Piramida

Piramida

Definitie : Fie S=[A₁A₂A₃ . A_n] o suprafata poligonala cu frontiera poligon, inclusa intr-un plan a, V un punct care nu apartine planului a. Se numeste piramida de varf V si baza S reuniunea tuturor segmentelor [VA], unde AIS.

Se observa ca piramida este o generalizare a tetraedrului

Vom nota piramida de varf V si baza S prin P=[VA₁A₂A₃ . A_n]. Dupa numarul laturilor poligonului de baza , piramidele se vor numi : triunghiulare, patrulatere etc.( fig 4)

Suprafetele triunghiulare [VA_1­A₂], [VA_2­A₃], . , [VA_n­A₁] se numesc fetele laterale ale piramidei , iar suprafata poligonala S se numeste baza piramidei. Reuniunea tuturor fetelor unei piramide formeaza suprafata sau frontiera piramidei. Multimea punctelor piramidei care nu apartin frontierei sale formeaza interiorul piramidei. Segmentele [VA₁], [VA₂], [VA₃], . , [VA_n], [A₁A₂], [A₂A₃], . , [A_nA₁] se numesc muchiile piramidei , iar dintre acestea [VA₁], [VA₂], . , [VA_n] sunt muchii laterale. Puntele V,A₁,_­A₂, . ,A_n se numesc varfurile piramidei , iar A₁,_­A₂, . ,A_n se mai numesc si varfurile bazei. Distanta de la varful unei piramide la baza acesteia se numeste inaltimea piramidei . Prin inaltime se va intelege si segmentul determinat de varf si baza pe dreapta perpendiculara pe planul bazei , dusa prin V, iar in acest caz , intersectia acestei drepte cu planul bazei se numeste piciorul inaltimii ; sensul atribuit cuvantului "inaltime" va rezulta din context. Piramida este determinata daca sunt date varfurile ei.

Aria piramidei.

Suma ariilor tuturor fetelor laterale unei piramide se numeste aria laterala a piramidei si se noteaza cu A_l(P) , iar suma ariilor tuturor fetelor unei piramide se numeste aria totala a piramidei si se noteaza cu A_t(P) . Daca vom nota aria bazei cu A_b atunci evident avem ca

A_l (P)= A[VA_iA_i+1]) + A[VA_nA₁]    si A_t (P)= A_l (P) + A_b.

Piramida de varf V si baza S=[A₁A₂A₃ . A_n] se numeste piramida regulata daca A₁A₂A₃ . A_n este un poligon regulat si piciorul inaltimii piramidei coincide cu centrul poligonului A₁A₂A₃ . A_n. Inaltimea unei fete laterale a unei piramide regulate se numeste apotema piramidei(fig.5) si se noteaza a_p , iar apotema poligonului de la baza se numeste apotema bazei si se noteaza a_b. Piramida cu patru fete ( trei laterale plus baza) se numeste tetraedru( tetra=patru, hedra= fata), iar tetraedrul cu toate fetele congruente se numeste tetraedru regulat. Acesta va fi studiat in capitolele ce vor urma.

Observatie : Daca P este o piramida regulata , fetele laterale sunt triunghiuri isoscele si

A_l (P)=.

Sectiuni in piramida

Se considera o piramida P = [VA₁A₂A₃ . A_n ] si un plan b. Daca intersectia dintre piramida si plan nu este vida , atunci multimea b P se numeste sectiunea piramidei prin planul b (fig 6). Si in acest caz , un rol mai important il au sectiunile prin plane paralele cu baza.

Proprietate: Daca inaltimea unei piramide P este I, atunci sectiunea unei piramide printr-un plan b paralel cu baza, situat in acelasi semispatiu cu varful V fata de planul bazei, la distanta I I fata de varf , sectioneaza piramida dupa o suprafata poligonala asemenea cu baza ,raportul de asemanare fiind .

Demonstratie Determinam pe inaltimea [VO] punctul O astfel ca VO =I ( fig .7). Atunci O Ib si punctele V, O sunt de o parte si de alta a planului b. Fie S baza piramidei P si S =P b. Daca M este un punct oarecare al planului lui S , V si M sunt de o parte si de alta a planului b, segmentul [VM] intersecteaza planul b intr-un punct M , deci M IP b= S . Vom arata ca functia

f: S S , f(M)=M , este o asemanare de raport . Evident , f este injectiva si din definitia lui S rezulta ca e si surjectiva. Luand punctele M,NIS, avem

si (caci MN//M N si OM//O M ), deci

. Asadar MN = f(M)f(N) si conform definitiei asemanarii rezulta ca f este o asemanare.

Se observa ca multimea punctelor piramidei P situata in acelasi semispatiu cu V fata de planul b , reunita cu S determina o piramida P de varf V si baza S . Daca I =0 , atunci intersectia dintre planul b si o piramida P este un punct, varful V. Daca I =I, atunci intersectia dintre planul b si piramida P este chiar baza S