentie.

Extrapolarea pe curba infasuratoare a fost aplicata indeosebi in tehnologie desi economia prin procesele de tranzitie, evolutia cererii, inovatia in lansarea si relansarea produselor etc. ofera un domeniu deschis cercetarii si studiilor aplicative prin aceasta metoda.

Tendinta, indiferent de functia utilizata, se obtine inlocuind parametrii cu estimatorii obtinuti prin M.C.M.M.P. sau alte metode, si atribuind valori in succesiune variabilei t.

Previziunea, rezultata ca o extrapolare a tendintei, se obtine similar, dar valorile variabilei t sunt proiectate in viitor.

Modelul Calot de abordare simultana a trendului si sezonalitatii

Intrucat procesele economice nestationare si cu sezonalitate prezinta oscilatii sistematice pe fondul unei tendinte evolutive si in interactiune cu ea, s-a cautat ca si reprezentarile prin modele econometrice privind astfel de evolutii sa fie conforme acestei realitati. O astfel de reprezentare o constituie modelul elaborat de profesorul francez Gerard Calot. Ipotezele avute in vedere la definirea modelului sunt:

tendinta generala este liniara;

sezonalitatea este stationara (oscilatiile pastreaza perioadele in care apar varfuri si caderi);

perturbatia urmeaza o distributie normala .

Construirea modelului are drept punct de plecare forma liniara:. Sezonalitatea este introdusa in model prin divizarea parametrului a₀ in elemente care se refera la ordonata la origine privind trendul (A) si constantele s_j , cate una pentru fiecare subperioada anuala.

In ce priveste variabila "t", aceasta devine un agregat care permite derularea timpului pe trimestre/luni si ani. Aceasta este simbolizata cu j+ih (unde j = 1, 2, . , h perioade subanuale; i = 0, 1, 2 , . (m-1) ani).

Modelul se prezinta astfel:

(6.3.1)

Estimarea parametrilor poate fi facuta utilizand M.C.M.M.P. Evident, in urma anularii derivatelor partiale, presupusa de aceasta metoda, se ajunge la un numar de 2+h ecuatii. Pentru facilitarea obtinerii rapide a estimatorilor recomandam utilizarea relatiilor de calcul la care s-a ajuns in urma unor artificii algebrice efectuate asupra sistemului de 2+h ecuatii :

(6.3.2)

unde:

= media subperioadei in anul i;

= media unei subperioade.

(6.3.3)

(6.3.4)

unde:

= media subperioadei j indiferent de an.