DETERMINAREA SERIILOR FOURIER PENTRU SEMNALELE PERIODICE OARECARE

1.1Scopul lucrarii:

In lucrare se face o prezentare succinta a seriilor Fourier folosite pentru analiza semnalelor dupa care se trece la determinarea sI reprezentarea seriilor Fourier pentru diverse semnale folosind programul MATLAB.

1.2.Generalitati:

Semnalul periodic oarecare rezulta prin repetarea la intervale de timp egale cu perioada T a unui semnal de o forma oarecare si durata finita.

Semnalele din aceasta categorie pot fi simplu descompuse in semnale elementare armonice ,ele putandu-se reprezenta prin serii Fourier.Pentru a putea fi dezvoltat in serie Fourier,un semnal periodic oarecare s(t) trebuie sa satisfaca conditiile lui Dirichlet:

a)     
Functia s(t) sa fie finita sau sa aiba infinitati integrabile,astfel incat:

b)      Functia s(t) sa aiba un numar finit de discontinuitati in cadrul unei perioade,astfel incat pe orice subinterval din intervalul (t,t+T) sa fie monotona;

c)      Functia s(t) sa aibe un numar finit de maxime si minime in cadrul unei perioade.

Dezvoltarea in serie Fourier se poate face in mai multe forme.

O prima forma a seriei este cea trigonometrica, definita prin formula:

(1.2)

unde:

relatiile de determinare a coeficientilor si sunt urmatoarele:

(1.3)

(1.4)

(1.5)

Coeficientul defineste componenta continua a semnalului , iar coeficientul

,componentele pare, si coeficientii , pe cele impare.La o functie fara componenta continua coeficientul este nul; la o functie impara ,coeficientii sunt nuli , si la o functie para coeficientii sunt nuli.

O alta forma a seriei Fourier este cea armonica , conform careia:

(1.6)

Parametrii si ai formei armonice sunt legati de coeficientii formei trigonometrice prin relatiile :

(1.7)

(1.8)

(1.9)

Forma armonica a seriei Fourier permite efectuarea analizei armonice a semnalului , ea punind in evidenta amplitudinile si fazele armonicelor acestuia . Frecventa componentei fundamentale este , iar frecventele celorlalte armonici suntmultipli ai acesteia, respectiv , unde n este ordinul armonicii analizata .

Forma complexa a seriei Fourier este descrisa de formula:

(1.10)

amplitudinile complexe din relatia de mai sus sunt date de urmatoarea formula:

(1.11)

din relatia (1.11)se observa legatura dintre coeficientii seriei Fourier complexa si cei ai celorlalte doua tipuri de serii Fourier .

Daca in aceasta relatie se inlocuiesc functiile trigonometrice ""si "" in functie de valorile coeficientilor seriei Fourier , se obtine:

(1.12)

Relatia:

(1.13)

se mai cunoaste si sub denumirea de transformare Fourier discreta a lui s(t) , fiind transformata Fourier discreta a lui s(t).Forma complexa a seriei Fourier a semnalului s(t) se mai numeste si transformata Fourier inversa a lui

1.3.Mersul lucrarii:

Folosind MATLAB se vor determina si reprezenta seriile Fourier pentru diverse semnale. Mai intai se va defini un vector index discret k pe 20 de puncte pentru coeficientii a_k sub forma :

> k=[0:10 -9:-1];

Am folosit aceasta reprezentare neobisnuita pentru definirea lui k (in loc de [-9:10]) cu scopul de a face calculele compatibile cu comenzile fft si ifft din MATLAB. Definim de asemenea un vector de timp, tot pe 20 de puncte pentru 0 £ t < 1, dat de

> T=0.05; t = [0:T:0.95];

Acum putem calcula si reprezenta seriile Fourier in cazul unui semnal sinusoidal scris sub forma complexa in felul urmator:

> x0=exp(j*2*pi*t);

> X0=fft(x0)/20;

> stem(k,X0,'b')    %sau plot(k,X0,'o');

Repetati pasii pentru semnalul complex conjugat exp(-j*2*pi*t)

>

Aceste rezultate demonstreaza ca in comanda fft, vectorul de intrare x0 este considerat ca o perioada a semnalului periodic. De asemenea comanda fft trebuie corelata cu numarul de puncte (20) ale vectorului semnal pentru a obtine valori corecte ale amplitudinii.

Calculati si reprezentati in continuare, seriile Fourier pentru urmatoarele sinusoide reale:

> x1=cos(2*pi*t);

> x2=sin(2*pi*t);

>

Pentru semnalul x2 (sau pentru oricare alt semnal care nu este par), trebuie sa se reprezinte atat partea reala cat si partea complexa a coeficientilor Fourier, in felul urmator:

> subplot(2,1,1), stem (k,real(X2),'b')

> subplot(2,1,2), stem (k,imag(X2),'b')

sau o alta varianta ar fi

> clg; plot(k,real(X2),'ro',k,imag(X2),'bx')

Determinati si reprezentati coeficientii Fourier in cazul sinusoidelor avand faze diferite, cum ar fi:

> x3=sin(2*pi*t + pi/4);

> x4=sin(2*pi*t - pi/6);

>

Apoi, efectuati aceasi operatie pentru semnalele patratice:

> x1pat = x1.^2;

> x2pat = x2.^2

>

Faceti acelasi lucru pentru semnalele:

> x1cu = x1.^3;

> x2cu = x2.^3;

>

Cum sunt aceste semnale: pare sau impare? Coeficientii sai sunt reali sau imaginari? In final repetati operatiile pentru semnalele

> x2ha = max(x2,zeros(size(x2)));

> x2fu = abs(x2);

Aceste semnale au un numar finit de coeficienti Fourier diferiti de zero? (Daca nu fft nu ne poate da decat valori aproximative ale valorilor coeficientilor). Care sunt perioadele si frecventele fundamentale ale acestor semnale?

Nota: O reprezentare pentru seriile Fourier este disponibila si in MATLAB. Pentru vizualizarea acesteia deschideti MATLAB-ul si introduceti comanda xfourier.