Metode de interpolare

1.Consideratii teoretice

Interpolarea este un procedeu care permite estimarea valorilor dintre date (puncte) cunoscute, cu numeroase aplicatii in inginerie si in majoritatea stiintelor exacte.

Fie o functie oarecare (necunoscuta) f(x) = y, pentru care se cunosc o serie de valori x₁, x₂,x_n, respectiv y₁, y₂y_n. Interpolarea permite determinarea valorii y_k, cu y_k ≠ y₁, ≠ y_2, ≠ y_n, daca se cunoaste valoarea corespunzatoare x_k. Pentru rezolvarea problemei se pot folosi doua tipuri de metode: metode grafice si metode analitice.

1.1. Metoda grafica

Metoda grafica presupune trasarea dependentei f(x) = y (pe hartie milimetrica) pe baza valorilor date. Plecand de la valoarea x_k cunoscuta se construieste o paralela la ordonata pana la intersectia cu curba trasata. Din punctul de intersectie se construieste o paralela la abscisa pana la intersectia cu ordonata, de unde se citeste valoarea y_k. Chiar daca este laborioasa, metoda grafica inca se mai utilizeaza ca procedeu de interpolare.

Figura 1. Interpolare prin metoda grafica

1.2. Metode analitice

Exista numeroase metode analitice de interpolare, mai mult sau mai putin complicate, cu un grad de precizie mai scazut sau mai ridicat. Cele mai simple variante sunt interpolarea liniara si interpolarea polinomiala.

1.2.1. Interpolarea liniara este metoda cea mai folosita in practica inginereasca, atat pentru rezolvarea problemelor cat si in etapele de proiectare. In general, acest procedeu se aplica pentru estimarea unor valori intermediare atunci cand datele sunt prezentate sub forma de tabel. Valorile necunoscute sunt determinate cu ajutorul unor formule de calcul.

Daca pentru o valoare x cunoscuta, cuprinsa in intervalul x₁, x₂     trebuie sa se determine valoarea y corespunzatoare, stiind ca aceasta este cuprinsa in intervalul y₁, y₂ (marginile intervalelor, x₁, x₂, respectiv y₁, y₂ fiind de asemenea cunoscute) aceasta se poate calcula cu ajutorul uneia dintre relatiile:

(relatia 1)

(relatia 2)

Aceasta metoda pleaca de la ipoteza ca dependenta f(x) = y este liniara sau aproape liniara, de aceea, pentru o precizie cat mai buna, este de preferat ca intervalul pentru care se face interpolarea sa fie cat mai ingust.

1.2.2. Interpolarea polinomiala consta, in principiu, in identificarea unei functii polinomiale care sa aproximeze cat mai bine functia data f(x) = y. Exista numeroase variante de interpolare polinomiala, cum ar fi: interpolare Lagrange, interpolare Hermite, interpolare Birkhoff, interpolare spline polinomiala etc..

Metoda poate fi destul de complexa si consumatoare de timp, dar gradul de precizie este mult mai bun decat in cazul interpolarii liniare. De exemplu, daca se determina ca functia f(x) = y este reprodusa cel mai bine de functia:

h(x) = − 0.0121x⁵ − 0.0030x⁴ + 0.07821x³ − 0.35836x² + 0.3835x

pentru a determina valoarea y_k corespunzatoare marimii cunoscute x_k este suficient sa se calculeze h(x_k).

!!! Atentie: in urma aplicarii metodei polinomiale s-ar putea obtine o ecuatie polinomiala care aproxineaza foarte bine punctele date, dar care sa difere mult de modelul real. Acest lucru va fi exemplificat in aplicatiile de mai jos

2. Scopul lucrarii

Folosirea interpolarii grafice, liniare si polinomiale pentru determinarea     unor modele matematice care sa permita determinarea unor valori intr-un interval bine definit.

Utilizarea aplicatiei "trendline" pentru determinarea ecuatiei care aproximeaza o serie de date si utilizarea acestei ecuatii pentru calculul erorilor.

Utilizarea functiei TREND pentru determinarea ecuatiei unei drepte; calcularea pantei si a intersectiei cu axa Oy

3. Aplicatii

In tabelul urmator sunt prezentate o serie de proprietati fizice ale apei pe linia de saturatie:

Sa se determine:

1. densitatea, viscozitatea, caldura specifica si entalpia apei la urmatoarele valori ale temperaturii, cu ajutorul metodei grafice: 7, 11, 25, 33, 48, 56, 61, 75, 89, 94 °C
2. densitatea, viscozitatea, caldura specifica si entalpia apei la urmatoarele valori ale temperaturii, prin interpolare liniara: 7, 9, 11,13, 22, 25, 33, 38, 41, 48, 53, 56, 61, 67, 75, 77, 82, 89, 94, 98 °C (se vor folosi relatiile 1 si 2)
3. densitatea si entalpia apei la urmatoarele valori ale temperaturii, folosind functia TREND: 7, 9, 11,13, 22, 25, 33, 38, 41, 48, 53, 56, 61, 67, 75, 77, 82, 89, 94, 98 °C. Sa se determine erorile de interpolare, folosind ca valoare de referinta valoarea obtinuta cu ajutorul ecuatiei ce rezulta in urma trasarii liniei de tendinta TRENDLINE
4. folosind datele obtinute la punctul b sa se intocmeasca un tabel, cu ajutorul caruia sa se determine, prin interpolare liniara valorile densitatii, viscozitatii si entalpiei apei la 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 si 100 °C.
5. densitatea, viscozitatea, caldura specifica si entalpia apei la urmatoarele valori ale temperaturii, prin interpolare polinomiala: 7, 9, 11,13, 22, 25, 33, 38, 41, 48, 53, 56, 61, 67, 75, 77, 82, 89, 94, 98 °C
6. folosind datele obtinute la punctul e sa se intocmeasca un tabel, cu ajutorul caruia sa se determine, prin interpolare liniara valorile densitatii, viscozitatii si entalpiei apei la 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 si 100 °C.

Bibliografie

1. C. F. Pavlov, P. G. Romankov, A. A. Noskov, Procese si aparate in ingineria chimica, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1981

2. https://en.wikipedia.org, accesat 15.01.2010.

3. curs informatica

FUNCTIA TREND

Calculeaza (folsind metoda celor mai mici partate) o dreapta y = mx + b pentru perechile de valori y_cunoscut - x_cunoscut. Returneaza valori y pentru x_nou, care verfica relatia. Sintaxa

TREND(y_cunoscut,x_cunoscut,x_nou,const)

Setul y_cunoscut este un sir de valori cunoscute pentru y in relatia y = mx + b.

Setul x_cunoscut este un sir optional de valori cunoscute pentru x in relatia y = mx + b. Daca se omite setul x_cunoscut, atunci el este asimilat cu sirul , care va avea aceeasi dimensiune cu cea a sirului y_cunoscut

Valoarea x_nou este o impusa lui x pentru care se doreste calcularea valorii lui y, cu ajutorul functiei TREND. Daca se omite specificarea valorii lui x_nou, acesta este asimilat cu prima valoare din setul x_cunoscut

Const este o valoare logica (TRUE sau FALSE) specificata atunci cand se doreste impunerea valorii 0 pentru constanta b. Daca constant este True sau este omisa, b este calculat. Daca constanta este FALSE, b este impus 0 (zero), iar valoarea m este calcutalat astfel incat y=mx

FUNCTIA FORECAST

Calculeaza, sau prezice, o valoare viitoare, prin utilizarea unor valori existente. Functia returneaza o valoare y pentru o valoare x data. Valorile cunoscute sunt perechi x - y, iar noua valoare se prezisa prin utilizarea regresiei liniare. Sintaxa:

FORECAST(x,y_cunoscut,x_cunoscut)

x este valoarea pentru care se doreste anticiparea lui Y.

y_cunoscut este matricea sau sirul de date dependent.

x_cunoscut este matricea sau sirul de date independent.

• Ecuatia pentru functia FORECAST este a+bx, unde:

si:

iar x si y sunt valori medii calculate cu AVERAGE(x_cunoscut) si AVERAGE(y_cunoscut).

FUNCTIA LINEST

Calculeaza statistic prin utilizarea metodei celor mai mici patrate ecuatia unei drepte care se potriveste cel mai bine cu datele si returneaza o matrice care descrie dreapta. Deoarece functia returneaza o matrice de valori, aceasta trebuie sa fie introdusa ca o formula matriciala. Ecuatia liniei este:

y = mx + b sau

y = m1x1 + m2x2 + + b (daca exista mai multe puteri pentru variabila x)

unde valorile variabilei dependente y sunt functie de valorile variabilei independente x. Valorile lui m sunt coeficienti care corespund fiecarei valori ale lui x, iar b este o valoare constanta. y, x, si m pot fi vectori. Matricea returnata de functia LINEST este . Sintaxa:

LINEST(y_cunoscut,x_cunoscut,const)

y_cunoscut este un set de valori cunoscute pentru y.

x_cunoscut este un set (optional) de valori cunoscute ale lui x, in relatia y = mx + b. Sirul de valori trebuie sa aiba aceeasi dimensiune cu sirul lui y. Daca acest sir lipseste, este inlocuit cu matricea , de marime egala cu cea a lui y_cunoscut.

Const este o valoare logica care specifica daca constanta b este sau nu egala cu 0. Daca constanta ia valoarea TRUE sau lipseste, b este calculata. Daca constanta este FALSE, b=0, iar m ia valori astfel incat y=mx

Observatie

• O dreapta poate fi descrisa cu ajutorul pantei si intersectia cu axa Oy:

Panta (m): pentru a gasi panta dreptei, se iau doua puncte de pe aceasta, (x1,y1) si (x2,y2) iar panta se determina cu raportul (y2 - y1)/(x2 - x1).

Intersectia cu axa Oy (b): este valoarea punctului unde dreapta taie axa y.

Ecuatia unei drepte este y = mx + b. Odata cunoscute valorile pentru m si b, se pot calcula coordonatele oricarui punct de pe dreapta, introducand o valoare pentru y sau pentru x in ecuatie.

• Cand se cunoaste doar variabila independenta x, panta si intersectia cu axa Oy se pot obtine direct, utilizand formulele urmatoare:

Panta:

=INDEX(LINEST(y_cunoscut,x_cunoscut),1)

Intersectia cu axa Oy:

=INDEX(LINEST(y_cunoscut,x_cunoscut),2)

FUNCTIA GROWTH

Extrapoleaza o crestere exponentiala prin utilizarea datelor existente. Functia GROWTH returneaza valori pentru y pentru o serie de noi ale lui x, prin utilizarea perechilor de valori x-y deja existente.Sintaxa:

GROWTH(y_cunoscut,x_cunoscut,x_nou,const)

y_cunoscut este un set de valori pentru variabila y, deja cunoscut in relatia y = b*m^x.

x_cunoscut este un set (optional) de valori pentru variabila x, deja cunoscut in relatia y = b*m^x.

x_nou este o valoare noua pentru variabila x pentru care functia GROWTH returneaza valoarea corespunzatoare pentru variabila y.

Const este o valoare logica, specificata atunci cand se doreste impunerea valorii 1 pentru constanta b.