Sisteme static nedeterminate - metoda analitica de integrare a ecuatiei fibrei medii deformate

Sisteme static nedeterminate

Cuprins:

1. Generalitati; grad de nedeterminare, sistem de baza

2. Ridicarea nedeterminarii la grinzile drepte prin metoda analitica de integrare a ecuatiei    diferentiale a fibrei medii deformate

3. Ridicarea nedeterminarii la grinzile drepte prin metoda grinzii fictive

4. Metoda eforturilor

5. Grinzi continue; ecuatia celor trei momente

5.1. Deducerea ecuatiei celor trei momente

5.2. Utilizarea ecuatiei celor trei momente

5.3. Calculul reactiunilor si trasarea diagramelor de eforturi

6. Calculul deplasarilor in sisteme static nedeterminate

1. Generalitati; grad de nedeterminare; sistem de baza

In numeroase cazuri eforturile din sectiunile transversale ale barelor sau ale sistemelor de bare nu se pot determina numai cu ajutorul ecuatiilor de echilibru din statica, fie din cauza formei sistemului, fie din cauza unor legaturi suplimentare. Astfel de bare sau sisteme de bare se numesc bare sau sisteme de bare static nedeterminate.

In functie de cauza nedeterminarii, sistemele static nedeterminate se pot imparti in trei categorii:

- sisteme static nedeterminate exterior, la care numarul reactiunilor exterioare este mai mare decat numarul ecuatiilor de echilibru ale staticii aplicabile sistemului respectiv (figura 1.). Nedeterminarea este cauzata de numarul mare de legaturi exterioare, eforturile din sectiuni neputand fi calculate din aceasta cauza. Din aceasta categorie fac parte grinzile drepte asezate pe mai multe reazeme cu sau fara incastrari, bare cotite, cadre, grinzi cu zabrele, etc.

a) b) c) d)

Figura 1

- sisteme static nedeterminate interior, la care eforturile din sectiunile transversale nu se pot determina cu ecuatiile de echilibru din statica, cu toate ca reactiunile exterioare se pot calcula. Nedeterminarea este cauzata de forma inchisa a

sistemului si de legaturile rigide dintre bare. Din aceasta categorie fac parte cadrele inchise, grinzile cu zabrele cu bare suplimentare, etc (figura 2.).

a) b)

Figura 2

- sisteme static nedeterminate interior si exterior la care nu se pot afla nici reactiunile exterioare nici eforturile sectionale cu ecuatiile de echilibru static (figura 3.).

a) b)

Figura 3.

In rezumat, in orice problema static nedeterminata numarul marimilor necunoscute este mai mare decat numarul ecuatiilor de echilibru static ce se pot scrie. Diferenta dintre numarul necunoscutelor si numarul ecuatiilor de echilibru static ce se pot scrie reprezinta gradul de nedeterminare al sistemului.

Necunoscutele suplimentare fata de numarul ecuatiilor de echilibru se numesc marimi static nedeterminate.

Pentru rezolvarea problemelor static nedeterminate care consta in determinarea reactiunilor exterioare, a eforturilor din barele grinzilor cu zabrele, a eforturilor sectionale in vederea trasarii diagramelor de eforturi, este necesar sa se inlocuiasca sistemul dat cu un alt sistem static determinat, suprimand un numar corespunzator de legaturi. Aceste legaturi se inlocuiesc cu forte de legatura (forte sau momente) care sa asigure o comportare echivalenta cu sistemul nedeterminat. Sistemul static determinat ales neincarcat cu marimile static nedeterminate se numeste sistem de baza sau sistem fundamental.

Exista un mare numar de posibilitati de transformare a unui sistem static nedeterminat intr-unul static determinat echivalent(figura 4.)

sistem static nedeterminat exterior

sau sistem echivalent

a)

sistem static nedeterminat interior

sau sisteme echivalente

b)

Figura 4

Rezolvarea problemelor static nedeterminate (ridicarea nedeterminarilor) se bazeaza pe conditii de legatura sau de continuitate ale fibrei medii deformate in dreptul si pe directia marimilor static nedeterminate. Astfel, in dreptul reazemului simplu grinda nu are sageata, in dreptul unei incastrari are sageata si rotirea nule, in dreptul unui efort interior grinda este continua.

Dupa determinarea marimilor static nedeterminate se pot afla celelalte reactiuni sau eforturi, cu ajutorul ecuatiilor staticii. Pentru ridicarea nedeterminarii conditiile de legatura si de continuitate se exprima in functie de fortele si momentele cunoscute si necunoscute ce actioneaza pe sistemul echivalent. In acest caz ca necunoscute apar forte si momente, iar deplasarile grinzii in dreptul acestora sunt cunoscute.

Metodele generale de calcul sunt:

metoda eforturilor, cand ridicarea nedeterminarii se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuatii in care marimile necunoscute sunt forte sau momente exterioare, sau eforturi sectionale.

metoda deplasarilor care se reduce la scrierea unui sistem de ecuatii avand deplasari ca necunoscute.

In urmatoarele doua paragrafe se va aplica metoda de calcul a deplasarilor, luand in considerare numai solicitarea de incovoiere, in vederea determinarii reactiunilor la grinzi static nedeterminate.

2. Ridicarea nedeterminarii la grinzile drepte prin metoda analitica de integrare a ecuatiei fibrei medii deformate

Ecutia diferentiala: se scrie si se integreaza pentru fiecare regiune a grinzii echivalente. Conditiile de legatura si de continuitate ale fibrei medii deformate determina atat valoarea constantelor de integrare cat si a reactiunilor static nedeterminate.

Se recomanda aplicarea metodei analitice numai in cazul problemelor simple.

Problema nr. 43

Sa se calculeze reactiunile din legaturile exterioare. Se cunosc: q, l, EI=const (figura 5.).

Rezolvare:

Alegand sistemul echivalent din

figura 5b) se poate scrie:

deci

a)

b)

Conditiile de legatura sunt: Figura 5

deci

de unde rezulta:

si

Pe sistemul echivalent,

Scriind conditiile de echilibru date, rezulta in continuare:

si

c)

d)

Figura 5

Observatie: Se putea alege si un alt sistem echivalent, ca in figura 5d), unde marimea static nedeterminata este M, dar calculele sunt mai laborioase.

3. Ridicarea nedeterminarii la grinzile drepte prin metoda

grinzii fictive

Metoda se bazeaza pe exprimarea conditiilor de legatura si de continuitate din dreptul marimilor static nedeterminate cu ajutorul relatiilor:

si care se scriu pentru sistemul echivalent pe care actioneaza sarcinile date si marimile static nedeterminate. Rezolvand sistemul de ecuatii care se obtine rezulta marimile static nedeterminate.

Problema nr. 44

Sa se determine reactiunea din reazem pentru grinda din figura 6.

Rezolvare: Pentru sistemul echivalent diagrama M este construita folosind principiul suprapunerii efectelor.

Punand conditiile ca in sectiunea (1) sageata sa fie nula, rezulta:

de unde rezulta

Figura 6. Figura 7.

Problema nr. 45

Se cer reactiunile din reazeme, pentru grinda din figura 7.

Raspuns:

Indicatie: Sistemul echivalent:

Problema nr. 46

Sa se determine reactiunile din legaturile exterioare, cunoscandu-se incarcarile din figura 8.

Indicatie: sitemul echivalent este:

Figura 8

Raspuns:

4. Metoda eforturilor

Este metoda generala de calcul a sistemelor static nedeterminate care se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuatii in care marimile necunoscute sunt forte sau momente din legaturi sau eforturi sectionale.

Prin aceasta metoda, sistemul static nedeterminat se transforma intr-unul static determinat prin eliminarea unui numar de legaturi exterioare si interioare.

Se va analiza aplicarea metodei in cazul unui cadru de trei ori static nedeterminat, supus actiunii fortelor exterioare P(figura 9). Suprimand legatura din incastrarea B si introducand marimile static nedeterminate X, X, X se obtine sistemul de baza incarcat cu fortele P si marimile necunoscute X, X, X

a) Sistem dat    b) Sistem echivalent

Figura9

Principial, in metoda eforturilor se exprima deplasarile in diferite puncte ale sistemului de baza, produse de sarcinile date si de necunoscutele static nedeterminate, punand conditia ca ele sa fie identice cu cele din sistemul static nedeterminat dat.

In cazul considerat se va scrie ca in punctul B deplasarea pe orizontala, deplasarea pe verticala si rotirea sa fie nule (pentru ca sistemul de baza sa se comporte ca si cel initial, care este incastrat in B). Pentru aceasta este convenabil sa se aplice principiul suprapunerii efectelor, in felul urmator:

1) Se considera intai, ca in sistemul de baza actioneaza numai sarcinile

exterioare - fortele P in exemplul considerat - si se calculeaza deplasarile pe directiile marimilor necunoscute X, X, X, adica respectiv

2) Se considera apoi ca in sistemul de baza actioneaza numai forta X care produce pe directiile marimilor X, X, X deplasarile . Primul indice arata directia pe care se produce deplasarea, al doilea cauza acestei deplasari (aici X

Aceste deplasari se calculeaza cu formulele:

in care reprezinta deplasarea pe directia "i "(i=1,2,3) cand pe directia marimii X se aplica o sarcina unitara (X=1).

Prin analogie, cand actioneaza marimile X, X se calculeaza deplasarile cu formulele:

in care reprezinta deplasarea pe directia "i "cand pe directia necunoscutei actioneaza o sarcina unitara.

Punand conditia ca deplasarile sa fie nule in punctul B, pe directia marimilor X, X, X, rezulta:

(1)

Sistemul de ecuatii obtinut reprezinta ecuatiile canonice sau ecuatiile de conditie din metoda eforturilor.

Rezolvand sistemul de ecuatii obtinut se determina marimile necunoscute X, X, X

Coeficientii necunoscutelor se pot determina usor cu formula Mohr-Maxwell:

Neglijand influenta fortelor axiale, rezulta:

Analog:

In care este diagrama de momente incovoietoare produsa de sarcina egala cu 1 aplicata pe directia este diagrama de momente data de sarcinile exterioare pe sistemul de baza.

Observatii:

1)Pentru un sistem o data nedetrminat ecuatia canonica se scrie: , iar pentru un sistem de doua ori static nedeterminat:

2) Ecuatiile canonice ale metodei se aplica pentru bare drepte, cotite sau cadre, in acelasi mod.

3) In folosirea practica a metodei eforturilor este utila urmatoarea succesiune a calculelor:

a)     se stabileste gradul de nedeterminare statica

b)     se alege sistemul de baza

c)     pe directia fiecarei legaturi suprimate se introduce o sarcina unitara corespunzatoare legaturii suprimate

d)     se traseaza diagramele de eforturi (de momente incovoietoare, daca predomina deplasarile cauzate de incovoiere, sau de forte axiale pentru grinzi cu zabrele)

e)     se calculeaza coeficientii dupa formulele Mohr-Maxwell aplicandu-se, pentru bare drepte, regula lui Veresceaghin

f)      se calculeaza termenii liberi

g)     se scriu ecuatiile canonice

h)     se rezolva sistemul de ecuatii, determinandu-se necunoscutele

i)       se construiesc diagramele de eforturi N, T, M fie scriind expresia eforturilor pentru fiecare sectiune, fie folosind principiul suprapunerii efectelor

j)       se verifica diagramele de eforturi.

Problema nr. 47

Sa se indice nedeterminarea si sa se traseze diagramele de eforturi pentru grinda din figura 10.a.

Rezolvare:

Cu sistemul de baza din figura 10.b, se scrie ecuatia canonica:

Scriind ecuatiile de echilibru pentru sistemul de baza, in care rezulta (figura 11)

Diagrama T este trasata in figura 11.b, iar pentru diagrama M, folosind principiul suprapunerii efectelor (figura 11.c), rezulta diagrama din figura 11.d.

a) a)

b) b)

c)

d)

Figura 10 Figura 11

Problema nr. 48

Sa se calculeze reactiunile din legaturile exterioare (figura 12).