![]() | Biologie | Chimie | Didactica | Fizica | Geografie | Informatica |
Istorie | Literatura | Matematica | Psihologie |
Valori proprii si vectori proprii ai unui operator
Notiunea de vector propriu
Fie un operator liniar al
spatiului vectorial finit generat V
peste corpul comutativ K. Daca
este o baza a lui V, atunci operatorului i se asociaza
matricea A astfel incat:
A
Daca se schimba baza
in V atunci se schimba si matricea A. Ea se transforma in matricea , unde T este matricea de trecere de la baza
la noua baza.
Ne propunem sa gasim o noua baza, in care matricea B a operatorului f sa fie o matrice diagonala:
.
Din relatia de definitie a matricei B, si anume:
,
deducem ca vectorii ai noii baze trebuie sa indeplineasca
conditiile:
,
care conduc la urmatoarea notiune:
Definitie
Se numeste vector propriu al operatorului f un vector v care indeplineste urmatoarele doua conditii:
.
Prin urmare problema gasirii unei baze in care matricea operatorului sa aiba forma diagonala se reduce la gasirea vectorilor proprii.
Calculul vectorilor proprii
Fie coordonatele
vectorului v in baza
adica
. Conditia
inseamna ca nu toate coordonatele
sunt nule.
Pe de alta parte,
coloana coordonatelor vectorului , asa cum s-a stabilit, se obtine inmultind matricea A cu coloana coordonatelor lui v. Deci conditia
este echivalenta cu:
.
Ultima relatie matriceala este forma matriceala a unui
sistem liniar si omogen de n ecuatii
cu n necunoscute: .
Prima conditie inseamna ca sistemul este nedeterminat, ceea ce, dupa teorema Kronecker- Capelli, revine la:
.
Acest determinant a fost pus in evidenta in capitolul 2
si s-a observat ca este un polinom de gradul n in λ, ce a fost numit polinomul caracteristic al matricei A, notat . Radacinile polinomului
au fost numite
valorile proprii ale matricei A.
Am ajuns deci la urmatorul rezultat: scalarul λ din definitia vectorului propriu nu poate fi un scalar oarecare: el trebuie sa fie o radacina a polinomului caracteristic al matricei A.
S-a conturat deci metoda de calculare a vectorilor proprii, si anume:
Se calculeaza valorile proprii ale matricei A a operatorului.
Pentru fiecare valoare proprie se rezolva sistemul
liniar si omogen:
.
Fiecare solutie nebanala a sistemului reprezinta
coordonatele unui vector propriu care indeplineste conditia:
. Evident ca sistemul, fiind nedeterminat, are o infinitate
de solutii. Anume, daca
este un vector propriu
atunci pentru orice scalar
, vectorul
este vector propriu
corespunzator aceleiasi valori proprii
.
Observatii
1. Desi valorile
proprii ale unui operator se definesc si se calculeaza folosind matricea
operatorului intr-o baza, ele nu depind de baza. Intr-adevar, daca este o alta baza si T este matricea de trecere de la baza
la baza
iar B matricea lui f
in noua baza atunci, tinand seama ca determinantul produsului de matrice este
produsul determinantilor matricelor, obtinem:
2. Acelasi lucru
este valabil si pentru vectorii proprii: vectorii proprii , corespunzatori valorii proprii
, au drept coordonate in baza
solutiile sistemului
liniar si omogen:
.
Inmultind aceasta
ecuatie matriceala la stanga cu ea devine:
,
adica , care este coloana
coordonatelor lui
in noua baza
, este solutie a sistemului care da coordonatele vectorului
propriu corespunzator valorii proprii
folosind noua baza,
si matricea B a lui
f in aceasta noua baza. Deci folosind o alta baza vom obtine aceiasi
vectori proprii.
Subspatiul vectorilor proprii corespunzatori unei valori proprii
Fie λ o valoare proprie a unui operator liniar f al spatiului vectorial V. Observam ca multimea vectorilor
proprii corespunzatori valorii proprii λ nu constituie un subspatiu
deoarece, din definitia vectorului propriu, aceasta multime nu contine vectorul
nul, .
Sa notam multimea vectorilor
proprii corespunzatori valorii proprii λ, la care se adaoga si vectorul
nul. Este usor de verificat ca
constituie un
subspatiu pe care-l vom numi subspatiul
vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii λ.
Vectorii acestui
subspatiu sunt definiti de relatia.
Exemplu
Reamintim ca
termenul liber al polinomului caracteristic al matricei A este . Inseamna ca operatorul f
reprezentat de matricea A admite
valoarea proprie
daca si numai daca
. Se observa ca numai in acest caz sistemul
are solutii nebanale.
Subspatiul , al vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii
, constituit, asa cum am spus mai sus, din multimea
solutiilor ecuatiei vectoriale
, este tocmai nucleul operatorului f, care a fost notat Kerf.
Copyright © 2025 - Toate drepturile rezervate