Calculul torsorului de inertie prin concentrarea maselor

Calculul torsorului de inertie prin concentrarea maselor

Se considera un element cinematic sub forma de placa plana, de masa m, centru de greutate C si moment de inertie axial fata de o axa care trece prin centru sau de greutate J_C=J_zz. Se urmareste inlocuirea placii cu mase concentrate, punctiforme, situate in planul placii, in scopul simplificarii modului de calcul, inlocuind consideratiile privind dinamica rigidului cu cele corespunzatoare dinamicii punctului material.

Concentrarea maselor trebuie sa se faca cu respectarea urmatoarelor conditii:

Torsorul de inertie trebuie sa fie acelasi in cele doua situatii;

Concentrarea maselor trebuie sa se faca independent de cinematica.

Pentru respectarea primei conditii, relatiile care se scriu sunt:

(23)

Pentru respectarea primei relatii sunt suficiente conditiile:

a) masa initiala a placii este egala cu suma maselor discrete;

b) pozitia centrului de greutate sa fie aceeasi in cele doua situatii.

Cu notatiile din figura 7, se pot scrie relatiile:

(24)

Pentru respectarea celei de-a doua relatii, sunt suficiente conditiile:

punctele in care se face concentrarea maselor sa apartina placii si astfel acceleratia unghiulara este aceeasi;

momentul de inertie axial sa fie acelasi in cele doua situatii:

(25)

Concluzie:

Conditiile care se scriu pentru calculul torsorului de inertie prin concentrarea maselor sunt:

(26)

Daca se respecta doar primele doua conditii, atunci se spune ca s-a realizat o concentrare statica a maselor, iar daca se respecta si cea de-a treia conditie, concentrarea se numeste dinamica.

Aplicatii in cazul barelor

Reducerea unei bare drepte la un sistem de trei mase concentrate, in trei puncte cunoscute (la capetele barei si in centrul de greutate al acesteia, fig.8)

Se obtine sistemul:

(27)

de unde rezulta:

(28)

Pentru o bara omogena se obtine relatiile:

(30)

Reducerea unei bare omogene la un sistem de doua puncte materiale, dinamic echivalent (fig.9)

Daca punctele in care se face concentrarea maselor sunt chiar extremitatile acesteia, iar caracteristicile geometrice si mecanice ale barei nu sunt cunoscute (problema de proiectare), atunci se obtine sistemul:

(31)

Acesta are drept necunoscute marimile: . Pentru rezolvare se aleg trei din marimi si se rezolva sistemul, determinandu-se si celelalte trei necunoscute.

Reducerea unei bare la un sistem de doua mase concentrate, necunoscute, amplasate astfel, o masa la o extremitate a barei, iar cealalta intr-un punct K, necunoscut (fig. 10).

Din sistemul:

(32)

se determina necunoscutele , obtinandu-se:

(33)

Daca bara este omogena atunci:

(34)

Reducerea unei bare la un sistem de doua mase de dimensiuni finite situate la extremitatile barei, concentrate dinamic (fig.11).

Sistemul de ecuatii are forma:

(35)

cu necunoscutele: . Se alege una din necunoscute si apoi din sistem se determina celelalte trei.

Reducerea unei bare drepte la un sistem de doua mase concentrate, amplasate la extremitatile acesteia, static echivalent (fig.13)

Sistemul este de forma:

(37)

cu solutiile:

(38)

Pentru bara omogena: .