Verificarea semnificatiei statistice a rezultatelor estimarii

VERIFICAREA SEMNIFICATIEI STATISTICE

A REZULTATELOR ESTIMARII.

TESTUL T. TESTUL F

Motivele pentru care etapa verificarii nu trebuie sa fie absenta in activitatea de elaborare si utilizare a reprezentarilor econometrice pot fi redate, seccint, astfel:

- datele utilizate provin dintr-un esantion care nu intotdeauna este reprezentativ;

- rolul cauzelor accidentale ca si cel al intamplatoarelor analogii in ceea ce priveste evolutiile factorilor inclusi in model poate conduce la estimatii pentru parametrii care fie contrazic aspecte evidente si anticipate din economie, fie exprima deformat rolul factorilor;

- lipsa de experienta si subiectivismul celui care elaboreaza modelul econometric, slabiciuni care se manifesta fie la alegerea factorilor, fie la la alegerea functiei.

Ca urmare, se recomanda: a) verificari prin confruntarea cu realitatea economica cunoscuta din teorie sau din practica; b) verificarea, in sens statistic, a semnificatiei rezultatelor estimarii; c) verificarea modalitatii in care o serie de ipoteze se regasesc in semnalele pe care ni le transmit rezultatele aplicarii modelului.

In acest capitol ne referim la recomandarile a) si b) iar in capitolul urmator ne va sta in atentie cea de a 3-a recomandare.

1. Verificari ale rezultatelor modelarii prin compararea acestora cu realitatea economica

In cele ce urmeaza ne referim, pe scurt, la o prima apreciere a rezultatelor bazata pe unele cunostiinte apriorice privind procesul analizat, dar si erorile asteptate.

Astfel, semnul parametrului poate confirma sau infirma cele cunoscute din teoria si practica economica. Daca, de exemplu, avem in vedere relatia pret-vanzari, ne asteptam ca semnul parametrului "atasat" pretului sa fie minus, asa cum in cazul unei functii de productie ne asteptam ca semnul sa fie plus. Daca, in urma estimarii, astfel de asteptari nu sunt confirmate se recomanda efectuarea de verificari in ce priveste corectitudinea calculelor, corectitudinea datelor utilizate pentru estimare, calitatea specificarii in sensul reevaluarii numarului de factori sau a functiei pentru care am optat.

In exemplul considerat (tab. 3.1), ne asteptam ca atat veniturile in crestere cat si investitiile si implicit oferta in crestere sa influenteze in sensul cresterii cererii, ceea ce semnul pozitiv al ambelor estimatii confirma.

Un alt gen de verificare a etapelor parcurse presupune generarea de valori pe baza modelului estimat si compararea lor cu datele empirice (rezultate din observarea "pe teren" privind variabila y). Generarea de valori implica inlocuirea in model al simbolurilor cu estimatiile pentru parametrii si atribuirea de valori factorilor asa cum rezulta din tabelul cu date (3.1.). reamintim ca ; ; .

Ne asteptam ca valorile ajustate sa fie asemanatoare cu cele empirice, abaterile sa fie relativ mici, avand o evolutie intamplatoare atat ca semn cat si ca marime. Daca dimpotriva, abaterile sunt relativ mari sau prezinta o succesiune sistematica atunci avem motive sa revedem fie calculele, fie datele, fie specificarea.

In aplicatia la care facem referire abaterile pot fi apreciate ca fiind relativ mici si aleatoare ca succesiune.

2. Verificarea semnificatiei statistice a fiecarui parametru estimat. Testul T

Obiectivul verificirii consta in aprecierea in sens statistic a marimii estimatiei obtinute asa incat sa putem afirma, intr-un mod cat mai obiectiv, ca respectiva estimatie releva ceva semnificativ, care nu s-ar dataora intamplarii si, ca urmare, factorul al carui rol este cuantificat este realmente determinant pentru procesul analizat. Desigur, rezultatele testului pot confirma sau infirma o astfel de asteptare.

Pebtru o mai buna intelegere a domeniului verificarilor de natura statistica, este necesara o prealabila familiarizare cu principalele notiuni specifice precum:

- semnificatie - importanta, relevanta, deosebire marcanta a rezultatului estimarii in raport cu ceea ce ar rezulta ca urmare a jocului intamplarii. Similar poate fi apreciata abaterea dintre doua marimi de aceeasi natura in sensul aprecierii daca abaterea este semnificativa, datorita unei cauze relevante, sau nesemnificativa, datorata intamplarii.

- test statistic - procedeu ale carui etape conduc la o concluzie cu privire la o ipoteza preformulata care poate fi confirmata sau respinsa in baza unei repartitii si a unei probabilitati de a gresi in ce priveste concluzia.

- nivel (prag) de semnificatie - probabilitate, de regula, prestabilita cu privire la riscul de a gresi in concluzia finala. Astfel, acceptam ca in 5% din cazuri concluzia prin care se afirma ca ipoteza nula este falsa, poate fi gresita (ceea ce ar insemna ca ipoteza nula este corecta). Intrucat apelam la datele unui esantion este necesar sa stabilim o limita superioara (prag de semnificatie) pana la care acceptam inerenta incertitudine, ramanand un nivel de incredere rezonabil de mare (1-);

- interval de incredere - distanta dintre 2 valori in cadrul careia se plaseaza cu o probabilitate rezonabil de mare parametrul care formeaza obiectul estimarii. Daca un astfel de interval il denumim bilateral, intrucat se extinde de o parte ti de alta a unui nivel-pivot, intervalul unilateral se refera la distanta dintre nivelul-pivot si una dintre limitele extreme.

- repartitie statistica - multimea perechilor ordonate de valori si reprezentand, fiecare dintre perechi, nivelul variabilei aleatoare () si probabilitatea (P), pozitiva sau nula, de realizare a respectivului nivel ;

- grade de libertate - coordonate independente in sensul de valori liber alese pe care le poate inregistra o variabila daca este restrictionata de conditii ce pot fi prestabilite;

- ipoteza statistica - presupunere cu privire la repartitia urmata de o variabila sau cu privire la parametrii si semnificatia acestora. Astfel de presupuneri urmeaza sa fie verificate asa incat sa rezulte fie acceptarea ipotezei nule (), de tip negativist, fie acceptarea ipotezei alternative (H) a confirmarii supozitiei initiale;

- nivelul calculat nivel tabelat - daca nivelul calculat rezulta in urma aplicarii, de catre cel interesat, a unei formule care, de regula, genereaza valori comparabile cu cele specifice unei anumite repartitii, nivelul tabelat rezulta in urma preluarii lui dintr+un tabel, corespunzator repartitiei, nivel pozitionat la "intersectia" pragului de semnificasie acceptat si gradele de libertate.

Intregul demers presupus de testul t se bazeaza pe prezumtia conform careia abaterile estimatiei de la media sa M(), care s-ar obtine in cazul repetarii estimarii pentru mai multe esantioane de volum identic, urmeaza o repartitie normala. Daca avem in vedere ca abaterea de la medie impartita la abaterea medie patratica urmeaza, pentru esantioane de volum mic (n<30), repartitia Student (de unde nivelul t-tabelat), ne intereseaza o astfel de transformare a estimatiei obtinute incat sa devina comparabila cu nivelul t-tabelat pentru (n-k) grade de libertate si un risc apriori ales.

Intrucat, de regula, nu dispunem de mai multe esantioane ci, la fel ca si in aplicatia exemplificata, avem date pentru un singur esantion, preferam sa consideram abaterea estimatiei in raport cu zero . Acesta ar fi motivul pentru care ne pronuntam in urma acestui test, cu privire la deosebirea semnificatica sau nesimnificativa a estimatiei in raport cu zero. Relatia de calcul, folosind notatiile pentru estimatia supusa verificarii si pentru abaterea medie patratica a estimatiei este urmatoarea:

(1)

Rezultatul se compara cu nivelul tabelat (repartitia Student anexa II) pentru un risc acceptat si un numar de grade de libertate egal cu numarul de cazuri minus numarul de parametrii din model (k=3 in modelul bifactorial). Asadar, n*g*l=15-3=12.

In cele ce urmeaza ne referim concret la etapele verificarii folosind, pentru exemplificare, rezultatele estimarii obtinute in etapa anterioara.

1. stabilirea ipotezei nule, a nesemnificatiei (H): estimatia rezultata nu fifera semnificativ de zero.

In aplicatia la care ne referim aceasta ar insemna ca atat cat si sau , prezinta valori doar intamplator diferite de zero si aceasta, probabil, din cauza unor "potriviri" intamplatoare a datelor.

2. Repartitia pe care o avem in vedere este repartitia Student, esantionul fiind relativ mic (n=15<

3. nivelul calculat (t-calc) reyultat pe baza relatiei (1) presupune ca in prealabil sa estimam abaterea medie patratica privind estimatia - .

In cazul modelului unifactorial y=a+bx+u abaterea medie patratica rezulta astfel:

- pentru estimatia , (2)

-pentru estimatia , (3)

In cazul multifactorial recomandam untilizarea valorilor centrate Y=y-, respeectiv, X=x-; Z=z-, asa cum am procedat ib etapa estimarii (3.16, .317, 3.17a), caz in care utilizam relatiile:

(4)

(5)

iar dispersia va fi inlocuita cu estimata ei () obtinuta pe baza relatiei:

, unde k=numarul de parametrii (6)

In sitauatiile in care in vederea estimirii utilizam relatia (3.29) mai simplu este sa multiplicam matricea inversa (X'X) cu un scalar reprezentat de valoarea estimata a dispersiei variabilei reyiduale, (6).

(6a)

Rezultatele obtinute in urma inmultirii constantei cu elementele de pe diagonala matricei inverse notate reprezinta dispersiile pentru factorii considerati in succesiunea aparitiei lor in model. In ce priveste abaterea medie patratica () utila pentru testarea fiecarui parametru (numitorul relatiei 1), aceasta este data de estimatie ei (s):

(6b)

Preluarea din tabelul repartitiei Student a valorii corespunzatoare riscului acceptat () si numarului gradelor de libertate g*l=n-k. In exemplu nostru g*l=15-3=12 si =0,05, asadar .

5. Comparatia dintre nivelul t-calculat si nivelul t-tabelat in vederea confirmarii (daca t-calculat<t-tabelat) sau infirmarii (daca t-calculat>t-tabelat) ipotezei nule.

Mentiuni cu privire la utilizarea testului t:

- semnul fiecirui parametru nu influenteaza rezultatul comparatiei dintre t-calculat si t-tabelat intrucat retinem pentru calculul raportului (1) estimatia in valoare absoluta, asa incat raportul nu poate fi decat pozitiv;

- in cazurile in care datele provin dintr-un esantion relativ mare, adica n>30, putem apela la repartitia normala redusa pentru care apare in anexa 1 variabila z, care va fi considerata nivelul t-tabelat (numarul gradelor de libertate nu mai reprezinta o coordonata);

- riscul notat cu(de a comite o eroare de genul l in sensul acceptarii a ceea ce n-ar trebui acceptat) poate fi egal cu 0,05; daca dorim o precizie mai mare, putem alege o valoare mai mica precum 0,025 sau 0,01 sau 0,001, asa cum, daca acceptam un risc mai mare de a ajunge la o concluzie gresita, putem opta pentru =0,10;

- daca suntem interesati in stabilirea unui interval de incredere in cadrul caruia sa avem suficiente garantii (ceea ce depinde de praful de semnificatie () acceptat) ca se situeaza adevarata valoare a parametrului a (deci nu cea estimata ci cea care s-ar obtine daca am avea date pentru intreg ansamblul de cazuri), putem sa ne bazam in continuare pe ratiunile care au stat la baza testului t. La acestea adaugam si urmatoarele aspecte demonstrabile: media estimatiilor se aproprie pana la coincidenta de valoarea adevarata a parametrului (calitatea estimatiei de a fi nedeplasata), ; parametrul se poate situa ca marime peste sau sub valoarea estimata (), asa incat probabilitatea de a gresi (notata ) este divizata, in sensul ca se accepta pentru fiecare dintre cele 2 subintervale. Ca urmare, in care , pentru un risc acceptat (). Daca izolam pe si avem in vedere "diviziunea riscului" putem reda acest raport si in forma

unde =estimatia abaterii medii patrate (vezi 2, 3, 6.b)

In acest fel am stabilit intervalul de incredere pentru un parametru oarecare din model.

Daca ne propunem sa exemplificim pentru parametrul a din aplicatia care ne sta in atentie, atunci avem in vedere ca iar asa incat, corespunzator formulei (9) obtinem:

ceea ce inseamna ca putem afirma, cu o probabilitate de a nu gresi de 0,95, ca adevarata marime a parametrului se situeaza intre 1,15 si 4,5349.

3. Verificarea semnificatiei rolului ansamblului factorilor asupra variabilei efect. Testul F

Testul F urmareste verificarea semnificatiei simultane a tuturor estimatiilor obtinute pentru parametrii. Rezultatul verificarii se refera asadar, la aprecierea pe ansamblu a modelului, considerat ca o reprezentare care descrie un mecanism relational complet diferit de ceea ce ar putea fi atribuit intamplarii.

Modelul de regresie descrie rolul factorilor determinanti prin parametrii de regresie iar efectul conjugat al factorilor determinanti rezulta inlocuind parametrii cu estimarile obtinute iar factorilor atribuindu-le valori, ceea ce condice la obtinerea de "valori ajustate": .

Valorile ajustate () se abat de la medie () in masura in care se abat la randul lor de la medie, actionand mai intens sau mai putin intens. Ca urmare, si efectul se va situa sub medie sau peste medie, in functie de deplasarea factorilor de la niveluri mici spre niveluri mari. Asadar, deosebim abateri () datorate factorilor determinanti inclusi in model. Notam suma patratelor abaterilor de acest gen cu SSR. Singurul motiv pentru care adoptam aceasta notatie este o mai clara expunere a etapelor verificarii.

Un alt gen de abateri care pot interveni s-ar datora perturbatiei, astfel spus actiunii factorilor reziduali exprimati prin simbolul "u". Suma patratelor unor astfel de abateri datorate intamplarii o notam cu SSU si ea reprezinta suma patratelor diferentelor dintre valorile ajustate, generate de model si valorile empirice (), reprezentate de deatele numerice (y).

Ne asteptam ca rolul factorilor sistematici () sa fie net superior rolului factorilor minori, perturbatori (u), aspect care poate fi verificat raportand suma care ne asteptam sa fie mai mare (SSR) la suma reziduurilor ridicate la patrat (SSU). Aceasta din urma suma ne asteptam sa fie de cateva ori mai mica decat SSR daca modelul elaborat este performant. Afirmatia "de cateva ori mai mica" este vaga si, ca urmare, este necesara o baza obiectiva care se confere rigurozitate demersului. Acesta este motivul pentru care apelam la repartiia raportului dispersiilor (repartitia Snedecor), ceea ce implica transformarea sumelor (SSR, SSU) an dispersii, precum acceptarea unei probabilitati () legate de riscul de a gresi in ce priveste concluzia care incheie verificarea. Obtinem dispersii divizand suma patratelor abaterilor la numarul gradelor de libertate. Raportul dispersiilor la care ajungem este notat .

, unde k= numarul de partametrii (7)

Etapele aplicarii testului F, pe baza aplicatiei pentru care am estimat parametrii, sunt:

- stabilim ipoteza nula, a nesemnificatiei: dispersia de la numaratorul relatiei (7) nu se abatre semnificativ de la dispersia pozitionata la numitor.

- determinam nivelul F-calculat (7). desigur, obtinerea marimii F implica pentru numarator: obtinerea valorilor ajustate , calculul abaterilor acestor valori de la medie (), ridicarea la patrat a fiecarei diferente, insumarea patratelor diferentelor si raportarea sumei la numarul de parametrii (mai putin unu) din model; in ce priveste numitorul, este suficient sa determinam diferentele dintre valorile ajustate si valorile reale (y), sa le ridicam pe fiecare la patrat si sa insumam patratele, dupa care divizam suma la numarul de cazuri minus numarul de parametri:

Pentru aplicatia la care facem referire obtinem:

SSR (k-1)=[(10,284-16)+(10,763-16)++(20,758-16)]:(3-1)=131,778:2=65,889

SSU/(n-k)=[(10,284-10)+(10,763-11)++(20,758-21)]:(15-3)=6,222:12=0,5185

F=65,889/0,5185=127,077

- preluam din tabelul repartitiei raportului dispersiilor nivelul tabelat (F) corespunzator si (k-1), respectiv (n-k) grade de libertate

Daca acceptam =0,05 si avem in vedere 3-1=2 garde de libertate, respectiv 15-3=12 grade de libertate gasim F=6,93.

- comparam nivelulcu nivelul si in cazul in care valoarea calculata este mai mare, infirmam ipoteza nula, a nesemnificatiei, ceea ce confirma modelul ca fiind valid, in sensul ca, in general, estimatiile privind parametrii sunt semnificative; daca dimpotriva, < ipoteza nula este confirmata cu tot ceea ce implica ea.

Unele mentiuni:

- valorile tabelate sunt supraunitare, ceea ce implica ca in toate cazurile de aplicare a testului F sa raportam dispersia de marime maxima la dispersia minima;

- testul implica sume de abateri (SSR, SSU care impreuna formeaza SST), ceea ce ofera prilejul de a extinde verificarea in directtia determinarii si interpretarii coeficientului de determinatie a carui relatie de definire este urmatoarea:

(8)

Un astfel de coeficient exprima ponderea rolului factorilor determinanti din model in raport cu variatia totala a variabilei-efect s-ar datora factorilor determinanti inclusi in analiza.

Coeficientul de determinatie se poate obtine si pe baza relatiei echivalente:

(9)

Daca avem in vedere relatia privind (7) si daca impartim si numaratorul si numitorul la SST, rezulta:

(10)

Acest din urma raport face posibila aplicarea testului F in situatia in care cunoastem coeficientul de determinatiei.

Mentionam, de asemenea, ca indeosebi pentru comparatii, se recomanda varianta ajustata a coeficinetului de determinatie ():

(11)

In exemplul considerat:

adica din variatia efectului este determinata de cei doi factori.

In varianta ajustata .