Reprezentarea si cotarea prismelor hexagonale

REPREZENTAREA SI COTAREA PRISMELOR HEXAGONALE, CU APLICATIE LA CONSTRUCTIA GRAFICA

A CAPETELOR HEXAGONALE ALE SURUBURILOR SI ALE PIULITELOR

Lucrarea subscrie cazului general din geometria descriptiva, cel al intersectiei dintre o suprafata cilindrica si un poliedru.

Rezolvarea problemei, deci determinarea curbei de intersectie con-prisma hexagonala, se va demonstra grafic.

Se considera o prisma hexagonala dreapta, intersectata cu un con circular drept, fig. VII.1. Cele doua suprafete au aceeasi axa longitudinala (SA).

Se va demonstra ca fetele prismei hexagonale intersecteaza suprafata conului dupa o succesiune de arce de conice, mai precis sase arce de hiperbola.

Se face mentiunea ca este vorba de o intersectie prin patrundere.

Rezolvare

a. In fig. VII.1 sectionand cele doua suprafete cu plane de nivel notate N'_i si N'_c se obtin cele doua cercuri: inscris c_i si circumscris c_c hexagomului de baza al prismei.

Asadar intersectia celor doua suprafete se poate studia de acum incolo, luand plane de nivel auxiliare situate intre cele doua limite N'_i si N'_c. Fie acestea N'₁ si N'₂. Aceste plane surprind zona comuna a celor doua corpuri geometrice, adica intersectia lor. In plan orizontal se obtin cercurile aferente c₁ si c₂. Aceste cercuri rezultate in proiectia orizontala, intalnesc laturile hexagonului intr-o serie de puncte, 19 la numar, care apartin chiar proiectiei orizontale a curbei de intersectie. Astfel, in plan orizontal, curba de intersectie este formata din unirea celor 19 puncte deci se confunda cu conturul hexagonal al bazei prismei ce participa la intersectie.

Ridicandu-se linii de ordine, mentionate cu sageti din plan orizontal pana la intersectia cu urmele planelor de nivel, se obtin punctele proiectiei verticale ale curbei de intersectie. Se obtin 3 portiuni de hiperbola (doar trei fete din sase se vad), dintre care cea de la mijloc este in adevarata marime.

b. Demonstratia afirmatiei ca portiunile curbei de intersectie sunt arce de hiperbola

In figura VII.2, a este prezentat cazul din Teorema lui Dandelin, care spune: "Un con e sectionat de un plan oarecare P , dupa o elipsa, o parabola sau o hiperbola, dupa cum planul Q dus prin varful conului, paralel cu planul secant P , nu intersecteaza conul, este tangent la con respectiv il sectioneaza dupa doua generatoare".

Se mai poate spune ca daca planul secant P formeaza cu planul curbei directoare a conului unghiul:

- pentru ( este unghiul format de generatoarea conului cu planul curbei directoare), sectiunea este elipsa;

- pentru , sectiunea este o parabola;

- pentru , sectiunea este o hiperbola.

Acest ultim caz este reprezentat grafic in figura VII.2.

S-au construit generatoarele MS si NS dupa care planul Q P sectioneaza conul. Planul Q trece prin varful conului S. Sunt construite asimptotele hiperbolei (213), directiile date de generatoarele in proiectie orizontala m_s si n_s.

c. In fig. VII.2, b se trece la cazul particular al demonstratiei, , respectiv fetele laterale ale prismei hexagonale drepte, sunt evident perpendiculare pe baza prismei si implicit a conului.

Astfel fata frontala a prismei - planul DEO sectioneaza conul dupa arcul de hiperbola PBQ, arc care se proiecteaza in adevarata marime pe planul vertical de proiectie.

Fata frontala laterala a prismei-planul D₁E₁O sectioneaza conul dupa arcul de hiperbola MAP, care se proiecteaza deformat pe planul vertical de proiectie.

Analog fata frontala laterala din dreapta prismei.

In plan orizontal, atat PBQ cat si MAP etc. sunt chiar laturile hexagonului.

d. In fig. VII.3 este reprezentata o aplicatie a problemelor demonstrate anterior.

In fig. VII.3 este reprezentat un cap de surub si o portiune din tija sa filetata, desen tehnic in trei proiectii.

Conventional si standardizat se face mentiunea ca cele 6 arce de hiperbola se vor reprezenta ca arce de cerc in scopul elaborarii mai usoare a desenelor tehnice.

Valorile razelor acestor arce de cerc sunt mentionate dimensiunile inscrise in cercuri: 3/4D, D/2, r, iar in desenele tehnice nu se vor nota niciodata. De aceea liniile lor de cota sunt, in fig. VII.3, reprezentate cu linie intrerupta si prezentate doar in scop didactic.

Observatie:

Problematica abordata a graficii demonstrate anetrior este foarte utila asimilarii cunostintelor de desen tehnic, fundamentat pe gramatica sa: geometria descriptiva.

APLICATIE

Lucrarea de laborator 9

Conform observatiei facute in modulul VII este propusa o aplicatie pentru o piulita olandeza.

1. Descrierea corpurilor geometrice:

1.1. exterioare

prisma hexagonala, cu baza hexagon regulat (inscris in cerc);

trunchiul de con al tesiturii de la stanga si de la dreapta piulitei (generatoarea trunchiului de con face 30 grade cu baza mica a acestuia);

intersectia celor doua corpuri mai sus prezentate este formata din 6 arce de hiperbola, care conventional se reprezinta ca 6 arce de cerc.

1.2. interioare

cilindrul interior filetat (filet cu degajare);

cilindrul de trecere.

2. Descrierea succesiunii etapelor de lucru

Plansa nr. 1: Constructia prismei hexagonale

Se realizeaza o pozitionare obligatorie a prismei hexagonale astfel incat, in proiectia principala sa se vada 3 fete ale acesteia. Astfel, in proiectia laterala hexagonul va avea varfurile sus-jos, iar in proiectia orizontala se vor vedea doua fete ale sale.

In plansa 1 se stabilesc corespondentele dintre proiectii cu linii intrerupte, subtiri. Lucrul incepe in proiectia laterala, cu inscrierea hexagonului in cercul sau circumscris.

Plansa nr. 2: Constructia trunchurilor de con ale celor doua tesituri

Tot in proiectia laterala se construieste cercul inscris in hexagon, care este chiar baza mica a trunchiului de con al tesiturii.

In corespondenta, in proiectia principala, se realizeaza proiectia acestei baze. Urmeaza a se realiza si generatoarea inclinata la 30 de grade. Operatia este valabila pentru ambele fete laterale ale prismei hexagonale.

Plansa nr. 3: Constructia intersectiei corpurilor anterior construite (cele 6 hiperbole asimilate cercuri)

Razele cercurilor se masoara chiar din desen, luandu-le in deschiderea compasului din proiectia laterala. Valorile lor nu intereseaza si nu se inscriu in desen. In plansa sunt notate cu: 3D/4, D/2, r.

Plansa nr. 4: Definitivarea desenului prin: reprezentarea traseului de sectionare, inscrierea sectiunii si cotarea finala.

Lucrarea de laborator 10

Este o aplicatie imediata a celor studiate anterior. Reperul este o piulita din componenta unui robinet cu ventil.