Semnale modulate in amplitudine pe purtator armonic

Semnale modulate in amplitudine pe purtator armonic

Daca doua semnale de frecvente diferite se aplica la intrarea unui dispozitiv electronic neliniar,vor aparea doua fenomene distincte, anume translatia si mixarea.

Oscilatiile care se aplica la intrarea unui etaj modulator sunt: mesajul care reprezinta semnalul modulator de forma u_m=U_m sin ω_mt sau u_m=U_m cos ω_mt, iar al doilea semnal este oscilatia purtatoare de inalta frecventa de forma u_p=U_p sin ω_pt sau u_p=U_p cos ω_pt

u_m=U_m sin ω_mt u=U_P (1+m sin ω_mt) sin ω_pt

mesajul MODULATORUL semnal de iesire

u_p=U_p sin ω_pt

purtatoarea

Se poate observa ca amplitudinea semnalului se modifica cu sinusul mesajului unde :

m=(Umax-Umin)/(Umax+Umin) si se numeste grad de modulatie.

Descompunerea semnalului modulat:

u_MA=Up(1+m sin ω_mt) sin ω_pt

u_MA=Up sin ω_pt +Up m sin ω_mt sin ω_pt=Up sin ω_pt +m Up sin(ω_p+ω_m)t/2 + m Up sin(ω_p-ω_m)t/2

Primul termen al descompunerii reprezinta componenta cu frecventa purtatoare f_p si amplitudine U_p, al doilea termen este componenta cu frecventa f_p-f_m si are amplitudinea mU_p/2 ce formeaza banda laterala inferioara iar cel de-al treilea este componenta cu frecventa f_p+f_m si are amplitudinea mU_p/2 ce formeaza banda laterala superioara.

1 Modulatia in amplitudine cu purtatoare si doua benzi laterale

Acest tip de modulatie se utilizeaza in radiodifuziunea clasica pe unde lungi, medii si scurte.

Fig. 2Modulatia in amplitudine

Se face ipoteza ca semnalul modulator este format dintr-o componenta continua, de valoare unitara, si componenta variabila (variatia purtatoare de informatie); aceasta se admite la inceput in varianta cea mai simpla: o cosinusoida de pulsatie ω₀ , faza initiala nenula si amplitudine m, subunitara.

Deci semnalul modulator este de forma 1+m*cos(ω₀t). In acest caz, semnalul modulat este dat de produsul semnalului purtator cu semnalul modulator, adica:

x_MA(t)=Apφ(1+m*cos(ω₀t))*cos(ω_pt) in care m=A/Ap se numeste grad de modulatie.

Formele semnalelor x(t) ,xp(t) si x_MA(t) sunt ilustrate in figura 2. Utilizand notatiile din aceasta figura, gradul de modulatie se determina cu relatia:

Teoretic, m apartine intervalului [0; 1]. In telefonie, m apartine intervalului [0.5; 0.6].

Se pune problema sa determinam spectrul semnalului modulator . Aceasta relatie se transforma succesiv:

Spectrele semnalelor x(t) si x_p(t) constau din cate o singura armonica, la frecventele ω0 si, respectiv, ωp (ω_p >>ω₀ ). Spectrul semnalului modulat contine 3 componente: purtatoarea de amplitudine Ap si doua componente laterale, la frecventele ω_p ±ω₀ , cu amplitudinile egale cu mAp/ 2 .

Fig. 3 Spectrul semnalelor x(t) , x_p( t) x t si x_MA( t)

Semnalul util este continut in cele doua componente laterale (in exces, pentru ca ar fi suficienta o singura componenta laterala). Deci modulatia nu este economica, in sensul ca ocupa o banda de frecventa dubla fata de cea necesara. Purtatoarea este mult mai mare decat componentele laterale, rezultand unele dezavantaje, precum saturatia amplificatoarelor si performante energetice slabe ale modulatiei.

1.1 Randamentul modulatiei

Definim randamentul modulatiei ca fiind raportul dintre puterea dezvoltata de componentele laterale (utile) din spectru, Pu , si puterea semnalului modulat, P_MA :

Considerand ca semnalele x(t) si x_p(t) au amplitudinile A si A_p (m=A/ A_p ), iar semnalul modulat este obtinut pe o rezistenta R, avem:

Avand in vedere valorile uzuale ale gradului de modulatie, rezulta ca randamentul modulatiei este redus.

1.2 Reprezentarea fazoriala a semnalului modulat

Cele trei componente din expresia semnalului modulat se reprezinta ca vectori rotitori de lungime Ap si, respectiv, mAp/ 2 . Ei au vitezele unghiulare ωp si, respectiv, ωp +ω 0 si ω p −ω 0 . Insumarea celor trei vectori se face plasand in varful vectorului aferent purtatoarei cele douǎ componente laterale de modulatie, care se rotesc cu vitezele +ω0 , si respectiv −ω0 , in raport cu vectorul purtatoarei (acesta se roteste cu viteza ωp ). Insumarea vectoriala a celor trei vectori conduce la un vector cu lungime periodic variabila (de perioada ω0 ), care se roteste in jurul referintei O cu viteza unghiulara ω p .

Fig. 4 Reprezentarea fazoriala a semnalului modulat

Consideram acum ca semnalul util x(t) din componenta semnalului modulator este periodic nesinusoidal. In acest caz, semnalul x(t) se poate reprezenta prin seria Fourier armonica, cu urmatoarea expresie:

Am presupus ca A₀ = 0 (intrucat componenta continua se aditioneaza separat). In acest caz, expresia semnalului modulat in amplitudine este:

unde m_i=A_i/A_p este gradul de modulatie aferent armonicii i. Se observa ca fiecare armonica realizeaza modulatia purtatorului cu un grad de modulatie mi proportional cu amplitudinea Ai a armonicii (mi~Ai). Deci gradele de modulatie sunt mai mari sau mai mici, dupa cum amplitudinile armonicilor sunt mai mari sau mai mici.

Relatia de mai sus se pune sub forma:

Spectrele semnalelor x(t) si x_MA(t) sunt reprezentate in figura 5

.

Fig. 5 Spectrul semnalelor x(t) si x_MA(t)

In spectrul semnalului x_MA(t) exista purtatoarea si doua benzi laterale.

Fiecare banda laterala are spectrul identic cu spectrul amplitudinilor semnalului de baza, numai ca scara este redusa cu coeficientul 1/ 2.

Consideram in continuare cazul general, cand semnalul modulator este oarecare, avand expresia :

x_MA(t)=Ap*[1+mφx(t)]*cos(ω_pt) ,unde si

Ne propunem determinarea unei reprezentari spectrale a semnalului modulat. In acest scop, se pleaca de la reprezentarea spectrala a semnalului de baza, x(t), care este functia spectrala X(ω). Aceasta furnizeaza densitatea de armonici, si nu armonicile.

Caracteristica spectrala a semnalului modulat in amplitudine se determina aplicand transformata Fourier in relatia de mai sus:

Inlocuind in relatiile de mai sus, rezulta:

Convolutia unei functii cu distributia δ este functia avand argumentul distributiei δ . Deci:

Fig. 6 Caracteristicile spectrale ale semnalelor x(t) , si x _MA(t)

In consecinta, relatia devine:

Caracteristicile spectrale ale semnalelor x(t) si x_MA(t) sunt date in figura 6. Aici se observa componentele caracteristicii spectrale ale semnalului modulat: purtatoarea (distributia π A_pδ (ω ±ω _p ) ) si cele doua benzi laterale.

Observatie:

Reprezentarea grafica a caracteristicii X(ω) este simbolica si nu are legatura cu densitatea de amplitudini reala a semnalului. Simbolizarea permite sa se discearna banda semnalului si frecventele maxima si minima ce definesc banda.

In concluzie, din cele prezentate rezulta ca modulatia examinata are doua dezavantaje:

. Banda ocupata de semnalul modulat este dubla fata de cea minim necesara. De exemplu, banda semnalului telefonic este cuprinsa intre 0.3 kHz si 3.4 kHz. Daca s-ar utiliza modulatia prezentata, largimea benzii semnalului modulat, in jurul frecventei purtatoare, ar fi de 6.8 kHz.

. In semnalul modulat se regaseste integral purtatoarea, rezultand unele neajunsuri de natura energetica (randament scazut) si de prelucrare a semnalului (posibilitatea saturarii amplificatoarelor, datorita nivelului ridicat al purtatoarei, in raport cu componentele laterale - utile).

In schimb, extragerea semnalului de baza din cel modulat se realizeaza foarte simplu, printr-o operatie de detectie/redresare.

2 Modulatia in amplitudine de tip produs

Modulatia de tip produs elimina cel de-al doilea dezavantaj din cele mentionate in sectiunea anterioara. Modelul matematic este detaliat mai jos.

Fig. 7 Modulator de tip produs

Fig. 8 Modulatia de tip produs a unui semnal ;Forma semnalului modulat

Fie x(t) semnalul modulator. Presupunem ca acesta moduleaza un purtator cosinusoidal cu amplitudinea Ap. Semnalul modulat este:

x_MA(t)=x(t)*cos(ω_pt)

Atunci cand semnalul modulator x(t) isi schimba semnul, in momentul t₀ , semnalul modulat in amplitudine cu modulatie de tip produs isi inverseaza faza.

2.1 Reprezentarea spectrala a semnalelor cu modulatie de tip produs

Se calculeaza transformata Fourier a semnalului xMA(t).

Din x_MA(t)=x(t)*cos(ω_pt) rezulta:

Fig. 9 Spectrul semnalului MA cu modulatie de tip produs

Caracteristica spectrala X_MA(ω) este ilustrata in figura de mai sus. Se observa absenta purtatoarei, insa ramane dezavantajul ca banda semnalului modulat este dubla fata de cea minima necesara.

3 Modulatia in amplitudine cu banda laterala unica (BLU)

In modulatia de tip produs, analizata in sectiunea anterioara, banda ocupata de semnalul modulat este dubla fata de cea minima necesara. Pentru a mari capacitatea de transmisie a unui canal fizic, este util sa se utilizeze o modulatie care furnizeaza o singura banda din cele 2 benzi rezultate in modulatia de tip produs: fie banda superioara (in raport cu pulsatia ωp ), fie banda inferioara. O asemenea modulatie se numeste cu banda laterala unica (BLU).

O solutie aparent simpla de obtinere a unui semnal MA-BLU consta in selectarea, cu ajutorul unui filtru trece-banda (FTB), a uneia din benzile laterale obtinute cu un modulator de tip produs. Aceasta solutie are un dezavantaj important in transmisiunile telefonice, unde banda semnalului de baza este in domeniul 0.3 − 3.4 kHz : ecartul intre limita inferioara a benzii laterale superioare si limita superioara a benzii laterale inferioare este foarte mic, de 0.3 + 0.3 = 0.6kHz , in jurul frecventei purtatoare fp . Rezulta ca FTB trebuie sa aiba o foarte buna selectivitate, astfel incat sa suprime banda inferioara fara a afecta zonele adiacente din banda laterala superioara.

Pentru evitarea utilizarii FTB de inalta selectivitate sunt elaborate doua solutii, care vor fi prezentate in cele ce urmeaza: metoda semnalului analitic (bazata pe transformata Hilbert) si metoda Weaver.

3.1 Modulatia BLU utilizand transformata Hilbert(metoda semnalului analitic)

In schema de principiu care ilustreaza aceasta metoda exista doua modulatoare de tip produs din figura 10. Primul moduleaza un semnal cosinusoidal, semnalul modulator fiind x(t). La cel de-al doilea modulator, intrarea este transformata Hilbert a lui x(t), purtatorul fiind sinusoidal.

Fig. 10 Modulatia BLU - metoda semnalului analytic

Caracteristica spectrala a semnalului la iesirea filtrului Hilbert este relatia , de unde rezulta:

In figura 11 sunt reprezentate schematic functiile spectrale X (ω ) si Se observa ca, pentru ω > 0 ,iar pentru ω < 0 .

Fig. 11 Caracteristicile spectrale ale semnalelor X (ω ) si

La iesirea primului modulator de tip produs se obtine semnalul x_MA(t)=x(t)*cos(ωpt) La iesirea celui de-al doilea modulator se obtine semnalul , pentru care vom determina caracteristica spectrala:

Utilizand expresia pentru F se obtine:

din care rezulta:

Aceasta functie spectrala, are doua componente: cea situata in jurul pulsatiei ωp , , obtinuta prin inversarea semnului si decalarea la dreapta a caracteristicii si cea situata in jurul pulsatiei −ωp , , obtinuta prin deplasarea spre stanga a caracteristicii spectrale Se observa ca, daca se scad functiile XMA(ω) si (la elementul de insumare, semnele sunt , + ' si respectiv , − '), se obtine XMA−BLU(ω ) , fiind suprimata banda laterala inferioara. Daca se aduna XMA(ω) si (elementul de insumare din schema, are semnul , + ' la ambele intrari), se obtine XMA−BLU(ω), cu banda superioara suprimata.

3.2 Modulatia BLU utilizand metoda Weaver

In modulatorul Weaver exista doua ramuri, fiecare ramura realizand cate doua modulatii consecutive. Prima ramura utilizeaza semnale purtatoare cosinusoidale, iar in a doua ramura semnalele purtatoare sunt sinusoidale.

Fig. 12 Modulatia BLU - metoda Weaver

Frecventa purtatoare la primele modulatii de tip produs din cele 2 ramuri este notata cu Ω si are o valoare mica, situata in zona mediana a benzii semnalului modulator. In figura 13 este ilustrata prelucrarea semnalelor in primul etaj al ramurii superioare. Se observa ca functia spectrala X₁cos(ω), de forma:

este deplasata simetric in jurul pulsatiilor Ω si −Ω . Cu ajutorul FTJ se suprima componentele spectrale avand si se obtine caracteristica spectrala a semnalului x_1c(t), adica X_1c(ω).

Fig.13 Obtinerea caracteristicii spectrale a semnalului x_1c (t)

Modelul frecvential al prelucrarii semnalelor in primul etaj al ramurii inferioare este prezentat in figura 14.

Fig. 14 Obtinerea caracteristicii spectrale a semnalului x2s (t)

Mai intai se determina caracteristica spectrala a semnalului x2sin(t)=x(t)*sin(Ωt) :

Din care rezultǎ:

Caracteristica spectrala jX_2sin(ω) se obtine prin simpla deplasare spre dreapta a caracteristicii X (ω) , in jurul pulsatiei +Ω , cat si prin inversarea semnului caracteristicii X (ω) si deplasarea ei spre stanga in jurul pulsatiei −Ω . Prin eliminarea componentelor spectrale de frecvente , cu ajutorul FTJ, se obtine caracteristica spectrala jX₂s(ω.

Fig. 15 Obtinerea caracteristicii spectrale a semnalului x MA-BLU ( t)

In cel de-al doilea etaj al ramurii superioare, semnalul x1c(t) este modulat cu purtatorul cosinusoidal cos(ωpt) , unde ω p este mult mai mare decat pulsatia maxima din spectrul semnalului modulator. La iesirea modulatorului se obtine semnalul x₁(t) , a carui caracteristica spectrala este:

Sau

In reprezentarea grafica, cele doua componente ale functiei X₁(ω) se obtin prin deplasarea simetrica, in jurul pulsatiilor ω p si −ω p a caracteristicii spectrale X_1c(ω) .

In ramura inferioara, semnalul x_2s(t) este modulat pe purtatorul sinusoidal sin(ωpt) . La iesirea modulatorului se obtine semnalul x₂(t)=x_2s(t)*sin(ω_pt) , a carui caracteristica spectrala este:

Caracteristica X₂(ω), se obtine pe baza functiei jX_2s(ω prin inversarea semnului acestei functii si deplasarea ei in jurul pulsatiei ω p , precum si prin simpla deplasare a ei spre stanga, in jurul pulsatiei −ω _p .

Daca in elementul de insumare , ambele intrari au semnul , + ' ( x_MA-BLU (t) =x₁(t) +x₂(t) ), atunci X_MA-BLU(ω)=X₁(ω)+ X₂(ω) si semnalul modulat de la iesirea modulatorului contine banda laterala superioara. Daca semnalele x₁(t) si x₂(t) se scad, semnalul modulat va contine banda laterala.

3.3 Principiul multiplexarii in frecventa

Multiplexarea semnalelor presupune transmiterea mai multor semnale pe acelasi canal fizic, fara ca semnalele sa interfereze. Multiplexarea in frecventa se realizeaza prin modularea semnalelor respective.Frecventele purtatoare utilizate la modulatoare, distincte la fiecare modulator, se aleg in asa fel incat densitatile spectrale ale semnalelor modulate sa nu se suprapuna si - in plus - sa aiba intre ele un ecart in frecventa suficient pentru a selecta (separa) fiecare canal prin intermediul filtrelor.

Principiul multiplexarii in frecventa este ilustrat in figura 16. Aici s-au considerat 3 semnale diferite, x^A(t) , x^B(t) si x^C(t) , ale caror caracteristici spectrale, schematizate in figura 16, sunt X ^A(ω), X ^B(ω) si X ^C(ω).

Cele 3 semnale se aplica modulatoarelor de tip produs, care lucreaza cu semnale purtatoare avand pulsatiile ω _p1 , respectiv ω _p2 si ω _p3 . Asa cum se remarca din figura, prin alegerea frecventelor purtatoare, caracteristicile spectrale ale semnalelor modulate, X ^A(ω), X ^B(ω) si X ^C(ω) ocupa zone distincte pe axa frecventelor, fiind transmise pe canalul fizic. La receptie, presupunand ca a fost compensata atenuarea canalului, se utilizeaza filter trece-banda (FTB) care selecteaza/separa canalele: la iesirea FTB^A se obtine X ^A(ω), iar FTB^B si FTB^C vor furniza X ^B (ω ) , respectiv X ^C (ω ) . Utilizand demodulatoare de tip produs, formate dintr-un circuit de inmultire si un FTJ , se obtin in final semnalele

Fig. 16 Principiul multiplexarii in frecventa

In schema data in figura 16 s-a utilizat modulatia de tip produs, in care un semnal modulat ocupa o banda dubla fata de cea minim necesara. Astfel, in cazul unui semnal telefonic, unde banda este limitata in domeniul 0.3 − 3.4 kHz , banda semnalului modulat este de 2× 3.4 = 6.8 kHz , iar frecventele purtatoare adiacente trebuie sa fie "distantate" la 8 kHz , pentru a se asigura si ecartul necesar separarii cailor prin FTB. Daca insa se utilizeaza MA-BLU, atunci banda semnalului se reduce la jumatate, frecventele purtatoare adiacente sunt decalate cu 4 kHz, iar numarul de semnale multiplexate in frecventa, transmise pe canalul fizic, se dubleaza .

Fig.17 Multiplexarea in frecventa utilizand MA-BLU