ELECTROMAGNETISM

1. ELECTROSTATICA

1.1. INTENSITATEA CAMPULUI ELECTRIC.

POTENTIALUL ELECTRIC

Campul electric poate fi definit ca "forma de existanta a materiei prin care se transmit din aproape in aproape, cu viteza finita, interactiunile electrice". In plus, deoarece forta electrostatica este proportionala cu sarcina, functia E numita intensitatea campului electric, poate fi definita prin forta ce actioneaza asupra unitatii de sarcina. Astfel intensitatea campului electric creat de sarcina q aflata la distanta r de sarcina punctiforma q' este:

;

iar vectorial

.

Directia lui este radiala pornind de la q cu sensul catre exterior si catre interior daca q este negativ.

Campul electric din jurul unei sarcini electrice poate fi descris nu numai cu ajutorul vectorului intensitatii campului electric , ci si cu ajutorul unei marimi scalare numita potentialul electric V. In plus aceste marimi, intensitatea campului electric si potentialul electric V sunt strans legate (reamintim relatia pe care o vom folosi mai tarziu!).

Prelucrand informatiile de la campul de forte din mecanica, rezulta ca campul electric coulombian deriva dintr-un potential, aceasta fiind de fapt semnificatia fizica a relatiei:

.

In acest caz diferenta de potential dintre doua puncte M₁ si M₂ din camp, este o marime numeric egala cu lucrul mecanic efectuat de catre forta electrica care actioneaza asupra unui mic corp incarcat cu unitatea de cantitate de electricitate pozitiva cand acest corp se deplaseaza intre cele doua puncte. Daca U este diferenta de potential dintre cele doua puncte, lucrul mecanic efectuat de fortele electrice care actioneaza asupra unui corp cu sarcina electrica q este:

.

Diferenta de potential dintre doua puncte se mai numeste, uneori, tensiune electrica intre acele puncte.

O proprietate caracteristica campurilor potentiale, este aceea ca circu-latia vectorului camp electric intre doua puncte oarecare nu depinde de drum, adica

integrala fiind calculata de-a lungul unei curbe inchise C. Conform teoremei lui Stokes, insa,

A fiind aria suprafetei marginita de curba C. Relatia (5.) este echivalenta cu

ceea ce exprima o proprietate a campului electric de surse sau coulombian si anume ca "acest camp electric deriva dintr-un potential".

Concluzie. Rezulta ca un camp electrostatic este un camp potential, caracterizat printr-o functie scalara V(x,y,z) determinata in fiecare punct al campului si denumita potential electrostatic. Potentialul electrostatic are urmatoarea semnificatie fizica: este energia potentiala pe care ar avea-o sarcina unitate daca am aduce-o intr-un punct dat din spatiu, dintr-un punct de referinta.

Relatia (7.) se mai poate exprima si sub una din urmatoarele forme

sau

unde , reamintim, sunt vectori unitate de-a lungul a trei axe rectangulare. In plus semnul minus din relatiile (8.) arata ca sensul cam-pului electric coincide cu sensul in care scade valoarea potentialului, directia vectorului camp, in orice punct, fiind aceea in care scaderea potentialului este cea mai rapida.

Sa demonstram, tinand cont de cele stabilite pana acum, ca, campul deriva dintr-un potential. Sa consideram deplasarea sarcinii unitate (q = +1) raportata la un sistem rectangular Oxyz, atunci relatia devine

unde E_x, E_y,E_z sunt componentele campului electric dupa cele trei axe. Cum , in cazul sarcinii unitate care se deplaseaza de la A₁ la A₂ (fig.1.), pentru deplasari mici putem scrie:

de unde rezulta ca:

sau

,

deci sau , adica campul electrostatic deriva dintr-un potential.

1.2. FLUXUL ELECTRIC

Prin conventie se considera ca numarul de linii de camp ce trec prin unitatea de suprafata perpendiculara pe linii creste proportional cu intensita-

tea E a campului electric. (fig.2.).

Daca in campul uniform E trec perpendicular prin unitatea de suprafata E linii de camp, atunci prin suprafata S₀, trec perpendicular ES₀ linii de camp.

Se numeste flux electric printr-o suprafata, o marime numeric egala cu numarul liniilor de camp care trec prin acea suprafata. Daca notam cu , fluxul electric care strabate normal suprafata S₀ in campul de intensitate E se poate scrie

In cazul unei suprafete S asezata inclinat fata de liniile de camp se proiecteaza S pe un plan perpendicular pe E si obtinem . In acest caz fluxul electric prin suprafata S este egal cu fluxul prin suprafata S₀ (fig.).

Deci, fluxul prin S este sau

unde in care este vectorul normalei la suprafata.

In cazul in care campul electric este neuniform, , se defineste mai intai un flux elementar printr-un element de arie dS prin marimea

E fiind intensitatea campului electric in punctul M in jurul caruia se gaseste elementul de arie respectiv, iar unghiul dintre semidreptele care pornesc din M si sunt indreptate in sensul pozitiv al vectorului si sensul pozitiv ales pe normala, in punctul M, la suprafata pe care se afla elementul de arie dS (fig. 4.). Daca convenim sa luam pe normala, incepand cu

punctul M, o lungime care reprezinta la o anumita scara valoarea dS, definim in acest mod pe normala un vector al carui modul este dS, al carui directie si sens coincid cu directia normalei si cu sensul pozitiv ales pe normala.

Deci, fluxul electric este

adica fluxul elementar prin suprafata , pe care poate fi considerat constant si apoi, prin integrare, se determina fluxul total prin suprafata S.

;

sau unde integrala este extinsa asupra intregii suprafete notata cu S.

Din expresia de definitie a fluxului electric se poate deduce unitatea de flux si ea este egala cu fluxul unui canp electric a carui intensitate este egala cu unitatea si care strabate normal, o arie egala cu unitatea de arie. Si daca folosim conventia (mentionata la inceputul paragrafului) conform careia intensitatea campului este reprezentata prin numarul de linii de camp care strabat unitatea de arie normala pe directia lor, unui flux egal cu unitatea ii corespunde o linie de camp pe unitatea de arie.

Vectorul fiind, in orice punct al unui camp electric, tangent la linia de camp care trece prin acel punct, rezulta ca fluxul campului electric este acelasi prin toate sectiunile unui tub de linii de camp in interiorul caruia nu sunt sarcini electrice.

1. ENUNTUL LEGII LUI GAUSS

PENTRU MEDII OMOGENE

Sa consideram o suprafata inchisa S, fig.5. in interiorul careia, intr-un punct oarecare P, se afla o sarcina electrica Q.

Cu centrul in punctul P se construieste o sfera cu raza r, observand ca toate liniile de camp ce pleaca de la sarcina Q vor strabate atat suprafata S₀ a sferei cat si suprafata S.

Prin urmare, fluxul electric prin suprafata S este egal cu fluxul electric prin suprafata S₀. Tinand cont de relatia (16.) putem scrie

sau

unde este permitivitatea mediului omogen (), in care se afla sarcina Q. Cum , relatia (17.) devine

Cand punctul P este in exteriorul suprafetei inchise S, evident

Relatiile (18.) si (19.) exprima legea lui Gauss: fluxul electric printr-o suprafata inchisa de forma arbitrara este numeric egal cu inmultit cu suma algebrica a sarcinilor electrice aflate in interiorul suprafetei si este egal cu zero cand Q este exterior acestei suprafete.

In ceea ce priveste unitatea de masura in SI pentru flux, ea este:

, adica

Relatiile stabilite pana acum se utilizeaza cand potentialul nu variaza uniform in lungul deplasarii unei sarcini. In cazul in care, sarcinile electrice sunt raspandite continuu in interiorul unei suprafete S, cu o densitate de volum de sarcina electrica

unde dQ este sarcina cuprinsa in elementul de volum dV.

Sarcina electrica totala Q se poate scrie astfel

Tinand cont de teorema Green-Ostrogradski (analiza), fluxul satis-face relatia

adica fluxul vectorului prin suprafata inchisa S este egal cu integrala de volum a divergentei vectorului extinse la volumul delimitat de suprafata S.

Tinand cont de relatiile (21.) si (22.) legea lui Gauss poate fi scrisa astfel

de unde se obtine forma locala a legii lui Gauss

In legatura cu forma locala a legii lui Gauss facem urmatoarele observatii :

Semnificatia fizica a divergentei este data de densitatea volu-mica a sarcinilor electrice.

Divergenta este mai mare in punctele unde exista o densitate de volum a sarcinilor electrice mai mare.

Astfel cu cat pornesc mai multe linii de camp dintr-o suprafata inchisa, cu atat fluxul electric total este mai mare si ca urmare, cu atat divergenta campului electric va fi si ea mai mare (6).

Daca intr-un punct, , din acel punct nu pornesc linii de camp si . Daca intr-un alt punct, , atunci acel punct reprezinta o sursa de camp electric.

1.4. PERMITIVITATEA RELATIVA

Pentru a defini notiunea de permitivitate relativa sa consideram cazul simplu al unui condensator plan. Reamintim ca un condensator plan este format din doua suprafete plane, asezate paralel la o distanta d mai mica in raport cu dimensiunile lor (fig. 7.) incarcate cu sarcini electrice de semne opuse.

Daca dielectricul dintre armaturile (placile) condensatorului este omogen, adica are aceleasi proprietati, densitate, compozitie etc. in orice punct iar dimensiunile suprafetelor plane sunt mult mai mari decat distanta dintre ele, din simetria sistemului rezulta ca liniile de camp dintre placi sunt paralele si echi-distante. In acest fel, campul electric intre armaturile unui condensator plan este uniform, constant

Alegand un sistem de coordonate cartezian electric dintre placi atunci putem scrie campul

;

de unde, prin integrare

sau

unde este diferenta de potential, tensiunea dintre placile condensatorului.

Fluxul electric printr-o suprafata imaginara, numita in general suprafata Gaussiana, care inconjura placa pozitiva l (fig.7.) de arie S este

deoarece in afara spatiului dintre placi, intensitatea campului este negli-jabila. Conform legii lui Gauss , putem scrie

unde Q este sarcina totala de pe placa pozitiva.

Tinand cont de relatia (26), din relatia (28) obtinem

Rezulta ca raportul dintre sarcina electrica si tensiunea dintre placi este o marime constanta , care depinde numai de caracteristicile condensatorului (d, S) si de dielectricul dintre cele doua placi. Acest raport se noteaza cu C si se numeste capacitatea condensatorului plan. In SI unitatea de masura a capacitatii este faradul (F), iar din relatia (29.) rezulta ca:

.

Experienta arata ca daca intre armaturile unui condensator se introduce un dielectric, capacitatea condensatorului creste. Notand cu capacitatea condenstorului fara dielectric si cu capacitatea lui in prezenta dielectricului rezulta ca:

Marimea , numita permitivitate relativa arata de cate ori creste capacitatea condensatorului, daca in loc de vid, intre placile lui se afla un dielectric.

1.5. DIELECTRICI IN CAMP ELECTRIC

Tipuri de polarizare a dielectricilor.

Materia din punct de vedere electric este alcatuita dintr-un nucleu atomic, incarcat cu sarcina electrica pozitiva, inconjurat de un nor de

electroni, cu sarcini electrice negative. (fig. 9. a). Un camp electric exterior provoaca o usoara deplasare a electronilor in raport cu nucleul (fig.9. b) . In acest caz , centrul de sarcina al sarcinilor pozitive este deplasat in raport cu centrul de sarcina al sarcinilor negative cu distanta d si atomul va avea un moment dipolar indus p (p = qd) care provoaca polarizarea electronica a materialului.

Acum putem intelege explicarea maririi capacitatii unui condensator la introducerea unui dielectric intre placi si care consta in faptul ca sub influenta campului electric se produce o deplasare a sarcinilor in moleculele dielectricului : electronii se deplaseaza spre polul pozitiv, iar nucleele spre polul negativ (10), moleculele se polarizeaza, adica devin dipoli moleculari sau molecule polare, adica in ele centrul sarcinilor pozitive nu mai coincide cu cel al sarcinilor negative.

Deci, deplasarea distributiei de electroni care produce astfel de dipoli indusi de campul electric exterior, moleculele revin la starea initiala si din acest motiv, dipolii formati prin polarizatie electronica se numesc dipoli elastici.

Cand atomii de diferite tipuri formeaza o molecula electronii lor nu se repartizeaza uniform, electronii exteriori se deplaseaza catre atomii cei mai atractivi si atomii iau astfel sarcini de polarizatie opuse. Intr-un camp electric exterior are loc o deplasare a atomilor sau grupurilor de atomi, unii in raport cu altii, creind un al doilea tip de moment dipolar indus si anume polarizarea atomica sau ionica a dielectricului (fig. 9 c).

Deci exista dielectrici in care moleculele sunt dipoli chiar in absenta unui camp electric, astfel de molecule polare se numesc dipoli permanenti sau rigizi.

De exemplu molecula de apa este polara, deoarece sarcina medie pozitiva este deplasata spre atomii de hidrogen. La astfel de molecule poliatomice, in care anumiti atomi sunt in ansamblu mai pozitivi, iar altii mai negativi, campul electric produce o modificare a geometriei moleculelor (fig. 11.) prin deplasarile atomilor aceasta fiind o polarizare sau polarizatie atomica sau ionica, cand se deplaseaza ionii ca in cazul moleculei de NaCl.

Din fig. 11. se observa ca unghiul normal de 109 grade format de legaturile moleculei de apa se mareste sau se micsoreaza in camp electric, in functie de orientarea diferitelor molecule. La unele substante exista o distributie asimetrica de sarcini electrice intre diferiti atomi ai acelorasi molecule, aceasta asimetrie creeaza momente dipolare permanente, chiar in absenta campului. In campul exterior, aceste momente sunt supuse la un cuplu de orientare in directia campului electric exterior, dand nastere la un al treilea tip de polarizatie si anume de orientare (fig. 9.d).

Deci, daca se introduce intr-un camp electric un dielectric constituit din dipoli permanenti acesti dipoli tind sa se orienteze foarte repede in directia campului, efectul de orientare adaugandu-se la efectul de polarizatie elec-tronica P_E si atomica P_A, sub forma unui efect de polarizatie de orientare P_o. Dar acest efect de orientare este diminuat de agitatia termica a moleculelor, de unde rezulta scaderea constantei dielectrice cu cresterea temperaturii. Efectul total de polarizatie a moleculelor, P_M este dat de insumarea celor trei efecte

P_M = P_E + P_A + P_o

Observatie

Aceste trei mecanisme de polarizare, sau polarizatie: electronica, atomica (ionica), de orientare sunt determinate de sarcinile legate local in atomi, molecule sau in structura solidelor si lichidelor. Purtatorii de sarcini libere care, de obicei, exista intr-un dielectric, se deplaseaza in campul electric exterior si induc un fenomen suplimentar. Cand acesti purtatori de sarcini sunt impiedicati in miscarea lor si imobilizati in dielectric creeaza regiuni cu sarcini spatiale care in campul electric exterior se pot polariza. In acest caz putem vorbi de o polarizatie sau polarizare a sarcinii spatiale.

INTENSITATEA DE POLARIZARE.

VECTORUL POLARIZATIE ELECTRICA

In general, un sistem format din doua sarcini electrice egale si de semne contrare, asezate la o distanta mica una in raport cu cealalta, reprezinta un dipol electric (fig. 12.).

Dreapta care uneste centrele celor doua sarcini electrice se numeste axa dipolului. Pentru a caracteriza un dipol electric se foloseste marimea numita moment dipolar sau moment electric care reprezinta produsul dintre valoa-

rea comuna Q a sarcinilor electrice si a distantei l dintre ele.

Se defineste si un vector moment electric folosind vectorul de pozitie l al sarcinii pozitive in raport cu sarcina negativa.

Acest vector este orientat dupa axa dipolului avand sensul de la sarcina

negativa spre cea pozitiva, adica sensul invers campului E_d al dipolului (figura 1).

Daca in unitatea de volum a dielectricului sunt N molecule atunci momentul electric al unitatii de volum va fi egal cu suma momentelor electrice ale moleculelor.

In legatura cu cele discutate pana acum sa facem urmatoarele observatii:

In absenta unui camp electric exterior, moleculele dielectricului sunt orientate la intamplare, fig. 1 si ca urmare suma vectoriala a momentelor tuturor moleculelor continute intr-un volum V este egala cu 0.

2. In prezenta unui camp electric exterior, dipolii moleculari se vor roti partial, suferind polarizatii electronice si atomice, astfel incat suma mo-

mentelor va fi diferita de 0 cu atat mai mult cu cat campul este mai intens.

Deci cu cat va fi mai mare, cu atat dielectricul este mai polarizat. Rezulta ca se poate lua ca masura a polarizarii dielectricului, vectorul P egal suma momentelor moleculelor din unitatea de volum:

Vectorul se numeste intensitate de polarizare sau vectorul polarizatie electrica.

In SI vectorul intensitate de polarizare se masoara in coulombi pe metru patrat, adica:

.

Momentul electric total al unui dielectric de forma unui paralelipiped drept situat in campul electric al unui condensator plan (fig. 14.) este

adica este dat de sarcinile Q_p care au aparut ca rezultat al polarizarii, pe fetele exterioare ale dielectricului, sarcinile interioare echilibrandu-si momentele. Sarcinile electrice Q_p se numesc sarcini legate sau sarcini de

polarizatie, spre deosebire de sarcinile de pe placile condensatorului care se numesc sarcini libere.

Daca volumul dielectricului este atunci vectorul de polarizatie P are marimea

Rezulta ca intensitatea de polarizare este numeric egala cu densitatea electrica superficiala a sarcinilor legate de pe fetele dielectricului.

Relatia (38.) poate fi scrisa sub forma

VECTORUL INDUCTIE ELECTRICA

Sa consideram un plan incarcat cu sracina electrica de densitate superficiala , fig.15., iar din motive de simetrie si din conditia ca sarcinile din plan sa fie statice, campul electric creat de plan are directie normala la plan.

Sa consideram o suprafata Gaussiana de forma cilindrica si de sectiune S, care intersecteaza prpendicular planul incarcat. Fluxul electric prin suprafata laterala a cilindrului este egal cu 0, deoarece liniile de camp sunt paralele cu aceasta suprafata. In acest caz fluxul total este dat de fluxurile si care strabat cele doua baze ale cilindrului, S₁ si S₂ cum liniile de camp sunt perpendiculare rezulta:

deoarece si E=const. datorita simetriei sistemului. In conformitate cu teoria lui Gauss putem scrie:

si deci, intensitatea campului electric creat de un plan infinit este:

In cazul unui condensator plan campul electric dintre placile condensatorului este dat atat de placa pozitiva cat si de cea negativa, ambele campuri avand acelasi sens. (fig16.a). Conform relatiei (41.), in interi-orul condensatorului fara dielectric, campul este:

iar in prezenta dielectricului

Dar pe fetele laterale ale dielectricului introdus intre armaturile conden-satorului apar sarcinile legate, de densitati superficiale (fig.16.

b). Aceste sarcini produc in interiorul dielectricului un camp electric

orientat in sens contrar campului produs de sarcinile libere de pe placile condensatorului. Campul electric total ce apare intre placi este

Tinand cont de relatiile (44.) si (45.) cat si de faptul ca putem scrie:

de unde

Vectorul

se numeste inductie sau deplasare electrica.

Din ultimile doua relatii rezulta legatura dintre intensitatea campului electric si inductia electrica

Din relatia (49.) rezulta ca unitatea de masura in SI pentru inductia electrica este adica coulomb pe metru patrat, identica cu a densitatii superficiale de sarcina .

Observatie. Din cele descutate pana acum rezulta ca gradele de orientare si de polarizare ale moleculelor sunt proportionale cu intensitatea E a campului din interiorul dielectricului si ca urmare vectorul polarizare este proportional cu vectorul camp electric

Uneori constanta de proportionalitate se mai noteaza cu .

Legea data de relatia (50.) este valabila pentru toti dielectricii in afara celor cu proprietati feroelectrice.

Coeficientul c se numeste susceptivitate electrica si caracterizeaza mediul din punct de vedere al gradului de polarizare sub influenta campului electric. Tinand cont de relatiile de mai sus obtinem

de unde

Prin urmare constanta dielectrica este direct legata de susceptivitate si ca si aceasta ea este determinata de masura in care substanta se polarizeaza in prezenta campului electric.

LEGEA LUI GAUSS GENERALIZATA

Campul electric din dielectric poate fi considerat ca rezultatul suprapunerii campurilor create in vid de sarcinile electrice (libere) de pe fetele condensatorului si de sarcinile legate Q_p de pe fetele dielectricului. In aceste conditii, legea lui Gauss, pentru o suprafata gaussiana ce cuprinde o placa a condensatorului (fig. 17.) se va scrie

Tinand cont ca, suprafata S poate fi luata foarte aproape de suprafata S' a dielectricului, precum si de relatia se pot scrie relatiile:

, ,

(55)

de unde    (56)

Introducand in relatia (5) se obtine:

sau   

Prin urmare:

Fluxul vectorului inductie electrica este determinat numai de sarcinile electrice libere, nedepinzand de sarcinile legate.

Introducerea in camp sau indepartarea unui dielectric nu are nici o influenta asupra fluxului vectorului D.

Relatia (58.) exprima legea lui Gauss generalizata, deoarece ea este valabila si pentru mediile neomogene, , unde apar densitati volumice de sarcini de polarizare, dar care nu pot influenta fluxul lui D.

Pe baza unui rationament analog celui folosit la deducerea ecuatiei (2) se obtine forma locala a legiii lui Gauss generalizate: