Valori proprii si vectori proprii ai unui operator

Valori proprii si vectori proprii ai unui operator

Notiunea de vector propriu

Fie un operator liniar al spatiului vectorial finit generat V peste corpul comutativ K. Daca este o baza a lui V, atunci operatorului i se asociaza matricea A astfel incat:

A

Daca se schimba baza in V atunci se schimba si matricea A. Ea se transforma in matricea , unde T este matricea de trecere de la baza la noua baza.

Ne propunem sa gasim o noua baza, in care matricea B a operatorului f sa fie o matrice diagonala:

.

Din relatia de definitie a matricei B, si anume:

,

deducem ca vectorii ai noii baze trebuie sa indeplineasca conditiile:

,

care conduc la urmatoarea notiune:

Definitie

Se numeste vector propriu al operatorului f un vector v care indeplineste urmatoarele doua conditii:

;

.

Prin urmare problema gasirii unei baze in care matricea operatorului sa aiba forma diagonala se reduce la gasirea vectorilor proprii.

Calculul vectorilor proprii

Fie coordonatele vectorului v in baza adica . Conditia inseamna ca nu toate coordonatele sunt nule.

Pe de alta parte, coloana coordonatelor vectorului , asa cum s-a stabilit, se obtine inmultind matricea A cu coloana coordonatelor lui v. Deci conditia este echivalenta cu:

.

Ultima relatie matriceala este forma matriceala a unui sistem liniar si omogen de n ecuatii cu n necunoscute: .

Prima conditie inseamna ca sistemul este nedeterminat, ceea ce, dupa teorema Kronecker- Capelli, revine la:

.

Acest determinant a fost pus in evidenta in capitolul 2 si s-a observat ca este un polinom de gradul n in λ, ce a fost numit polinomul caracteristic al matricei A, notat . Radacinile polinomului au fost numite valorile proprii ale matricei A.

Am ajuns deci la urmatorul rezultat: scalarul λ din definitia vectorului propriu nu poate fi un scalar oarecare: el trebuie sa fie o radacina a polinomului caracteristic al matricei A.

S-a conturat deci metoda de calculare a vectorilor proprii, si anume:

Se calculeaza valorile proprii ale matricei A a operatorului.

Pentru fiecare valoare proprie se rezolva sistemul liniar si omogen:

.

Fiecare solutie nebanala a sistemului reprezinta coordonatele unui vector propriu care indeplineste conditia: . Evident ca sistemul, fiind nedeterminat, are o infinitate de solutii. Anume, daca este un vector propriu atunci pentru orice scalar , vectorul este vector propriu corespunzator aceleiasi valori proprii .

Observatii

1. Desi valorile proprii ale unui operator se definesc si se calculeaza folosind matricea operatorului intr-o baza, ele nu depind de baza. Intr-adevar, daca este o alta baza si T este matricea de trecere de la baza la baza iar B matricea lui f in noua baza atunci, tinand seama ca determinantul produsului de matrice este produsul determinantilor matricelor, obtinem:

2. Acelasi lucru este valabil si pentru vectorii proprii: vectorii proprii , corespunzatori valorii proprii , au drept coordonate in baza solutiile sistemului liniar si omogen:

.

Inmultind aceasta ecuatie matriceala la stanga cu ea devine:

,

adica , care este coloana coordonatelor lui in noua baza , este solutie a sistemului care da coordonatele vectorului propriu corespunzator valorii proprii folosind noua baza, si matricea B a lui f in aceasta noua baza. Deci folosind o alta baza vom obtine aceiasi vectori proprii.

Subspatiul vectorilor proprii corespunzatori unei valori proprii

Fie λ o valoare proprie a unui operator liniar f al spatiului vectorial V. Observam ca multimea vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii λ nu constituie un subspatiu deoarece, din definitia vectorului propriu, aceasta multime nu contine vectorul nul, .

Sa notam multimea vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii λ, la care se adaoga si vectorul nul. Este usor de verificat ca constituie un subspatiu pe care-l vom numi subspatiul vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii λ.

Vectorii acestui subspatiu sunt definiti de relatia.

Exemplu

Reamintim ca termenul liber al polinomului caracteristic al matricei A este . Inseamna ca operatorul f reprezentat de matricea A admite valoarea proprie daca si numai daca . Se observa ca numai in acest caz sistemul

are solutii nebanale.

Subspatiul , al vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii , constituit, asa cum am spus mai sus, din multimea solutiilor ecuatiei vectoriale , este tocmai nucleul operatorului f, care a fost notat Kerf.