Ecuatiile in coordonatele fazelor (modelul in coordonatele naturale)

Ecuatiile in coordonatele fazelor (modelul in coordonatele naturale)

Se considera o masina asincrona trifazata cu rotor bobinat la care atat statorul cat si rotorul prezinta simetrie cilindrica (rotorul in colivie simetrica se poate reduce la o infasurare trifazata simetrica). In cadrul modelului in coordonatele fazelor (naturale) se vor utiliza indicii A, B, C pentru cele trei faze statorice si a, b, c pentru fazele rotorice.

In figura 1 este reprezentat modelul in coordonatele fazelor al masinii considerate. Axele de referinta, statorica R_s si rotorica R_r, s-au considerat suprapuse axelor fazelor, statorica A respectiv rotorica a. Rotorul are viteza unghiulara in termeni electrici . Pozitia sa este indicata de unghiul , masurat intre axele R_s si R_r.

Fig. 1. Modelul fizic al unei masini asincrone trifazate cu rotorul

bobinat.

Se adopta ca ipoteze de lucru neglijarea saturatiei si a pierderilor in fier. Se considera de asemenea ca repartitia campului magnetic de-a lungul intrefierului (constant) este sinusoidala. Respectand asocierea sensurilor pozitive corespunzatoare receptorului, ecuatiile tensiunilor si fluxurilor in valori momentane, se pot scrie sub forma matriciala in felul urmator:

, (1)

si

, (2)

unde matricea tensiunilor si matricea curentilor au forma:

(3)

iar matricea rezistentelor:

. (4)

Cu R_a s-a notat rezistenta pe faza a infasurarii statorice (s-a considerat R_A = R_B = R_C) iar cu R_a , rezistenta pe faza a infasurarii rotorice (analog, R_a = R_b = R_c).

Inductivitatile reale care caracterizeaza modelul fizic al masinii considerate sunt: inductivitatea totala proprie corespunzatoare unei faze statorice L_AA, respectiv rotorice L_aa ; inductivitatea mutuala intre doua faze statorice L_AB, respectiv intre doua faze rotorice L_ab ; inductivitatea mutuala inre o faza statorica si una rotorica L_Aa.

Inductivitatile totale proprii L_AA si L_aa pot fi scrise sub forma:

L_AA = L_AA + L_AAu , (5)

respectiv

L_aa = L_aa + L_aau , (6)

unde L_AA si L_aa sunt inductivitatile proprii de scapari ale unei faze statorice, respectiv rotorice iar L_Aau si L_aau sunt inductivitatile proprii utile ale unei faze statorice, respectiv rotorice. Aceste inductivitati proprii se refera la alimentarea monofazata a infasurarii si sunt definite pe baza campului util care strabate intrefierul. Prin urmare se poate scrie:

L_AAu = L_AAh si L_aau = L_{aah ,} (7)

unde L_AAh si L_aah sunt inductivitatile principale ale unei faze statorice respectiv rotorice la alimentarea monofazata.

Intre inductivitatile totale proprii ale celor trei faze statorice, exista relatia:

L_AA = L_BB = L_CC . (8)

Similar pentru fazele rotorice:

L_aa = L_bb = L_{cc .} (9)

Inductivitatile mutuale intre doua infasurari dispuse pe stator respectiv pe rotor se definesc cu ajutorul relatiilor urmatoare:

L_AB = L_AB + L_ABu , (10)

respectiv

L_ab = L_ab + L_abu , (11)

unde L_AB si L_ab sunt inductivitatile mutuale de scapari intre doua faze statorice, respectiv rotorice (sunt corespunzatoare campului magnetic de scapari) iar L_ABu si L_abu sunt inductivitatile mutuale utile intre doua faze statorice, respectiv rotorice (corespund campului magnetic util).

Tinand cont de simetria cilindrica a masinii se pot scrie relatiile:

Pentru (unghiul la centru intre fazele statorice),

L_ABu = L_BCu = L_CAu = L_AAh , (12)

respectiv pentru :

L_ACu = L_BAu = L_CBu = L_AAh . (13)

Pentru rotor se obtin relatii asemanatoare. Astfel:

pentru (unghiul la centru intre fazele rotorice),

L_abu = L_bcu = L_cau = L_aah , (14)

iar pentru ,

L_acu = L_bau = L_cbu = L_aah . (15)

Daca se tine cont de relatiile (12), (13), (14) si (15), relatiile (10) si (11) primesc forma:

L_AB = - L_AB - L_AAh , (16)

si

L_ab = - L_ab L_aah . (17)

Inductivitatile mutuale stator-rotor se definesc conform relatiilor:

(19)

(20)

(21)

(23)

In relatiile de mai sus, L_m reprezinta inductivitatea mutuala maxima intre o faza statorica si una rotorica atunci cand axele asociate celor doua infasurari coincid.

Trebuie remarcat ca sistemul de ecuatii (1) este neliniar, deoarece atat curentii cat si inductivitatile variaza in timp, respectiv functie de pozitia rotorului, fapt ce complica studiul.

Sistemul poate fi liniarizat prin utilizarea unor transformari adecvate prin care se obtine un set de ecuatii in care inductivitatile nu mai depind de timp respectiv de pozitia rotorului.