CODAREA MILLER, O METODA DE FILTRARE A DATELOR

Universitatea Politehnica din Bucuresti

Rezumat Lucrarea de fata este reluarea unei comunicari [5] si va fi urmata de o a doua parte. Se abordeaza codarea prin intarziere, cunoscuta si drept codare Miller. Se explica banda extrem de ingusta semnalului. Se observa similitudinea acestei modulatii cu o PSK cuaternara. Se expun noi metode de generare a semnalului Miller. Graficele obtinute confirma alura spectrelor de putere PSD obtinute fie analitic fie prin generare directa urmata de calcularea FFT. Modelul 4PSK este apoi modificat intr-o S-QAM (Staggered QAM). Purtatoarele in cuadratura au frecventa egala cu jumatate din rata de semnalizare SR=v_s =1/T.

Fluxurile de date se obtin din fluxul de date ,,absolute". Un flux este cel al datelor diferentiale. Bitii de 1 sunt contorizati modulo-4 si constituie al doilea flux. Di-bitii respectivi (in cod BCD) sunt convertiti in cod Gray (GC). Rezulta perechi de multibiti, numite aici ''de tip Hilbert''. Banda ocupata scade la jumatate.

Cuvinte cheie: codare Miller, faza continua, S-QAM, date divizate, cod Gray, perechi Hilbert.

Abstract This paper presents some remarks on delay coding (DC). Based on a deterministic approach, we explain the very narrow band of the Miller coded signal (MCS or DCS). Starting from the similarity between DC and 4-PSK, we expose some methods for generating DCS. Simulation results confirm the theoretical power spectrum densities. We then simplify the 4-PSK model to a S-QAM, with quadrature carriers at frequency half of the signalisation speed. Data streams at rate D=vs are obtained from the 'absolute' data (NRZ-L original data bitstream). To this end, the marks are counted modulo-4 and the corresponding di-bits are converted in Gray code and then gathered in Hilbert-type pairs. The bandwidth is halved at each step of this algorithm.

Key words: Miller code, continuous phase modulation (CPM), T-coded data, Gray code, Hilbert pairs

I- Consideratii generale. Introducere.

Transmisiunile de date in bucla de abonat (CSA=Carrier Serving Area) s-au extins in ultimul deceniu prin servicii ca ISDN, HDSL (High bit rate Digital Subscriber Line) sau ADSL (Asimetric Digital Subscriber Line). Transmisia se face in banda de baza, pe circuite fizice metalice, de cupru. Coduri de linie ca 2B1Q (doua elemente binare-unul cuaternar) sau AMI (Alternated Mark Inversion) s-au diversificat si s-au perfectionat. Codurile cu intoarcere la zero (RZ, Return to Zero) sau cele bifazice (Manchester), si-au restrins aria de utilizare din cauza protectiei scazute la zgomote sau respectiv a benzii excesive ocupata. Primul mai exista ca o varianta de AMI (bipolar) iar secundul prospera in LAN-uri (Local Area Networks). Codul AMI este ternar pentru a permite o sincronizare facila. Codul bifazic (BP), cu variantele absoluta (ABP) si diferentiala (DBP), este binar si deci mai bine protejat la zgomote dar banda ocupata este dubla fata de cea teoretic minima.

Un loc particular in setul de coduri disponibile ocupa codul Miller (MC) sau codarea prin intarziere (DC, sau Delay Modulation DM) care are avantajul unei benzi comparabile cu a unui semnal in b.b. tip NRZ sau a codului AMI dar, in plus fata de primul nu poseda componente de frecventa joasa (de ''curent continuu'') iar fata de al doilea are o protectie la zgomote mai buna. Dezavantajele codului de linie Miller rezulta din cele ale modulatiei de faza, cu care este strans inrudit. Este vorba de ambiguitatea de faza a frecventei purtatoare. În plus, apare aceeasi nedeterminare si pentru sincronizarea de bit, cu urmari inca si mai grave. Codarea Miller are insa proprietati latente care o fac apta de perfectionare. În continuare se vor arata cateva cai de abordare care conduc la sporirea performantelor. Denumirea acestei lucrari este data de faptul ca prin faptul insusi al codarii rezulta o reducere substantiala de banda. Operatia este asemanatoare unei filtrari. Este ceea ce se numeste ''formare spectrala prin codare­­'' (spectral shaping via coding).

În fig.1 sunt date cateva reprezentari electrice ale datelor din banda de baza (b.b.):

a) Date OOK ; b) Codare AMI sau Bipolara: c) Date codate diferential (DCD); d) Tact de bit (bit timing, notat si Exb); e) Semnal Bifazic diferential; f) Codare (semnal) Miller (MCS), sau codare prin intarziere (delay) (DCS); g, h) Frecventele purtatoare in cuadratura.

În prima instanta se poate considera ca semnalul DC poate fi construit prin divizarea cu 2 a codului bifazic, adica prin suprimarea tranzitiilor de o anumita polaritate (negativa in desen).

Daca privim semnalele periodice P si Q de frecvente v_S/2 (perioada 2T ) ca pe niste frecvente purtatoare in cuadratura, se constata ca semnalul Miller ar putea fi privit un semnal modulat in faza cu patru faze (4PSK). Datele initiale OOK notate b_k vor fi numite date codate absolut (ACD). DMS este insa un semnal PSK diferential (DPSK). si de aceea datele b_k se codeaza diferential, rezultand sirul a_k (DCD). Sirul b_k produce salturi de -90 ale purtatoarei P pentru b=1 si pastreaza faza daca b_k=0. Datele ase vadesc a corespunde la 0 pentru a=0 si la -90 pentru a=1.

Fig.1. Reprezentarea electrica a datelor

a) On-Off Keying; corespund la datele b_k codate absolut ACD venite de la terminalul de date DTE

b) Codul AMI , cu 0 electric pentru 0 logic si cu alternarea 1-rilor pentru 1 logic;e numit si bipolar

c) Date Codate Diferential, cu schimbare de stare pentru 1 si pastrara starii pentru 0 logic

d) Ceas sau ritm de bit Emisie (bit timing); constitue purtatorul pentru DBP code

e) Cod Manchester, practic este o PSK binara cu ceasul folosit drept purtatoare

f) Codare de intarziere: un front apare la semi-interval pentru 1 in datele diferentiale

g) Purtatoarea ,,in faza" reda fazele de 0⁰/180

h) Purtatoarea ,, in cuadratura" pentru fazele -90

În figura 2 se arata realizarea codarii diferentiale a datelor, modulatia bifazica diferentiala (DBPM) a ceasului de bit si codarea Miller prin metoda clasica, adica divizarea cu 2. Între ACD si DCD exista relatia de recurenta vizibila:

ba= a (1)

Fig.2 Codorul Miller 'clasic': ACD trec in DCD si moduleaza diferential semnalul de ceas; rezulta semnalul DBP care este numarat modulo-2 secvential, adica divizat cu 2. DMS este semnalul modulat prin intarziere

În fig.3 sint aduse patru simboluri electrice extrase din fig.1.f, simboluri care ar constitui semnalul Miller. Ele sint parti din purtatoarele P(t) si Q(t) din fig.1. g, h, cu fazele +/-90⁰, +/-180⁰.

Fig. 3 Simbolurile electrice ale DC: s₁ si s₄ reprezinta 0 iar s₂, s₃ au fazele 90

Divizorul Miller impreuna cu precodorul diferential din fig.2 constituie o memorie de doi biti a unui automat cu patru stari, generate conform diagramei de stari din fig. 4a. Bitul de date a_k comanda trecerile in doua stari. Diagrama de tranzitii din fig.4.b este de un interes aparte. Ea este in fapt o diagrama trellis. Asupra ei se va reveni. Aici se vede spre exemplu ca traseele cu linie dubla converg din starea 1 in starea 4 sau tot in 1. Pe figura sunt notate distantele intre bratele divergente. Între bratele convergente distanta este 0. Între simbolurile s(t) considerate ca fazori cu 0/180° si 90/270° distantele euclidiene sunt: d² (s-s₃)= d² (s-s )=2²= 4; d² (s- s )= d² (s- s )= d² (s - s)=2. Drumurile divergente converg dupa 2 sau 3 pasi. Avem de exemplu (1-2-4) si (1,3,4) cu d²=2, iar (1-2-3-1) si (1,3,4,1) cu d²=4, dar (2-3-1) si (2-4-1) au d²=2. Distanta minima este cea a unei PSK necodata cu 4 niveluri de faza.

Fig. 4a - Starile sursei Miller: a_k=1 produce s₂/s₄ iar a_k=0 genereaza s₃ / s₁.

Fig. 4b - Diagrama de tranzitii a codorului; in starile 1,2,3,4 sursa genereaza simbolurile s si trece in starile 2/3, 3/4, 4/1, 1/2.

DSP a unei secvente aleatoare de date codata Miller (DCS)

Revenind la diagrama din fig. 4a, exista cate doua tranzitii permise cu probabilitatea p=1/2 fiecare si doua interzise, cu p=0. Pentru momentul kT se defineste probabilitatea de stare p_i (i=1,2,3,4) de a fi in starea s_i si de a genera simbolul s_i (t); (p_i)_k este vectorul-coloana al probabilitatilor de stare la etapa kT. Între (p)_k si (p)_k*1 exista relatiile:

(p)=P*(p)=P*(p); P= (2)

P este matrcea probabilitatilor de tranzitie intre doua stari succesive. Notam:

P= (3)

Sa luam un semnal s(t) aleatoriu pe care il trunchem apoi in s_2NT (t) de lungime (2N+1)T.

(4)

(5)

Notam n-k=p si evaluam pentru k=0, p=1. Efectuam deci toate sumele posibile.

Observam ca . Evident, probabilitatea succesiunii s₁, s₂ este p₁₂.

Facand suma tuturor produselor rezulta relatia:

(6)

La fel: = (S) (P) () etc. Mai departe:

(7)

(8)

În final: cu (9)

În fig. 5a se reprezinta graficele care sunt PSD ale semnalelor in cod NRZ, BP, DCM si AMI. Se remarca ingustimea spectrului DCM. Banda la 0,15 este de 2,5·vadica B=. Eficienta: adica 4 simboluri/s×Hz.

Limita Nyquist este Fiind un semnal modulat, ne asteptam la din cauza celor doua benzi laterale. Remarcabila este existenta unui maxim ascutit, deplasat de la frecventa purtatoare v_S/2 la frecventa virtuala f_v=3/8·v_S. Explicatia fizica lipseste.

Fig. 5a - Spectrul codurilor : NRZ , bifazic , Miller si AMI (bipolar, ). Spectrul Miller a fost comprimat pe verticala de 5 ori pentru a fi comparabil cu celelalte.

Demodularea datelor codate prin intarziere (DCD)

Metoda standard de demodulare este sumarea modulo-2 a valorilor decise pe 2 subintervale succesive ale unui interval elementar. Se obtin date decodate diferential absolute. Daca (vezi fig. 6b) faza pe acel interval este 0 atunci prima suma (vezi fig. 6a) va fi 0 si se evalueaza pe al doilea subinterval. Rezulta a=0.

Fig. 5 b - Spectrul de putere al DCM obtinut prin simulare la un debit de 9600 b/s=v_s.

S-au folosit date pseudoaleatoare de la un scrambler cu polinom generator de grad 7.

Fig. 6 Detectorul Miller standard. Fig.6a - Detectorul functioneaza in doua etape: masurarea fazelor absolute si a diferentelor intre biti. Mimod este un semnal intermediar. Fig. 6b -Diagrama de semnal a detectorului Miller. bsi sunt la emisie, DCS este in receptor Mimod e un semnal intermediar care trebuie sondat pe subintervalul II. Registrele functioneaza cu tact de receptie avand frecventa dubla, 2R_xb si apoi simpla, 1R_xb.

Daca faza este 90 , ea se schimba in interiorul lui T si suma va fi 1 (v. fig..6b, semnalul Mimod ; x x arata ca nu intereseaza ce este acolo). Avem a=1. Prin deplasarea valorilor a,

a, in registrul T si prin sumare obtinem b.

Un dezavantaj al metodei este ca necesita un ceas de frecventa dubla, f_clock=2v_s care se obtine cu o bucla de sincronizare PLL ghidata de fronturile semnalului DC. Prin divizare insa se poate obtine si un ceas inversat, care sondeaza in punctele xx, pe primul subinterval. Datele decise sint aici eronate si restabilirea e dificila. Aceasta este ambiguitatea de faza la care ne-am referit anterior. Generarea prin alte metode va conduce la alte procedee de demodulare.

I.Generarea semnalului DC ca un semnal 4PSK.

I.1 - Generarea DCS ca un 4 PSK asimetric, folosind un acumulator si un APSK

DCS este asimilabil unui semnal PSK cuaternar in care se introduc biti in un flux unic, fara insa a-i grupa in dibiti. Rezulta numai salturi de -90 , nu si de -180 sau -270 . Schema din fig. 7a contine un acumulator de 2 biti cu o intrare nefolosita. Acumulatorul produce dibiti codati diferential. Memoria de 2 biti si redundanta rezultata permit construirea unei diagrame trellis asemanatoare celei din fig. 4b dar mai sistematica. Constelatia 7b permite evaluarea distantelor euclidiene din constelatia de baza proprie, adica si 2.

Fig. 7 Generarea semnalului DC ca o 4PSK asimetrica. 7a - Modulator DPSK cu purtatori rectangulari.

Acc evolueaza in ordinea 3,2,1,0,3,2,.Starile sunt insa notate 4,3,2,1; 7b - Constelatie dextro-gira: distantele intre puncte sunt sqrt(2) sau 2. 7c - Diagrama trelis a sursei de semnal 4PSK

Distantele minime apar intre trasee care pornesc din orice stare si care converg imediat in starea vecina de mai sus (0 -90 , etc). Ele nu obtin protectie suplimentara la zgomote. În sens invers (0 270 ) converg dupa 4 etape si au distanta 6. Drumurile care diverg si converg in aceeasi stare (cu linie dubla in fig. 7c) au distanta 8. Traseele care converg dupa 3 etape, in stare mai mica cu 2 (3-1, 2-0, 1-3), au distanta 4. Diagrama Miller nu asigura insa protectie de codare pentru ¼ dintre traiectorii; rata erorii nu poate scadea decat pana la ¼ .

I 2 Continuitatea de faza a semnalului DC

În fig. 8a este trasat semnalul DC modulat cu b_k=1 1 1 1 1 1 (dupa o filtrare simpla) in 2 situatii: a) Cea concreta, cu purtatori rectangulari b) Una ipotetica, avand purtatori sinusoidali. În cazul b se vede discontinuitatea de 90 . Purtatorul ar trebui sa aiba intarzierea constanta T/2 pentru a fi continuu. Acest fapt ar fi echivalent cu o scadere liniara a fazei pe durata T/2 (fig. 8b). Astfel(t) este continua. Întarzierea de grup e constanta, egala cu T/2. De aici si numele modulatiei asociata codului Miller. Cresterea permanenta cu -90 face sa apara o deplasare de frecventa a purtatoarei de la f_c=4800 Hz la f_inf =2400 Hz. Centrarea spectrului pentru date aleatoare pe o purtatoare virtuala f_v de 3600 Hz corespunde la o precesie de faza, in medie de 45 / T; ea este realizata e.g. si de secventa periodica 0 , ca in desen. Faza constanta de 0 conserva purtatoarea de 4800 Hz (aici situata pe axa timpului). DC nu este un PSK, el este un Phase Modulated Signal, cu faza Continua, un CPM in fapt. Acest fapt contribuie substantial la reducerea benzii. Semnalul DM nu prezinta dupa filtrare modulatia de amplitudine parazita, specifica FSK si PSK.

Fig.8 a- DCS pentru. b=111111 ; purtatoarea sinusoidala are salt de 90⁰; b - faza semnalului este liniara sau stationara, nu prezinta salturi. Faza liniara medie q(t) centreaza spectrul de pe f_c =4800Hz pe purtatoarea f_v virtuala de 3600 Hz. În jurul ei faza variaza aleatoriu cu +/-45⁰.

I3 - Generarea DCS ca o 4PSK realizata in doua etape

Succesiunea fazelor F_k = n_k×p/2 generate de datele b_k este scrisa in tab.1, impreuna cu DCD, a_k si cu datele divizate d_k de la divizorul din fig.9. D₁ realizeaza precodarea diferentiala (vezi fig.2). D₃ si S₁ produc purtatoarea Q cu -90⁰ daca a_k=1. Daca a_k=0 se livreaza P(t). Multiplicatorul binar I comanda S₁ care este o poarta SI. D₁ si D₂ constituie acumulatorul din fig.7a. Faza este construita aici succesiv, din 90⁰ si 180⁰.

Tabelul 1 - Valorile marimilor din Fig.9

Fig.9 - Generarea codului Miller ca o PSK prin doua sumari succesive in S₁ si S₂. P(t) cu 0⁰ este modulata de a_k cu 0⁰ si 90⁰ prin introducerea frecventei 2fc. Apoi S₂ roteste cu 180⁰ sub comanda lui d_k.

Sectiunea II - Abordarea DCM ca o modulatie QAM cu VSB

II.1 - Tratarea DM ca o QAM cu purtatoare ternara (QAM-TC)

DCS poate fi construit prin modularea a doua purtatoare binare P si Q. Prin sumare rezulta insa un semnal ternar. Este nevoie ca ele sa fie ternare pentru a se obtine un semnal binar.

În fig. 10a constelatia 4QAM este rotita cu fata de P si Q. În fig.10b avem purtatoarele noi P (t) si K (t), ternare. Din suma si diferenta lor se obtin intr-adevar P sau Q binare.

Sinteza sirurilor de biti Gsi G din tabelul 2 a fost obtinuta pe baza constelatiei 10a si a etapelor kT ale modulatiei. Fazele lp/2 cu l=0,1,2,.. scrise in BCD au furnizat bitii NN.

Fig.10 - a - Constelatia de semnal si purtatoarele rotite. 0, 1, 2,,19 arata intervalele kT pe care fazorii se emit conform tab.2. b-Purtatoarele ternare ale QAM. Semnalele DC cu fazele 180 si -270 se obtin prin inversarea lui P si Q. c-Modelul fizic

Scriind GG ca fiind coordonatele proiectiilor fazorilor de semnal pe axe se constata corespondenta cu un cod binar-reflectat sau Gray (GC). A rezultat schema QAM din fig. 10c.

Tabelul 2 - Parametrii interpretarii DC(DM) ca o QAM - VSB: ACD= Absolute coded Data; DCD -Differentialy Coded Data; DD=Divided Data; NN=BCD numbers; G2G1=Gray coded numbers; Fk=Transmitted Phases; SSB=Single SideBand; NDSB=Narrowband Double Sideband; VSB=Vestigial Sideband; Aproximately equal, with a single erratical bit

Pentru a emite fazele din tab.2 conform b_k arbitrari, e nevoie ca proiectiile fazorilor =lp/2 pe axele P (t)si k t) sa ia valorile notate pe constelatie, apoi Gsi G in tabel sa ia acele valori. Se constata ca ei reprezinta codul Gray asociat dibitilor notati apoi NN.

II2 - Consecinte extrase prin examinarea tabelului 2

a) În nici un sir Gsau Gnu apar biti izolati, fie 1 sau 0. Rata de semnalizare nu mai e 1/T ci 1/2T, e.g. nu 9600 Bds ci 4800 Bds. Prin acest mecanism banda ocupata scade la jumatate.

b). Esential este ca pe cele doua siruri apar simultan grupuri de cate 4 biti (total 8) corelati, intr-o configuratie numita aici pereche de tip Hilbert deoarece cele doua functii au in domeniul timp proprietatea transformatelor Hilbert din domeniul frecventa. Cele doua spectre,

unul real altul imaginar, translatate pe o purtatoare tip cosinus (para) si respectiv sinus

(impara) conduc la 2 spectre reale, care se aduna algebric. Rezulta spectre de tip SSB sau VSB. Prin eliminarea benzii laterale superioare banda ocupata scade iarasi la jumatate. În consecinta, o 4QAM binara pe ramuri cu v_s=9600 Bds, care ar fi ocupat 19200 Hz, se reduce de 8 ori ajungand la 2400 Hz in esenta, intre 2400 Hz la 4800 Hz. Aceasta se obtine fara nici o filtrare. Filtrarea se obtine prin codare. În Fig. 11 a, b, c se reprezinta modele tipice de

simboluri NRZ conform tabelului 2.

Fig. 11a Impuls dublu, reprezentare timp/frecventa Fig. 11b,c Pereche Hilbert completa. Perechea s_p t S_p w) si s_q t S_q w) conduc la un spectru VSB; perechea S_p1 (S_q (produce un spectru SSB.

Prin simulare in Matlab sau obtinut graficele PSD de tip SSB si VSB in fig.12a,12b.

Fig. 12 a Spectrul VSB este aici de energie si apare centrat pe f=0 in loc de f_c=4800 Hz. El rezulta din spectrul S_p(w) real, par, al lui s_p si din spectrul imaginar S_q(w) al lui s_q din figura, prin inmultire cu o purtatoare para si alta respectiv impara.

Fig.12b Spectrul BLU (SSB) de energie rezulta din Sp1(w) si din Sq(w). Banda este incredibil de ingusta. Componentele de frecvente foarte

joase sunt infime. Spectrul par este fara componente de c.c..

Perechile tip Hilbert apar si inversate pe ramuri. Spectrul translatat va fi pur imaginar dar PSD este identica. Alte modele cu biti izolati dau si o componenta spectrala de banda mai larga, dar de putere mica.Totusi acei biti sunt niste eratici falsi, deoarece in octetii vecini ei se alipesc la biti identici si deci conduc la o banda mai ingusta.

Formulele de calcul pentru S() sunt:

(10)

; (11)

(12)

II.3 Consecinte suplimentare ale interpretarii DCS cu un VSB-QAM

Atat din formulele 9,10,11,12 cat si din graficele 5a ,5b, 12 a,b si 11a,b,c rezulta ca maximele spectrale se realizeaza la v_s/4 (2400Hz) pentru SSB si la 3/8 v_s (3600 Hz) pentru VSB, care constitue cazul general. Centrarea pronuntata sugereaza existenta unei frecvente purtatoare ,,ascunse" pe care o vom numi virtuala f_v=3/8 v_s. Urmatoarele observatii justifica aceasta asertiune (vezi fig. 7 b):

a) Modularea se realizeaza prin deplasarea intr-o singura directie, este asimetrica. Am spune ca este de tip OOK, dar in plus:

b) Parametrul fiind o faza, el creste fara incetare aleatoriu, modulo-patru

c) ,,Centrul de greutate" al traseului temporal al fazei corespunde in medie statistica unei modulatii sistematice prin scadere cu pe fiecare T.

d) Componenta lineara a acestei functii se traduce intr-un decalaj de frecventa. Fenomenul va fi numit ,,precesie de faza" [6] si este ,,ascuns " la fel si in modulatii cum ar fi SSB-AM [6], care este in fapt o S-QAM cu interferenta controlata.

În DM signal driftul de frecventa este: iar f=1/8*v_s =1200 Hz. Cum f_c =v_S/2_, f_v=f_c-=3/8*v_s=3600 Hz.

În fig. 7b avem figurata dreapta in jurul careia fluctueaza faza in trepte .a fost figurata ca provenind din salturi de 90º la fiecare 2T. Pentru la fiecare T, decalajul de frecventa este 2400 Hz =v_s/4 si se obtine pentru b_k=1 k.

e) În raport cu purtatoarea virtuala f_v faza variaza liniar in dinte de fierastrau cu . Frecventa instantanee in raport cu f_v este o functie rectangulara.

Rezulta ca DMS eate un semnal FSK, cu f=v_s/8=1200 Hz iar frecventele caracteristice sunt v_s/4 si v_s/2=f_c. Indicele de modulatie este 2f/V_s==1/4 ceea ce justifica bine anvelopa cvasi-constanta a DMS.

Bibliography

[1] Alexandru, N.D., Dae Young: Spectral Shaping via Coding , Ed. Cermi, Iasi 2003

[2] Alexandru N.D., Morgenstern: Digital Line Codes and Spectral Shaping Ed. Matrix, Buc. 1998

[3] Bennett, W.R>, Davey, J.: Data Transmission, Ed. Mc-Graw Hill Book Co. 1965

[4] Stein, M.: Les modems pour transmissions de donnees, Ed. Masson, Paris, 1987

[5] Popescu, S. Delay coding - a new perspective, IEEE International Conference, Communications 2004, TMA, June 3-5, vol.2 pp. 115-122

[6] Popescu, S: 'Phase-Precession Modulation, a New Approach for SSB-AM' - IV International Conference on Reliability of Semiconductor Devices and Sistems RSDS'96 Chisinau, June 5-7, 1996, pp. 182-187

[7] Popescu: "Modulatia cu precesie de faza, o abordare noua a modulatiei de amplitudine cu BLU" - Telecomunicatii nr. 3/1997, pp.