EVALUAREA DE TIP B A INCERTITUDINII STANDARD

Evaluarea DE TIP B A incertitudinii standard

Evaluarea de tip B se aplica, in general, incertitudinilor care provin din efecte sistematice, care nu sunt estimabile prin experimentul in sine, singura cale fiind cea analitica. Acestea sunt specifice fiecarei masurari particulare si se pot evalua numai daca se cunosc bine aparatura folosita si conditiile de masurare.

Atunci cand este raportata valoarea unui masurand, trebuie stabilita cea mai buna estimatie a sa si cea mai buna evaluare a incertitudinii acestei estimatii. O subevaluare a incertitudinilor poate antrena un exces de incredere in valorile raportate, cu consecinte uneori stanjenitoare, daca nu chiar dezastruoase. O supraevaluare deliberata a incertitudinilor poate, de asemenea, sa aiba repercusiuni nedorite. Aceasta poate determina utilizatorii de echipamente de masurare sa cumpere mijloace de masurare mai scumpe decat este nevoie, sa transforme in rebuturi produse costisitoare sau sa respinga serviciile unui laborator de etalonare.

Dificultatea de a evalua functia de densitate de probabilitate a variabilei aleatoare 'eroare sistematica de masurare' a dus la introducerea modului uzual de exprimare a acesteia prin indicarea limitelor ± a, care se apreciaza ca nu pot fi depasite si intre care, eroarea poate lua orice valoare, cu egala probabilitate.

Simplificarea obtinuta prin inlocuirea unei variabile aleatoare printr-o valoare 'sigura' (eroarea maxima) are inconvenientul unei supraestimari, uneori importante a erorii. Acest fapt este mai vizibil in cazul sistemelor complexe, unde intervine o compensare statistica a erorilor.

Tendinta actuala este de a unifica punctele de vedere asupra modului de tratare, de calcul si de raportare a incertitudinilor. Din pacate, persista dificultatea de determinare a legii de distributie a erorilor si de aceea se recurge la aproximatii.

Astfel, daca se considera probabilitatea ca fiind o masura a nivelului de incredere in aparitia unui eveniment si nu o valoare calculata pe baza frecventei de aparitie a acestuia raportata la numarul total de realizari, aceasta implica faptul ca o eroare sistematica poate fi tratata in acelasi mod cu o eroare aleatorie.

Acest punct de vedere asigura o valoare mai degraba realista decat "sigura" a incertitudinii, bazata pe ideea ca nu exista nici un fel de diferenta intre o componenta a incertitudinii care provine dintr-un efect aleatoriu si o alta componenta care provine dintr-o corectie pentru un efect sistematic.

Observatie

Aceasta metoda se afla, ca urmare, in dezacord cu unele metode folosite in trecut care au in comun urmatoarele doua idei:

prima idee consta in faptul ca incertitudinea raportata trebuie sa fie "sigura" sau "conservativa", ceea ce inseamna ca nu trebuie sa se afle niciodata in situatia extrema de a fi subestimata. De fapt, din cauza ca evaluarea incertitudinii unui rezultat al masurarii este problematica, aceasta idee conduce adesea la o extindere deliberata a ei.

a doua idee consta in faptul ca influentele care dau nastere incertitudinii ar putea fi intotdeauna considerate ori "aleatorii" ori "sistematice", cele doua categorii de influente avand natura diferita; incertitudinile asociate cu fiecare din aceste categorii trebuie sa fie compuse intr-un mod propriu si exprimate separat (sau, atunci cand se cere ca valoarea sa fie exprimata printr-un singur numar, sa fie compuse intr-un mod specificat). De fapt, metoda de compunere a incertitudinilor a fost adesea destinata satisfacerii nevoii de certitudine.

Componentele incertitudinilor din categoria B trebuie sa fie caracterizate prin marimile u_j care pot fi considerate ca aproximatii ale abaterilor standard corespunzatoare, a caror existenta este presupusa. Marimile     pot fi tratate ca variante (dispersii).

Pentru o estimatie x_i a unei marimi de intrare X_i care nu a fost obtinuta pe baza unor observatii repetate, varianta estimata u²(x_i) asociata sau incertitudinea standard u(x_i) este evaluata printr-o analiza stiintifica bazata pe toate informatiile de care se dispune despre posibila variabilitate a lui X_i. Ansamblul de informatii acumulate poate include:

- rezultatele unor masurari anterioare;

- experienta sau cunoasterea generala referitoare la comportarea si caracteristicile materialelor si mijloacelor de masurare utilizate;

- specificatiile fabricantului mijloacelor de masurare;

- datele furnizate prin certificatele de etalonare sau alte certificate;

- incertitudinea atribuita valorilor de referinta preluate din lucrari si manuale.

Folosirea corecta a ansamblului de informatii disponibile pentru o evaluare de tip B a incertitudinii standard necesita o abilitate bazata pe experienta si cunostinte generale, competenta care se poate obtine prin activitate practica.

Observatie

Trebuie observat ca o evaluare de tip B a incertitudinii standard poate fi la fel de sigura ca si o evaluare de tip A, mai ales in situatia unor masurari in care evaluarea de tip A se bazeaza pe un numar relativ redus de observatii independente statistic.

Atunci cand incertitudinea standard a unei marimi de intrare nu poate fi evaluata printr-o analiza a rezultatelor unui numar adecvat de observatii repetate, adoptarea unei distributii de probabilitate este bazata pe o cunoastere mult mai restransa decat cea care este de dorit. Totusi, acest lucru nu face distributia neintemeiata sau nereala (toate distributiile de probabilitate constituie o expresie a cunostintelor de care se dispune).

Estimarea abaterii standard (incertitudinii), plecand de la diversele cazuri intalnite de exprimare a incertitudinilor sau erorilor limita, se face tot pe baza unor informatii de care se dispune sau pe baza unor ipoteze, justificate de cunostintele anterioare, ca in cele ce urmeaza.

Cazul in care se estimeaza numai limitele inferioara si superioara ale lui X_i, in particular pentru a se afirma ca, pentru toate aplicatiile practice, "probabilitatea ca valorile lui X_i sa se afle in intervalul de la a_- pana la a₊ este egala cu 1, iar probabilitatea ca valorile lui X_i sa se afle in afara acestui intervalul este in mod esential egala cu zero'. Daca nu exista nici o informatie specificata despre valorile posibile ale lui X_i din interiorul intervalului, atunci ramane numai presupunerea ca valorile lui X_i se afla cu egala probabilitate in orice punct al intervalului, ceea ce implica asocierea unei distributii uniforme sau dreptunghiulare a valorilor posibile. Atunci x_i, respectiv media statistica a lui X_i, este mijlocul intervalului, adica

x_i = (a_- + a₊)/2   

cu varianta asociata (43):

u²(x_i) = (a_-- a₊)²/12 (141)

(dispersia a unei distributii rectangulare fiind ). Daca diferenta dintre cele doua limite, a₊ - a_-, este notata cu 2a, atunci expresia variantei devine

u²(x_i) = a²/3 sau (142)

Observatie

Daca o componenta a incertitudinii determinata in acest mod contribuie semnificativ la incertitudinea rezultatului unei masurari, atunci este prudent sa se obtina date suplimentare pentru evaluarea ei ulterioara.

Exemplu.

Specificatiile unui fabricant pentru un voltmetru numeric precizeaza ca "intre un an si doi ani de la etalonarea aparatului, incertitudinea acestuia in domeniul de 1V este de 14 10^-6 din valoarea indicata plus 2 10^-6 din valoarea domeniului'. Se considera ca aparatul este utilizat la 20 luni dupa etalonare pentru a masura o diferenta de potential V, in domeniul de 1V, iar media aritmetica a unui numar de observatii repetate independente ale lui V este = 0,928 571 V cu o incertitudine standard de tip A: u() = 12V (egala cu valoarea estimatorului s a abaterii standard).

Incertitudinea standard conforma cu specificatiile fabricantului poate fi determinata printr-o evaluare de tip B. Valoarea maxima a erorii determina doua limite simetrice pentru intervalul de valori posibile ale masurandului. Din cauza acestui efect sistematic, determinat de lipsa de exactitate a voltmetrului, trebuie introdusa o corectie aditiva la , adica . Imposibilitatea de a determina valoarea exacta a acestei corectii, conduce la a o considera ca o variabila aleatoare cu media statistica egala cu zero si cu o egala probabilitate de a se afla oriunde in interiorul limitelor date de specificatii. Semilargimea a corespunzatoare distributiei dreptunghiulare simetrice a valorilor posibile pentru     este a = (14 10^-6) x (0,928 571 V) + (2 10^-6) x (1V) = 15V, iar dispersia asociata rezulta u²() = a²/3 = 75V si u( V. Estimatia valorii masurandului V, notata pentru simplificare cu acelasi simbol V, este V = = 0,928 571 V.

Incertitudinea standard compusa a acestei estimatii poate fi obtinuta prin compunerea incertitudinii standard de tip A a lui, egala cu 12mV, cu incertitudinea standard de tip B a lui, egala cu 8,7V. Metoda generala de compunere a componentelor incertitudinii standard va fi prezentata ulterior (§ 7).

In cazul anterior, datorita faptului ca nu a existat informatie specificata despre valorile posibile ale lui X_i in interiorul limitelor estimate de la a_ pana la a₊, se poate presupune doar ca fiecare valoare din interval este egal probabila in interval si prezinta probabilitate egala cu zero in afara intervalului. Asemenea discontinuitati intr-o functie de distributie sunt rareori intalnite in fizica. In multe cazuri este mai realist sa se considere ca valorile apropiate de cele limita sunt mai putin probabile decat cele apropiate de punctul de mijloc. De aceea, este rezonabil ca distributia simetrica dreptunghiulara sa fie inlocuita cu o distributie trapezoidala simetrica cu pante egale (un trapez isoscel), cu baza mare egala cu a₊ - a_ = 2a si cu baza mica egala cu 2ab, unde 0 < b < 1. Pentru b 1 aceasta distributie trapezoidala tinde catre distributia dreptunghiulara, iar pentru b = 0 aceasta devine o distributie triunghiulara. Presupunand o astfel de distributie trapezoidala pentru X_i, rezulta ca media statistica a lui X_i este x _i= ( a_+ a₊ )/2 si varianta acesteia este:

u²(x_i) = a²(1 + ²) / 6 (143)

care, pentru distributia triunghiulara ( = 0), devine

u²(x_i) = a² /6 (144)

Observatie

Pentru o distributie normala cu media statistica si abaterea standard , intervalul acopera aproximativ 99,73 % din valorile posibile ale distributiei Astfel:

daca limitele superioara si inferioara a₊ si respectiv, a_ definesc limitele corespunzatoare pentru 99,73 % din distributie in loc de limitele corespunzatoare pentru 100 % si

daca X_i poate fi presupusa ca avand o distributie aproximativ normala in loc de rectangulara si

daca nu exista nici o informatie specificata despre X_i intre anumite limite, ca in cazul anterior,

atunci u²(x_i) = a²/9.

Pentru comparare, varianta unei distributii dreptunghiulare simetrice de semilargime a este a²/3, iar varianta unei distributii triunghiulare simetrice de semilargime a este a²/6. Valorile variantelor pentru cele trei distributii sunt surprinzator de asemanatoare, avand in vedere deosebirile mari in ceea ce priveste cantitatea de informatie necesara pentru a le justifica.

Limitele superioara si inferioara a₊ si respectiv a_- ale marimii de intrare X_i pot sa nu fie simetrice in raport cu cea mai buna estimatie x_i de exemplu, daca se scrie ca limita inferioara este a_-= x_i - b_-, iar limita superioara este a₊= x_i + b₊, atunci b_-     b₊. Deoarece, in acest caz, x_i (presupus a fi media teoretica a lui X_i ) nu se afla in centrul intervalului de la a_- pana la a₊, distributia de probabilitate a lui x_i nu poate fi uniforma pe intregul interval. Insa, se poate sa nu existe suficienta informatie pentru a alege o distributie potrivita; modele diferite vor conduce la expresii diferite pentru varianta. In absenta unei asemenea informatii, aproximatia cea mai simpla a variantei este:

, (145)

care reprezinta varianta unei distributii dreptunghiulare cu latimea totala b₊+ b_-.

Daca estimatia x_i este preluata dintr-o specificatie a fabricantului, dintr-un certificat de etalonare, dintr-o publicatie tehnica sau dintr-o alta sursa si daca incertitudinea specificata este exprimata ca un multiplu determinat al unei abateri standard, atunci incertitudinea standard u(x_i) este in mod simplu egala cu catul dintre valoarea mentionata si factorul de multiplicare, iar varianta estimata u²(x_i) este egala cu patratul acestui cat.

EXEMPLU

Intr-un certificat de etalonare se mentioneaza ca 'masa m_e a unui etalon de masa din otel inoxidabil cu valoarea nominala de un kilogram este de 1 000,000 325 g si ca 'incertitudinea acestei valori este de 240g, la un nivel de trei abateri standard'. In acest caz, incertitudinea standard a etalonului de masa este in mod simplu u(m_e) = (240g)/3 = 80g. Aceasta corespunde unei incertitudini standard relative u(m_e)/m_e de 80 10^-9. Varianta estimata este atunci u²(m_e) = (80g)² = 6,4 10^-9 g².

OBSERVATIE.

In numeroase cazuri nu se dispune de nici o informatie sau aproape de nici o informatie cu privire la componentele individuale din care a fost obtinuta incertitudinea specificata. Acest lucru este, in general, neimportant pentru exprimarea incertitudinii conform practicilor actuale, intrucat toate incertitudinile standard sunt tratate in acelasi mod atunci cand se calculeaza incertitudinea standard compusa a rezultatului unei masurari.

Incertitudinea specificata pentru x_i nu este exprimata, in mod necesar, ca un multiplu al unei abateri standard, ci poate defini un interval corespunzator unui nivel de incredere de 90 %, 95 % sau 99 %. Daca nu sunt indicatii contrare, se poate presupune ca a fost folosita o distributie normala pentru calculul incertitudinii specificate si atunci incertitudinea standard a lui x_i poate fi regasita prin impartirea incertitudinii specificate prin factorul corespunzator pentru distributia normala. Factorii care corespund celor trei niveluri de incredere specificate mai sus sunt: 1,64; 1,96 si 2,58 (vezi tabelul 3).

OBSERVATIE.

O asemenea ipoteza nu este necesara daca incertitudinea a fost data in conformitate cu recomandarile actuale privind evaluarea si exprimarea incertitudinii, care subliniaza ca factorul de extindere trebuie specificat intotdeauna.

EXEMPLU

Intr-un certificat de etalonare se afirma ca valoarea R_e a unui rezistor etalon avand valoarea nominala de 10 ohmi este de 10,000 742 W la temperatura de 23^oC si ca 'incertitudinea specificata de 129 defineste un interval cu nivelul de incredere de 99 %'. Incertitudinea standard a valorii rezistentei poate fi considerata egala cu u(R_e) = (129 , ceea ce corespunde unei incertitudini standard relative u(R_e)/R_e de 5,0 10^-6. Varianta estimata este atunci u²(R_e) = (50

Se considera cazul in care, pe baza informatiilor disponibile, este posibil sa se afirme ca 'exista o sansa din doua ca valoarea unei marimi de intrare X_i sa se afle in intervalul de la a_- pana la a₊' (cu alte cuvinte, probabilitatea ca X_i sa se afle in acest interval este 0,5 sau de 50%). Daca se poate presupune ca distributia valorilor posibile ale lui X_i este aproximativ normala, atunci cea mai buna estimatie x_i a lui X_i poate fi considerata in punctul din mijlocul intervalului. De asemenea, daca se noteaza semilargimea intervalului cu a = (a₊ - a_-)/2, atunci se poate considera ca u(x_i) = a, deoarece pentru o distributie normala cu media μ si abaterea standard s, intervalul (μ ± s m s) cuprinde 50% din distributie (v. tabelul 3).

EXEMPLU

Un tehnician care determina dimensiunile unei piese estimeaza ca lungimea acesteia se afla, cu o probabilitate de 0,5, in intervalul cuprins intre 10,07 mm si 10,15 mm si raporteaza ca l = (10,11 0,04) mm, ceea ce inseamna ca 0,04 mm defineste un interval cu un nivelul de incredere de 50 %. In acest caz, a = 0,04 mm si daca se admite ca distributia valorilor posibile ale lui l este normala, atunci incertitudinea standard a valorii lungimii este u(l) = 1,48 x 0,04 mm 0,06 mm, iar varianta estimata este u²(l) = (1,48 x 0,04 mm) ² = 3,5 x 10^-3 mm².

Indrumari practice pentru estimarile de tip B ale incertitudinii

Rezolutia unui dispozitiv de afisare numeric

O sursa de incertitudine a unui mijloc de masurare numeric este rezolutia dispozitivului sau indicator. De exemplu, chiar daca indicatiile repetate sunt identice, incertitudinea de masurare care poate fi atribuita repetabilitatii nu este egala cu zero, intrucat exista un domeniu al semnalelor de intrare care baleiaza un interval cunoscut, dar pentru care MM prezinta aceeasi indicatie. Daca rezolutia dispozitivului indicator este x, atunci valoarea semnalului de intrare care produce o indicatie specificata X se poate afla cu o aceeasi probabilitate oriunde in intervalul de la X - dx/2 pana la X + dx/2. Semnalul de intrare este, deci, descris de o distributie de probabilitate dreptunghiulara de largime x cu varianta u² = (x)²/12 (v. relatiile 140, 141, 142), care antreneaza o incertitudine standard u = 0,29 dx pentru orice indicatie.

Astfel, un aparat numeric de cantarit, cu un dispozitiv indicator a carui cea mai mica cifra semnificativa este egala cu 1 g are o varianta datorata rezolutiei dispozitivului egala cu u² = (1/12) g² si o incertitudine standard egala cu .

Histerezis

Anumite tipuri de histerezis pot produce un tip similar de incertitudine. Indicatia unui aparat de masurat poate diferi printr-o cantitate fixa, cunoscuta, care corespunde citirilor succesive in crestere sau in descrestere. Operatorul atent tine seama de sensul indicatiilor succesive si face corectiile corespunzatoare. Dar, sensul histerezisului nu poate fi intotdeauna observat: pot exista oscilatii ascunse in interiorul aparatului de masurat, in jurul unui punct de echilibru, astfel incat indicatia sa depinde de ultimul sens din care se ajunge la acel punct. Daca domeniul de citiri posibile datorate acestei cauze este dx, atunci varianta este, din nou, u² = (x)²/12, iar incertitudinea standard datorata histerezisului este u = 0,29 dx

Calcule cu exactitate limitata

Rotunjirea sau trunchierea numerelor care se produce in reducerile automate ale datelor cu calculatoarele poate fi, de asemenea, o sursa de incertitudine. Se poate obtine o determinare empirica a incertitudinii prin cresterea cu valori mici a celei mai importante marimi de intrare pentru calcul (exista in mod frecvent una care este proportionala cu ordinul de marime al marimii de iesire) pana cand marimea de iesire se modifica; cea mai mica modificare in marimea de iesire care poate fi obtinuta in acest mod poate fi luata ca masura a incertitudinii; daca aceasta este dx, atunci varianta este u² = (x)²/12 si incertitudinea este u = 0,29dx

Valori de intrare obtinute prin masurare

Observatii obtinute cu mijloace de masurare etalonate

Daca o estimatie de intrare a fost obtinuta printr-o singura observatie folosind un anumit mijloc de masurare care a fost etalonat prin comparare cu un etalon cu o incertitudine mica, atunci incertitudinea estimatiei este, in principal, una datorata repetabilitatii. Varianta masurarilor repetate cu acelasi mijloc de masurare ar fi putut fi obtinuta, intr-o ocazie anterioara, nu in mod necesar din indicatii ale exact aceleiasi valori, dar destul de apropiate pentru a putea fi folosita si se poate admite sa se deduca astfel varianta aplicabila valorii de intrare respective. Daca nu se dispune de o asemenea informatie, estimarea trebuie facuta tinandu-se seama de tipul mijlocului de masurare, variantele cunoscute ale altor mijloace de masurare de constructie analoga etc.

Observatii unice obtinute cu mijloace de masurare verificate

In mod normal, standardul de verificare a unui MM contine conditii metrologice, adesea sub forma "erorilor tolerate", pe care mijlocul de masurare trebuie sa le indeplineasca. Conformitatea mijlocului de masurare cu aceste conditii este determinata prin comparare cu un mijloc de masurare de referinta a carui incertitudine tolerata este, de obicei, specificata in standard. Atunci, aceasta incertitudine este o componenta a incertitudinii mijlocului de masurare verificat.

Daca nu se stie nimic despre curba caracteristica a erorii mijlocului de masurare verificat, trebuie presupus ca exista o egala probabilitate ca eroarea sa ia orice valoare intre limitele admise, adica aceasta urmeaza o distributie de probabilitate dreptunghiulara. Totusi, anumite tipuri de mijloace de masurare prezinta curbe caracteristice ale erorilor, de exemplu, erorile sunt intotdeauna pozitive intr-o parte a domeniului de masurare si negative in alte parti. Uneori, asemenea informatii pot fi deduse printr-un studiu al standardului.

Incertitudinea datorata metodei de masurare

Probabil cel mai dificil de evaluat, este componenta incertitudinii asociata metodei de masurare, in special daca aplicarea acelei metode s-a dovedit a conduce la rezultate cu o variabilitate mai mica decat prin aplicarea oricarei alte metode cunoscute. Dar, este probabil sa existe alte metode, unele inca necunoscute sau neaplicabile, care sa conduca sistematic la rezultate diferite, de validitate aparent egala. Aceasta implica o distributie de probabilitate a priori si nu o distributie de rezultate din care sa poata fi extrase esantioane pentru o prelucrare statistica. Astfel, chiar daca incertitudinea metodei poate fi incertitudinea dominanta, singura informatie adesea disponibila pentru evaluarea incertitudinii standard provine din propria cunoastere a lumii fizice.

Observatie

Determinarea valorii aceluiasi masurand prin metode diferite, fie in acelasi laborator, fie in laboratoare diferite sau prin aceeasi metoda in laboratoare diferite, poate adesea sa furnizeze o informatie valabila despre incertitudinea care se poate atribui unei anumite metode. In general, schimbarea intre laboratoare a etaloanelor sau a materialelor de referinta pentru efectuarea unei masurari independente este o metoda comoda de evaluare a incertitudinii si de identificare a efectelor sistematice nepuse in evidenta in prealabil.

Aplicatii

Se masoara o rezistenta prin metoda ampermetrului si a voltmetrului, in montaj amonte. Conditiile de masurare sunt urmatoarele

ampermetrul utilizat este de tip magnetoelectric, de clasa de exactitate c = 0,5 domeniul de lucru de 50 mA si rezistenta interna de 8 Ω; curentul indicat I_m     = 39,5 mA.

voltmetrul utilizat este numeric, cu 3+1 cifre, domeniul de lucru U_n = 20 V; relatia indicata de constructor pentru calculul erorii tolerate este DU = 0.2 % U_n+ 0.2 % U_m iar tensiunea masurata este U_m = 15,85 V.

repetarea masurarilor nu a pus in evidenta componente ale incertitudinii de tip A.

Se cere sa se identifice si sa se evalueze componentele incertitudinii de masurare, impreuna cu distributiile aferente si sa se evidentieze modul cum intervin acestea in relatia de masurare.

Rezolvare.

Masurarea rezistentei se face printr-o metoda indirecta, conform schemei din figura 16, valoarea masurandului fiind determinata din relatia de masurare:

(146)

Relatia elimina deja eroarea de metoda, posibila cand se neglijeaza rezistenta interna a ampermetrului.

Surse de incertitudine

Datorate obiectului supus masurarii: nu sunt.

Datorate aparatelor de masurat.

Voltmetrul introduce o eroare asupra valorii masurate U_m,. Pentru corectarea acestui efect sistematic se introduce corectia DU₁, care poate lua orice valoare, cu egala probabilitate, intre limitele calculate cu relatia data de constructor

DU_1max= 20V 15,85 V = 0,0717 V.

In consecinta variabila aleatoare DU are o distributie rectangulara, este de valoare medie nula si este afectata de o incertitudine de determinare care se evalueaza cu relatia (142)

u(DU₁)=sau in valori relative

In afara acestei incertitudini, voltmetrul introduce si o componenta datorata rezolutiei insuficiente a afisajului, pentru care se introduce in relatia de masurare o noua corectie DU₂, distribuita de asemenea rectangular, cu limitele DU_2max = 0,005V, cu valoarea medie nula, dar cu o abatere standard u(DU₂) = 0,003 V sau in valori relative u_r(DU₂) = 0,02%.

In relatia de masurare, cele doua corectii trebuie introduse aditiv asupra valorii masurate U_m.

Ampermetrul introduce o eroare datorata imperfectiunilor constructive. Corectarea acesteia se face cu termenul aditiv DI, care poate lua orice valoare, cu egala probabilitate, intre doua limite calculate pe baza indicelui de clasa

Variabila aleatoare DI este afectata de o incertitudine egala cu este abaterea standard a distributiei rectangulare de limite DI_max

sau in valori relative

Eroarea de determinare a rezistentei interne a ampermetrului nu este specificata. Presupunand ca aceasta nu depaseste 0,5%, atunci eroarea maxima nu este mai mare de:

Termenul aditiv de corectie Dr_A, urmeaza o distributie rectangulara, de medie nula si abatere standard u(Dr_A):

sau in valori relative .

In afara acestor surse, o incertitudine de masurare poate aparea si datorita temperaturii mediului ambiant, diferita de cea specificata (de exemplu, la definirea masurandului). Efectul temperaturii trebuie corectat cu un termen aditiv care actioneaza asupra valorii masurate R_m notat in consecinta, DR. Enuntul problemei nu ofera date pentru evaluarea incertitudinii astfel introduse.

Sursele de incertitudine de interactiune, in care intra cele de metoda, au fost deja tratate si eliminate prin utilizarea relatiei corectate de calcul al rezultatului masurarii.

In final, ecuatia de masurare (de determinare a rezultatului) capata forma

in care toti termenii corectie au media nula (adica valoare zero), dar marcheaza existenta unor incertitudini (abateri standard) calculate mai sus. Pentru a pregati operatia viitoare de compunere a incertitudinilor partiale (§ 7) evidentiate, ar mai trebui analizat daca acestea sunt independente statistic sau sunt corelate.

Pentru comoditate, incertitudinile se grupeaza intr-un tabel, numit si 'bugetul incertitudinilor'

Bugetul incertitudinilor