METODE MODERNE DE IDENTIFICARE A FUNCTIILOR DE PRODUCTIE

METODE MODERNE DE IDENTIFICARE A FUNCTIILOR DE PRODUCTIE

Metoda identificarii functiei de productie pentru un anumit producator (sau agregat, la nivelul ramurii sau economiei nationale) se fundamenteaza pe cercetarea fenomenologica: determinarea statistica a celor mai stabile corelatii intre indicatorii (medii, marginali, de substitutie si elasticitati) activitatii si pe aceasta baza, deducerea functiei de productie, prin algoritmul:

pasul 1: determinam o corelatie stabila intre indicatori. Aceasta corelatie se exprima printr-o ecuatie diferentiala, in care variabila este, de regula, productivitatea muncii. Aceasta corelatie este o ecuatie diferentiala.

pasul 2: integram aceasta ecuatie si obtinem functia de productie cu sau fara progres tehnic.

Prin metoda identificarii avem posibilitatea deducerii diverselor clase de functii de productie. Pe aceasta baza, in practica, putem folosi doua metode pentru specificarea functiei de productie.

Metoda I: rezulta direct din algoritmul de identificare a functiei de productie, bazat pe cercetarea fenomenologica a corelatiilor fundamentale.

Metoda II: Se utilizeaza N clase de functii de productie cunoscute, cu sau fara progres tehnic (Cobb-Douglas, Cobb-Douglas generalizata, CES, VES, Sato, etc.) si pe baza datelor statistice se alege cea mai buna sub aspectul indicatorilor de testare statistica si a respectarii legitatilor economice fundamentale.

Evident, a doua metoda este mai restrictiva fata de prima, intrucat aplicand prima metoda putem obtine o functie de productie ce nu apartine nici uneia din clasele de functii prestabilite in metoda a doua.

Pentru aplicarea metodei I sintetizam indicatorii functiei de productie in varianta ca este cu randamente constante la scala, adica gradul de omogenitate este , deci verifica cerinta:

Luand si notand unde este inzestrarea tehnica a muncii, deducem ca - este productivitatea medie a muncii,

Consecinta: functia de productie se determina imediat cunoscand functia ,din .

Ceilalti indicatori se deduc din aceasta relatie, conform definitiei lor din 1.3.

- Randamentul mediu al capitalului:

- Indicatori marginali:

- Productivitatea marginala

Gasim:

- randamentul marginal al capitalului:

Cum ceilalti indicatori (elasticitati, RMST, coeficientul elasticitatii RMST) se deduc din indicatori medii si marginali, obtinem tabelul indicatorilor:

Tabelul 1

Consideram r - valoarea absoluta, , cand evident de-a lungul izocuantei fixat,

Observatii

In cazul general cand gradul de omogenitate este r deducem similar, ca functia de productie este .

In consecinta:

- indicatorii medii sunt:

- indicatorii marginali:

Elasticitatile:

RMST: si coeficientul elasticitatii , avand aceeasi expresie, dar valoarea dependenta de r

2) Se constata ca fata de cazul particular al functiei omotetice (), in cazul general, indicatorii medii si marginali se obtine din cei corespunzatori acestui caz, prin multiplicarea cu . Este modificata expresia elasticitatii productiei in raport cu munca, in loc de avem si de asemenea RMST este in loc de .

Ca o consecinta, suma elasticitatilor este atat in cazul general cat si in cel particular cand .

1. FUNCTII INDUSE DE FORMA ELASTICITATILOR

Datele statistice evidentiaza o expresie statistica stabila a elasticitatii in raport cu munca , unde este o functie elementara - liniara, parabolica, hiperbolica, logaritmica, exponentiala, etc., conform metodologiei statistice de specificare, estimare si testare parametrica si de concordanta. Alegerea expresiei se face in primul rand pe baza distributiei ansamblului de puncte de-a lungul orizontului statistic (figura 1).

h(k)=const.

h(k)

k

b)

EL

EL

k

a)

Figura 1.

Conform tabelului, folosind expresia elasticitatii, deducem ecuatia diferentiala:

(1.)

Prin integrare, obtinem:

adica:

(1.')

unde este primitiva ;i C = constanta de integrare.

Deducem expresia productivitatii muncii:

Si in consecinta, forma functiei de productie

(1.'')

Situatii concret posibile:

A1) - deci o dependenta liniara (care cuprinde si cazul = constant, cand ).

Primitiva

deci

(1.a.)

care este functia Cobb-Douglas generalizata. Se constata ca atunci cand (deci elasticitatea constant, ), se obtine functia Cobb-Douglas clasica.

Asadar, se delimiteaza deja o conditie suficienta de aplicare a functiei Cobb-Douglas si anume cand elasticitatea in raport cu unul din factori este constanta. Daca elasticitatea este liniara cu panta b, in raport cu dotarea tehnica per capita, specificarea prin functia Cobb-Douglas nu este corecta, adevarata functie fiind (1.a).

A2) Dependente neliniare: cazurile cand:

i)

ii) si

iii)

Indicatie: In cazul i) deducem functia de productie

(1.b.)

adica o functie cvasi-Cobb-Douglas cand si

- cand .

ii) Gasim primitiva si ecuatia (1.5.1') ne conduce la functia de productie:

(1.c.)

care este functia Cobb-Douglas cu elasticitati variabile.

iii) Gasim primitiva si functia de productie

(1.d.)

o functie de tip cvasi- Cobb-Douglas.

Observatii:

Aceeasi metodologie se aplica si in cazul general cand nu pornim cu ipoteza apriori ca functia de productie este cu randamente constante la scala, ci are gradul de omogenitate r. Ecuatia (1.) devine:

(1..2.1.e.)

care se integreaza.

Studii de caz: reluati situatiile concrete de mai sus privind forma functiei.. Si refaceti calculele in cazul general, folosind (1. e). Interpretati rezultatele gasite.

Exista o mare diversitate de forme de functii de productie rezultate din forma functiei .

similar se procedeaza daca folosim elasticitatea capitalului . Reluati si in aceasta varianta cercetarea cand este de tip ) sau ) liniara sau neliniara.

2. FUNCTII INDUSE DE FORMA

RANDAMENTELOR MARGINALE

Datele statistice evidentiaza dependenta productivitatii marginale de productivitatea medie, . Aceasta dependenta are la baza ideea ca in conditiile deciziei optime (privind maximizarea profitului sau minimizarea costurilor) la firma, gasim . (unde c_L = salariul nominal - reprezinta costul muncii si l multiplicatorul Lagrange). Ori, este binecunoscuta legitatea economica a concordantei intre salariu si productivitatea muncii; in consecinta functia h este monoton crescatoare si concava.

In concluzie, deducem ecuatia diferentiala:

(2.)

cu variabile separabile, care prin integrare devine:

(2.')

Notam primitiva din stanga si obtinem:

unde A - constanta de integrare.

Deoarece din continutul economic (productivitatea>salariul) rezulta ca G este monoton crescatoare, deci inversabila (pe codomeniul sau), deci

(2.'')

de unde, functia de productie este:

(2.'')

In care c = lnA.

Expresii concrete:

b1) Functia h este liniara:, cu , adica salariul creste proportional cu productivitatea. Gasim:

.

Deci ecuatia (2.') devine:

(c=constanta)

adica

(A=constanta)

Gasim:

,

deci functia de productie este:

(2.1.)

Adica un tip nou, o combinatie liniara intre Cobb-Douglas si o functia liniara in L. Daca se regaseste Cobb-Douglas.

b2) Functia h este neliniara: , concava. Corespunde ipotezei ca salariul creste o data cu cresterea productivitatii, dar cu un ritm mai mic.

De exemplu, . In acest caz primitiva G va fi:

.

Deci ecuatia (2') devine:

(A=constanta)

Expresia productivitatii muncii este in acest caz:

cu

deci functia de productie va fi:

(2.b.)

o forma cu totul neasteptata, provenita dintr-o ipoteza foarte realista.

Propunem ca exercitiu rezolvarea in cazul general si particularizarea cand si .

Observatii:

Similar se poate formula abordarea in cazul general cand . Propunem ca studiu de caz analiza in cele doua situatii b₁) si b₂).

Indicatie: In cazul cand dependenta este liniara, obtinem ecuatia diferentiala:

si dupa integrare, functia de productie:

(2.a')

2. O abordare similara se aplica atunci cand se analizeaza corelatia intre randamentul marginal si randamentul mediu al capitalului. . din care deducem ecuatia diferentiala (EDVS) *) cand :

Propunem ca studiu de caz detalierea calculelor si deducerea functiei de productie cand este liniara, respectiv neliniara, de aceleasi forme ca mai sus. Aceeasi procedura, cand .

3. FUNCTII INDUSE DE FORMA RMST

O a treia categorie vizeaza analiza statistica a RMST prin care se evidentiaza dependenta de inzestrarea tehnica:

(3.)

unde, pentru , regasim cazul particular al functiei cu randamente constante la scala. Obtinem:

(3.')

si integrand, rezulta:

(3.'')

unde A=constanta si

Functia de productie va fi:

(3.''')

Studiem cazul concret cand:

c1) functia h este liniara:

Deducem:

Deci, conform (3.'') obtinem:

si functia de productie:

(3.a)

Daca , situatie ce corespunde ipotezei ca RMST = b constant, care reflecta continutul economic ca la optim constant, (indexarea perfecta a costurilor factorilor cu rata inflatiei), obtinem:

Pentru aceasta este o functie liniara de productie, iar este o functie particulara CES.

c₂) Studiu de caz propus: analizati cazul cand

4. FUNCTII INDUSE DE EXPRESIA

ELASTICITATII DE SUBSTITUTIE

A patra categorie vizeaza cercetarea pe date statistice a dependentei intre coeficientul elasticitatii de substitutie si inzestrarea tehnica per capita:

adica (4.)

Deducem EDVS:

care prin integrare conduce la o expresie a RMST:

(4'.)

unde

In continuare, intram in tipologia problemei de la punctul anterior c).

d₁) Astfel, in cazul cand constant (adica de tip CES), obtinem:

, deci .

Notam si conform (3') deducem EDVS:

(4.a.)

Calculam primitiva

.

Deci (4.a) constanta de integrare. Obtinem:

, unde si functia de productie:

Adica

deci binecunoscuta functie CES, daca luam :

(4.b.)

unde a si b sunt constante (ale caror expresii pot fi obtinute din A si B, dar nu ne intereseaza).

Cazul cand se deduce direct din (4.a):

adica:

deci o functie Cobb-Douglas (unde - constanta).

Deducem concomitent si urmatoarea legitate:

Daca elasticitatea RMST, , functia CES devine o functie Cobb-Douglas,. Deci functia Cobb-Douglas este un caz particular al functiei CES.

d₂) Daca constant, obtinem functii de productie de tip VES (Variable Elasticity of Substitution).

Astfel, functiile de productie de tip Allen si Sato sunt de tip VES. Intr-adevar, pentru functia Allen, avem:

Iar pentru functia Sato:

Variabile in raport cu dotarea tehnica k, deci de tip VES.

Prin procedura de la punctul b) gasim functia Sato:

si functia Allen:

si

Invers, pornind de la aceste functii obtinem imediat si