SISTEME AUTOMATE

SISTEME AUTOMATE

Sistemele de conducere automata capata o importanta mereu crescanda in diferitele laturi ale modului nostru modern de viata. Sistemele automate pot fi clasificate astfel:

sisteme cu 'circuit deschis' sau 'de comanda', si

sisteme cu 'circuit inchis' sau 'de reglare'.

In figura 1.1, este reprezentat un sistem tipic de comanda. O marime de intrare de mica valoare este amplificata pe cale electrica, pneumatica sau mecanica. Ea impune marimea puterii preluate de la o sursa printr-un element de executie de catre sarcina.

In general, tipul de sistem automat reprezentat in figura 1.1, este denumit cu circuit deschis sau fara reactie. Marimea de intrare actioneaza asupra marimii de iesire prin intermediul catorva elemente,specifice fiecarui tip de sistem in parte.

Una din consecintele functionale ale sistemelor cu circuit deschis, este dependenta marimii de iesire de acordarea elementelor componente.

In multe aplicatii (de exemplu masina de spalat, motorul de automobil) mentinerea unei curbe precise de acordare este lipsita de importanta. In alte aplicatii este suficienta racordarea curbei la anumite intervale de timp. A 'racorda' sistemul inseamna a restabili relatia marime de iesire - marime de intrare suficient de des pentru a asigura precizia dorita. De exemplu un galvanometru este intotdeauna adus la 'zero' inainte de a fi utilizat. Multe tipuri de instrumente, de laborator sunt etalonate sau echilibrate, puse la punct inainte de utilizare.

Precizia masurarii depinde de mentinerea pe durata masurarii a acestei etalonari sau echilibrari. In unele sisteme (de exemplu conducerea unui automobil) un operator uman este in stare sa aduca corectiile necesare, acest operator realizeaza de fapt un sistem cu circuit inchis. Cand o persoana conduce pentru prima data automobilul altcuiva, ea trebuie sa-si 'formeze din nou simturile', deoarece, de exemplu, aceeasi apasare a acceleratorului nu poate produce aceleasi rezultate la doua automobile.

O alta consecinta a sistemelor in circuit deschis consta in faptul ca marimea la iesire este functie de variatiile sarcinii. Ca un exemplu, sa presupunem ca pompa actionata de un motor incepe sa traga noroi. Daca nu se opreste intrarea noroiului sau daca pozitia ventilului de admisie al motorului nu este modificata, viteza arborelui de iesire al motorului va scadea si se poate chiar ca motorul sa se opreasca.

Asadar doua din dezavantajele sistemelor cu circuit deschis sunt:

L        marimea de iesire este influentata de functionarea elementelor componente ale sistemului;

L        marimea de iesire este functie de variatiile sarcinii.

Sistemele cu circuit deschis prezinta mai multe avantaje care trebuie luate in consideratie in etapa preliminara a sintezei (proiectarii) unui sistem de reglare. Unele din aceste avantaje sunt:

J        simplitatea functionarii;

J        numar mai mic de elemente componente;

J        functionare stabila.

Daca cerintele nu pot fi satisfacute de un sistem automat in circuit deschis, asa cum se intampla deseori cu dispozitivele de precizie, atunci trebuie luat in consideratie un sistem cu circuit inchis. Pentru a se obtine precizia dorita a reglarii, marimea de iesire a sistemului este masurata, dirijata inapoi spre intrare si comparata cu marimea de intrare. Diferenta intre marimea de iesire 'prescrisa', reprezentata prin marimea de intrare si marimea reala de iesire este denumita 'abatere' (eroare). Un sistem cu circuit inchis este actionat de marimea abatere:

Abatere = marimea de iesire prescrisa - marimea de iesire reala .

Un sistem cu circuit inchis care poate fi realizat pentru reglarea turatiei unui motor cu ardere interna este reprezentat in figura 1.2.

Un tahogenerator care produce o tensiune proportionala cu turatia arborelui, este utilizat pentru a masura aceasta turatie. Tensiunea de intrare care reprezinta turatia prescrisa este variata cu ajutorul unui potentiometru. Cele doua tensiuni sunt scazute pe cale electrica. Diferenta, sau tensiunea abatere, este amplificata si utilizata pentru a fixa pozitia ventilului de admisie prin intermediul unui amplificator corespunzator.

Daca aceeasi problema, a reglarii turatiei unui motor cu ardere interna, care antreneaza o sarcina (respectiv o pompa), s-ar gandi ca un sistem cu circuit deschis, si daca presupunem ca motorul dezvolta o putere de cateva sute de cai putere , ar fi suficienta o mica schimbare a pozitiei ventilului de admisie pentru a provoca o variatie importanta a puterii de iesire. Viteza arborelui motorului la sarcina constanta este functie de pozitia ventilului de admisie. Ventilul, carburatorul, motorul reprezinta un sistem de reglare in care o putere mare de iesire este controlata de o putere mica de intrare (fig.1.1). Pozitia ventilului de admisie a sistemului motor - pompa reprezinta marimea de intrare, aceasta marime este stabilita pe cale directa (stabilind pozitia ventilului), putem avea turatia dorita a arborelui motorului, cu ajutorul 'curbei de acordare' ; caracteristica - turatia motorului (n) - pozitia ventilului (j) - figura 1.3.

In figura 1.2, turatia prescrisa, adica marimea de intrare, este comparata cu turatia reala, care reprezinta, marimea de iesire, iar diferenta, adica abaterea, este folosita pentru a actiona asupra pozitiei ventilului. Deosebirea importanta intre sistemul inchis (fig. 1.2) si cel deschis (fig.1.1) consta in legatura de reactie si efectele acesteia. Semnalul care modifica pozitia ventilului reprezinta diferenta dintre turatia prescrisa si cea reala. Atunci cand turatia arborelui de iesire este egala cu cea prescrisa, adica abaterea este nula, servomotorul ventilului (care poate fi un motor electric reversibil al carui arbore actioneaza printr-un reductor parghia ventilului) se afla in repaus. Daca are loc vreo schimbare oarecare, ca de pilda a sarcinii sau a caracteristicii functionale a vreunui element al sistemului, in asa fel incat turatia reala nu mai este egala cu cea prescrisa, apare o abatere, care va produce la randul ei modificarea pozitiei ventilului pana cand turatia reala va corespunde din nou celei prescrise.

Notiunea de 'reactie' este esentiala in studiul sistemelor automate. Reactia este asociata cu comparatia dintre valoarea reala a variabilei reglate (marimea de iesire) si valoarea prescrisa a acesteia (marimea de intrare). Mai general se spune ca exista reactie atunci cand exista intre variabilele sistemului o succesiune inchisa de relatii cauza-efect.

Cand reactia este introdusa in mod intentionat, ca in cazul marei majoritati a sistemelor de reglare, existenta si scopul ei sunt imediat evidente. Efectele reactiei, care pot fi considerate si ca avantajele sistemelor inchise, sunt:

J        marirea preciziei - introducerea reactiei poate reduce sau elimina eroarea sistemului in interiorul caii directe intrare-iesire. Desi variatiile elementelor directe modifica timpul de raspuns al sistemului, reactia reduce erorile cauzate de aceasta variatie;

J        reducerea efectelor distorsiunii si neliniaritatilor - care au loc in interiorul caii directe;

J        marirea benzii de trecere - reactia amplifica banda de frecvente pentru care sistemul raspunde - in acelasi timp, amplificarea corespunzatoare acestei benzi este redusa;

J        marirea sau micsorarea impedantei - functie de caracteristicile dorite, si de tipul de reactie utilizata.

Un sistem tipic 'de reglare automata' este reprezentat figura 1.4 si prezinta una sau mai multe bucle de reactie care realizeaza combinatii functionale intre semnalul prescris de iesire si cel de comanda, cu tendinta de a mentine o dependenta data intre marimea reala de iesire si cea prescrisa.

Avantajele unui asemenea sistem inchis pot fi rezumate astfel :

J        variatiile sarcinii sau caracteristicile functionale ale principalelor elemente componente nu influenteaza decat in mica masura precizia sistemului;

J        nu este necesara acordarea periodica a sistemului, cu exceptia tahogeneratorului.

Dezavantajul frecvent care apare la aceste sisteme inchise il reprezinta instabilitatea (sistem oscilant). Datorita mai multor cauze, care vor fi studiate pe parcursul lucrarii de fata, un sistem automat poate deveni inutilizabil datorita instabilitatii. Putem defini in acest context stabilitatea unui sistem de reglare automata:' un sistem este absolut stabil, daca in decursul regimului tranzitoriu care are loc atunci cand sistemul in stare de repaus este perturbat, marimea de iesire tinde catre zero, pe masura ce timpul creste nedefinit si este limitat stabil daca marimea de iesire, desi diferita de zero ramane marginita'.

Metoda de baza in calculul sistemelor de reglare este analiza efectuata cu ajutorul sistemelor de ecuatii diferentiale. Comportarea sistemelor fizice este determinata de solutiile ecuatiilor.

ECUATIILE DIFERENTIALE ALE UNUI SERVOSISTEM

Ca un prim exemplu de stabilire a ecuatiei diferentiale, consideram un sistem mecanic, format dintr-un corp de masa M, fortat sa se deplaseze pe roti (fara frecari in lagare) pe niste sine orizontale, avand montat un resort mecanic in stanga (care se opune miscarii), iar in dreapta este plasat un amortizor - figura 1.5.

Din figura 1.5 rezulta urmatoarea ecuatie:

K - constanta elastica a resortului;

B - constanta amortizorului.

Dupa aranjarea termenilor in relatia (1.1), obtinem:

care reprezinta ecuatia diferentiala care descrie functionarea sistemului mecanic considerat. Ecuatia (1.2) este tipica pentru sistemele

POTENTIOMETRU POTENTIOMETRU

DE INTRARE DE IESIRE

AMPLIFICATOR I AMPLIFICATOR II MOTOR

e_i e₁ e₂ e_e

P

Fig. 1.6

automate liniare, ea este o'ecuatie diferentiala liniara cu coeficienti constanti'.

Inainte de a rezolva ecuatia (1.2) , vom studia un servosistem cu o ecuatie diferentiala analoaga.

Sistemul inchis din figura 1.6 este utilizat pentru a actiona o antena mare, adica in general pentru actionarea unui corp avand moment mare de inertie. Un potentiometru masoara pozitia arborelui de iesire si o transforma in tensiune conform relatiei:

in care, x_e - unghiul de pozitie al arborelui de iesire, e_e - tensiunea de iesire, K_P - factorul de transfer al potentiometrului, care poate fi determinat cu ajutorul relatiei (1.4):

unde, E - tensiunea totala, x_emax - unghiul maxim de rotatie al potentiometrului.

Pozitia x_i a cursorului potentiometrului de la intrare este convertita in tensiunea e_i. Potentiometrele de la intrare, respectiv iesire sunt identice. Un dispozitiv de amplificare a diferentei a doua semnale, amplifica tensiunea diferenta (e_i - e_e) :

in care, e₁ - tensiunea abatere de la iesirea amplificatorului, A₁ - factorul de amplificare al amplificatorului, - tensiunea de intrare.

Aceasta tensiune, e₁, este amplificata inca odata si aplicata la bornele motorului :

unde, e₂ - tensiunea abatere amplificata, A₂ - factorul de amplificare al celui de-al doilea amplificator.

Ecuatiile functionale ale motorului pot fi determinate din caracteristicile sale mecanice liniarizate, ca in figura 1.7.

Ecuatia generala a oricareia din aceste caracteristici liniarizate este:

in care, M - cuplul dezvoltat de motor, w=dx_e/dt

viteza unghiulara a arborelui motorului, a, b - constante care depind de tipul servomotorului (c.c sau c.a). Panta acestor caracteristici liniarizate este negativa si constanta:

Constanta b din ecuatia (1.7) depinde de tensiunea de comanda. Pentru w , intersectiile caracteristicilor liniarizate cu axa absciselor, (fig.1.7), dau posibilitatea trasarii caracteristicii cuplu de pornire - tensiune de comanda reprezentate in figura 1.8. Panta portiunii liniare a acestei caracteristici este K, iar ecuatia ei:

in care, e₂ - tensiunea de comanda aplicata la bornele motorului, M₀ - cuplul corespunzator de pornire (w ). Tinand cont de ecuatia (1.7), rezulta:

pentru w . Deci ecuatia (1.7) va fi:

In exemplul de servosistem ales spre discutie, motorul actioneaza o sarcina avand doar moment de inertie J si deci: , asa incat ecuatia diferentiala a servosistemului va fi:

Daca eliminam tensiunea e₂ intre relatiile (1.6) si (1.12), se obtine ecuatia diferentiala completa a sistemului:

care poate fi simplificata:

Ecuatia (1.14) prezinta aceeasi forma ca ecuatia (1.2) : o ecuatie diferentiala cu coeficienti constanti. Ordinul ecuatiei, dat de derivata de ordinul cel mai inalt, este evident doi.

1.1.2. FACTORUL DE AMORTIZARE SI PULSATIA

PROPRIE NEAMORTIZATA

Inainte de a rezolva ecuatiile diferentiale (1.2) si respectiv (1.14), sa consideram doua marimi importante: x - factorul de amortizare; w_n - pulsatia proprie neamortizata, care intervin in orice ecuatie diferentiala liniara de ordinul doi cu coeficienti constanti, scrisa sub forma:

Comparand ecuatiile (1.14) si (1.16), rezulta urmatoarele relatii:

Rezolvand aceste relatii in raport cu x si w_n , se obtine:

si

Comparand ecuatiile (1.2) si (1.16), rezulta urmatoarele relatii:

si respectiv:

Chiar si la sistemele de ordin superior, cand ecuatia caracteristica are mai mult de doua radacini, se poate intampla ca natura raspunsului sistemului sa depinda in mod esential de doua din 'radacinile cele mai amortizate', ceea ce inseamna ca pentru aproximarea raspunsului sistemului de ordin superior se foloseste raspunsul unui sistem 'echivalent' de ordinul doi. Ecuatia (1.14) reprezinta ecuatia dinamica a servosistemului din figura 1.6. Ea se poate exprima sub forma:

unde, x_e(t) - variabila dependenta sau raspunsul sistemului, x_i(t) - functia externa de comanda.

1.1.3 REZOLVAREA UNEI ECUATII DIFERENTIALE CU AJUTORUL

TRANSFORMARII LAPLACE

Solutia ecuatiei (1.23), x_e(t), poate fi determinata cu ajutorul transformarii Laplace. Functia de intrare, o functie treapta u(t), se obtine din functia reprezentata in figura 1.9,

pentru t₁=0. Se considera ca sistemul    descris de ecuatia (1.23) este in repaus in momentul initial, adica x_e(0⁺)=0=dx_e/dt pentru t=0⁺, inainte de momentul aplicarii functiei treapta. Aplicand transformata Laplace ambilor membri ai ecuatiei (1.23) se obtine:

in care: s - operatorul Laplace, iar 1/s - transformata Laplace a functiei treapta unitara.

Transformata Laplace a variabilei x_e(t) de iesire a fost notata cu X_e care este o functie de s.

Rezolvand ecuatia algebrica (1.24) in raport cu X_e, se obtine:

iar, dupa dezvoltarea in fractii partiale,

Utilizand tabelul din ANEXA 1, pentru transformata Laplace inversa, se gaseste pentru t>0,

in care, F=arccos x

Asa cum este de asteptat, cu cat factorul de amortizare x este mai mare, cu atat raspunsul are un caracter mai putin oscilator. Din relatia (1.19) , x , rezulta ca factorul de amortizare este o functie de mai multi parametri ai sistemului si el poate fi variat prin modificarea oricareia din marimile relatiei (1.19). De exemplu, factorul de amplificare poate fi micsorat in scopul maririi factorului de amortizare. Daca sistemul devine mai oscilator (x mai mic), raspunsul x_e(t) depaseste sensibil valoarea regimului stationar (in acest caz unitatea) la fiecare perioada.

Suprareglarea maxima procentuala - o marime care evidentiaza depasirea in prima oscilatie a valorii regimului stationar - este definita astfel:

Viteza de raspuns a sistemului de ordinul doi este dependenta de w_n si x. Pentru acelasi sistem de ordinul doi, reprezentat prin ecuatia (1.14), pulsatia proprie neamortizata este data de relatia    w_n= (1.18) , este asadar, posibila variatia lui w_n prin schimbarea elementelor servosistemului. Trebuie insa remarcat faptul ca o crestere a factorului total de amplificare A₁A₂ produce cresterea lui w_n si descresterea lui x. Din cauza acestei relatii intre x si w_n, trebuie luate in consideratie alte metode de calcul pentru obtinerea unor valori favorabile pentru x si w_n

In acest context pot fi date si alte definitii pentru x si w_n, prin care sa fie mai clare denumirile date acestor parametri. Marimea x reprezinta raportul dintre constanta de amortizare (xw_n) care caracterizeaza un sistem de ordinul doi si constanta de amortizare critica (w_n). Amortizarea critica se intanleste la un sistem de ordinul doi, atunci cand ecuatia caracteristica (1.23) are doua radacini reale egale. Aceasta situatie echivaleaza cu x , deoarece, in ecuatia (1.26) prin substituirea x rezulta doua radacini identice:

Pentru sistemul mecanic din figura 1.5, ecuatia caracteristica este:

iar radacinile acesteia sunt,

Valoarea de amortizare critica B_c, corespunde acelei constante de amortizare pentru care discriminantul ecuatiei (1.30) este nul. Asadar, B_c se determina din expresia: B_c²/4M² - K/M=0, adica:

Pentru aceasta valoare a lui B exista o radacina reala dubla - B_c/2M.

Factorul de amortizare va fi:

Pulsatia proprie neamortizata reprezinta pulsatia de oscilatie a sistemului atunci cand amortizarea este nula. Pentru B=0, radacinile ecuatiei (1.30) sunt:

Radacinile imaginare conduc la un raspuns de forma:

Pulsatia proprie neamortizata este:

Tinand seama de relatiile (1.33) si (1.36), ecuatia (1.30) ia urmatoarele forme,

In general, factorul de amortizare x este mai mic decat unitatea si, in acest caz, radacinile ecuatiei (1.37) pot fi scrise sub forma:

Asadar pentru 0<x<1 radacinile sunt complex conjugate.

Radacinile date prin relatiile (1.38) pot fi localizate intr-o diagrama ca cea din figura 1.10.

Radacinile complexe apar totdeauna ca perechi conjugate, iar numarul radacinii coincide cu ordinul ecuatiei.

Deoarece in ecuatia (1.27) componenta tranzitorie contine termenul , ea tinde sa dispara in timp. Daca t creste, descreste, pentru xw_n>0

1.1.4. FUNCTIILE DE TRANSFER SI SCHEMELE BLOC

Simplificarea rezultata prin utilizarea transformarii Laplace este si mai pregnanta daca se introduc notiunile de functie de transfer si schema bloc. Sa consideram o ecuatie diferentiala liniara cu coeficienti constanti care reda variatia marimii de iesire a unui sistem in functie de marimea de intrare:

in care a_i, b_i sunt constante, x_e(t) - reprezinta marimea de iesire(raspunsul), x_i(t) - reprezinta marimea de intrare (de comanda).

Oricare element ale carui performante sunt descrise printr-o astfel de ecuatie, este denumit liniar. O proprietate importanta a unui sistem liniar este urmatoarea: daca x_i1 produce un raspuns x_e1 si x_i2 un raspuns x_e2 , atunci o marime de intrare,

conduce la un raspuns,

Presupunand conditii initiale nule si aplicand transformarea Laplace, ecuatia (1.39) devine:

Raportul dintre transformata Laplace a marimii de iesire X_e si cea a marimii de intrare X_i este denumit 'functia de transfer' a elementului:

Functia de transfer G(s) reprezinta o proprietate a elementului dat. Pentru sisteme liniare cu coeficienti constanti ea este idependenta de functia de comanda si de conditiile initiale. G(s) este o functie algebrica rationala de 's' si pentru sisteme cu parametri concentrati constantele a_i si b_i depind numai de elementele sistemului.

Atunci cand functia de transfer a unui element sau sistem este cunoscuta, transformata Laplace a raspunsului poate fi determinata cu ajutorul relatiei :

Aceasta relatie poate fi reprezentata printr-o schema bloc ca in figura 1.11. Schema simbolizeaza faptul ca 'marimea de iesire' este egala cu produsul 'marimii de intrare' cu

'functia dreptunghi'. Ca un exemplu de functie de transfer si schema bloc, sa consideram functia de transfer a sistemului mecanic din figura 1.5. Transformarea Laplace aplicata in conditii initiale nule ecuatiei (1.2) conduce la urmatoarele     rezultate:

iar functia de transfer va fi:

Schema bloc corespunzatoare este reprezentata in figura 1.12. In mod similar, rezulta ecuatia transformata pentru servosistemul din figura 1.6:

si functia de transfer totala:

Schema bloc este reprezentata in figura 1.13.

1.1.5. FUNCTIILE DE TRANSFER SI INTEGRALA DE CONVOLUTIE

Sa presupunem ca in ecuatia (1.39) functia de intrare este un impuls unitar r(t). Prin urmare:

Prin definitie aceasta functie este nula cu exceptia momentului t=0, cand valoarea sa este 'infinita', dar:

in care e e , este o marime foarte mica. In plus, functia impuls selecteaza valoarea in origine a unei functii, conform relatiei:

Functia r(t) poate fi construita dintr-un puls dreptunghiular, ca in figura 1.14, de inaltime 1/a si latime a, prin variatia marimii a in asa fel incat sa tinda catre zero, aria pulsului ramanand constanta si egala cu unitatea, (1/a)(a) = 1.

Transformata Laplace a unui impuls unitar este:

in acest caz integrala include impulsul localizat in origine. Transformata Laplace a raspunsului X_e(s) al sistemului descris de ecuatia (1.39) la o marime de intrare impuls unitar, este totuna cu functia de transfer a sistemului, deoarece X_i(s) = 1. Asadar:

este o functie care coincide cu transformata Laplace a raspunsului sistemului la un impuls unitar. Transformata inversa a functiei de transfer este cunoscuta sub denumirea de 'functia pondere'. Daca un impuls unitar este aplicat unui sistem, asa cum se arata in figura 1.15, marimea de iesire va fi chiar functia pondere w(t). Ecuatia (1.53) arata, ca functia pondere poate fi determinata calculand transformata Laplace inversa a functiei de transfer:

1.1.6. SIMBOLURILE SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATE

Simbolurile utilizate in domeniul sistemelor automate au fost standardizate. In figura 1.16 este reprezentata o schema bloc, cu terminologia utilizata in lucrarea de fata.

Simbolurile si termenii pe care ii reprezinta sunt:

marimea de intrare = x_i(t) sau X_i(s) marimea prescrisa;

marimea de iesire = x_e(t) y(t) sau X_e(s) Y(s) - marimea raspuns;

marimea de actionare = e(t) sau E(s) abatere (daca H₁,H₂, =1); abaterea = e(t) sau E(s), e = x_i - x_r

marimea de reactie = x_r(t) sau X_r(s),daca este diferita de x_c ;   

functiile de transfer ale caii directe = G₁(s),G₂(s),

functiile de transfer ale caii de reactie = H₁(s),H₂(s), .

1.1.7. STABILITATEA SI LOCALIZAREA RADACINILOR

ECUATIEI    CARACTERISTICE

Stabilitatea unui sistem liniar de reglare automata este definita in paragraful 1.1. Aceasta definitie poate fi asociata cu un criteriu matematic pentru a determina daca acesta este sau nu satisfacut in studiul unui sistem automat. Stabilitatea unui sistem depinde numai de sistem si de marimea de intrare. Asadar, daca un sistem este instabil, oricare excitare a acestuia forteaza sistemul sa raspunda cu o marime de iesire nemarginita. Dar daca sistemul este stabil, orice excitare marginita ca valoare va conduce la un raspuns de asemenea marginit ca valoare.

Functia pondere obtinuta prin transformarea Laplace inversa a functiei de transfer, depinde de asemenea numai de sistem. Daca functia pondere corespunde unui sistem stabil, adica daca ea tinde catre zero, atunci cand timpul tinde catre infinit, toate puterile exponentialelor din expresia functiei vor fi negative:

Prin urmare, atunci cand t, x_e(t)0. Transformata Laplace a ecuatiei (1.55) determina aceleasi consideratii relative la localizarea radacinilor ecuatiei caracteristice.

Astfel, daca se considera un caz simplu,

atunci,

si daca,

raspunsul in timp va fi:

Atunci cand o radacina a ecuatiei caracteristice se afla in semiplanul stang, exponentul este negativ. In ecuatia (1.56), radacina se afla la s_i= -a, si daca a>0, functia pondere corespunde unui sistem stabil. In ecuatia (1.58), radacina se afla la s_i=b, si daca b>0, functia pondere corespunde unui sistem instabil, adica membrul drept al ecuatiei (1.59) creste cand timpul creste.

Localizarea radacinilor tipice in planul s si functiile pondere, corespunzatoare sunt prezentate in figura 1.17. Radacinile simple -a

a , cu a a >0, de pe axa reala negativa dau o solutie de forma:

O pereche simpla de radacini complex conjugate jw pe axa imaginara, da un termen tranzitoriu:

O radacina simpla pe axa reala pozitiva, a a cu a a >0, da un termen de forma:

O pereche simpla de radacini complex conjugate, -ajw a>0) in semiplanul stang da nastere unui termen tranzitoriu a carui expresie este:

O pereche simpla de radacini complex conjugate ajw a>0), in semiplanul drept da un termen de forma:

O radacina dubla, a a>0), a ecuatiei caracteristice care apare intr-un punct al axei reale din semiplanul stang al planului s va produce un termen:

O radacina simpla in origine da nastere unui termen de forma:

O radacina dubla in origine produce un termen tranzitoriu a carui expresie generala este:

Radacinile duble imaginare, jw, care se afla pe axa imaginara, produc termeni de forma:

Constantele A_i, B_i, C_i sau D_i care intervin in expresiile de mai sus sunt arbitrare. Natura stabilitatii unui sistem poate fi acum formulata in corelatie cu localizarea radacinilor ecuatiei caracteristice, adica a numitorului (1+GH=0) a functiei totale de transfer:    .

Un sistem este stabil, daca toate radacinile se afla in semiplanul stang.

Un sistem este instabil, daca o radacina oarecare se afla in semiplanul drept, daca o pereche multipla (dubla,tripla) de radacini complexe se afla pe axa imaginara sau daca o radacina multipla reala este localizata in origine.

Un sistem este stabil marginal, daca o pereche de radacini complexe se afla pe axa imaginara sau daca o radacina simpla se afla in origine, iar celelalte radacini se afla in semiplanul stang.

Un sistem este stabil conditionat, daca toate radacinile sunt localizate in semiplanul stang pentru anumite valori particulare ale parametrilor sistemului. Adesea sistemul este stabil numai pentru valori intr-un anumit interval ale unui parametru, de exemplu factorul de amplificare.

Radacinile care se afla in semiplanul drept produc un raspuns oscilatoriu care creste in timp si fac ca sistemul sa nu fie utilizabil in practica. O pereche simpla de radacini complexe pe axa imaginara (in afara de origine), da nastere unui termen sinusoidal neamortizat (oscilatoriu). Daca toate celelalte radacini se afla in semiplanul stang cu exceptia posibila a unei radacini simple in origine, atunci sistemul poate fi considerat oscilatoriu, cazul limita dintre stabilitate si instabilitate.

1.1.8 CONCLUZII

In proiectarea unui sistem automat, nu se poate da o metoda de sinteza directa. Proiectantul sistemului de reglare automata va trebui sa foloseasca o combinatie intre sinteza si analiza. In general, acesta este in situatia de a alege o serie de elemente componente (amplificator, motor etc.) cunoscand ecuatiile lor diferentiale, se pot determina functiile de transfer cu ajutorul carora sistemul este construit. Atunci cand circuitul sistemului este inchis prin intermediul unei reactii, sistemul poate deveni instabil, poate avea o abatere stationara prea mare, un factor de amortizare prea mic, sau o pulsatie proprie neamortizata prea mica. In aceasta situatie, proiectantul este fortat sa aduca modificari sistemului, pentru a conforma performantele lui cu cerintele de calitate impuse initial.

In functie de experienta proiectantului, modificarile initiale vor fi mai mult sau mai putin optimale. In orice caz, este absolut necesara analiza sistemului modificat pentru a determina orice imbunatatire a performantelor sale. Dupa ce a analizat prima varianta, proiectantul aduce alte modificari sistemului, daca acestea apar necesare si din nou analizeaza situatia. Acest proces continua pana se realizeaza cerintele de calitate impuse initial. S-a pus la punct, insa, si o metoda pentru analiza sistemelor automate liniare, care consta din urmatoarele etape:

obtinerea ecuatiilor diferentiale ale sistemului si deci a functiilor de transfer ale elementelor componente;

determinarea solutiilor ecuatiilor diferentiale corespunzatoare regimului stationar pentru anumite tipuri de marimi de intrare (din regimurile stationare se pot determina abaterile);

determinarea naturii stabilitatii sistemului din functia de transfer sau ecuatia caracteristica.

Fiecare din aceste etape trebuie prinsa in reguli care sa dea posibilitatea proiectantului sa analizeze repede si precis sistemul studiat.