METODA LOCULUI RADACINILOR

METODA    LOCULUI RADACINILOR

Asa cum s-a aratat si in paragraful 1.1.8, proiectarea unui sistem inchis necesita incercari repetate. Trebuie determinat raspunsul sistemului la diferite marimi de intrare, iar dupa cateva incercari si ajustari, poate sa rezulte un sistem acceptabil. Importante, insa, sunt mijloacele rapide de analiza a rezultatelor diferitelor variante incercate.

Unul dintre aceste mijloace rapide de analiza il reprezinta chiar metoda locului radacinilor. Aceasta metoda evidentiaza comportarea tranzitorie a intregului sistem, efectele modificarii factorului de amplificare sau a constantelor de timp ale elementelor componente, iar configuratia retelelor de corectie poate fi rapid analizata.

LOCUL    RADACINILOR

Sistemul de ordinul doi (figura 1.24), a fost studiat si i s-a determinat raspunsul in timp

(paragrafele 1.1.2 si 1.1.3). Valoarea factorului de amplificare A, necesar pentru a asigura stabilitatea sistemului este o marime importanta care trebuie determinata in cazul analizei si sintezei sistemului. Functia de transfer a ansamblului motor-sarcina K_m / s(st t - constanta de timp si K_m factorul de transfer al motorului sunt date, odata ce motorul a fost ales pe baza unor consideratii legate de cerintele de putere ale sarcinii.

Cum se schimba raspunsul tranzitoriu, care depinde direct de localizarea radacinilor ecuatiei caracteristice, atunci cand marimile A si K_s variaza ? Pentru sistemul din figura 1.24 raspunsul poate fi obtinut pe cale analitica fara dificultati.

Functia de transfer care leaga marimea de iesire de cea de intrare este simplu de stabilit:

Raspunsul la un impuls unitar se determina din relatia (1.96), luand X_i(s)=1, si calculand transformata Laplace inversa:

Mai intai trebuie gasite radacinile numitorului expresiei (1.97), s²+s/t+ = 0 , ecuatie care are urmatoarele radacini:

Localizarea celor doua radacini ale ecuatiei determina comportarea in regim tranzitoriu; prin urmare, aceasta localizare da informatii asupra gradului de stabilitate a sistemului. Daca radacinile se afla in semiplanul drept s, raspunsul este de forma:

Daca radacinile s-ar afla pe axa imaginara, raspunsul are forma:

In ambele cazuri, sistemul este nesatisfacator, deoarece ecuatia (1.99) caracterizeaza un raspuns tranzitoriu oscilatoriu cu amplitudini crescatoare, iar ecuatia (1.100) evidentiaza un raspuns sinusoidal neamortizat. Localizarea radacinilor (figura 1.17, m₅, m₂, paragraful 1.1.7) determina natura stabilitatii sistemului. Factorul de amortizare, pulsatia proprie neamortizata si pulsatia de oscilatie pot fi stabilite din cunoasterea acestei localizari a radacinilor.

Locul radacinilor in functie de variatia marimii (AK_s) permite a se trage concluzii pe cale analitica, asupra comportarii tranzitorii a sistemului pentru toate valorile parametrului (AK_s). In practica, locul radacinilor poate fi dedus pe cale grafica, ceea ce ne da posibilitatea determinarii pozitiei radacinilor pentru diferite valori particulare ale amplificarii.

Deci, metoda locului radacinilor se bazeaza pe cunoasterea localizarii radacinilor sistemului, cu calea de reactie deschisa. In cele mai multe cazuri, localizarea se determina usor din functia de transfer a sistemului deschis, GH. Functia G(s) reprezinta functia de transfer a caii directe; iar H(s) este functia de transfer a caii de reactie. Aceste functii, incluse in schema bloc din figura 1.25, au urmatoarele expresii pentru exemplul din figura 1.24:

In expresiile urmatoare, faptul ca G(s) si H(s) sunt functii de s, va fi subinteles, adica, in loc de G(s) se va scrie simplu G, si in loc de H(s) se va scrie H.

Sa consideram expresia care leaga marimea de iesire de cea de intrare si care se deduce din schema bloc din figura 1.25:

in care 1+GH=0 reprezinta ecuatia caracteristica. Natura stabilitatii sistemului depinde de raspunsul lui la un impuls (componenta tranzitorie). Localizarea radacinilor ecuatiei 1+GH=0 determina gradul de stabilitate. Un numar complex de forma (a+jb) poate fi exprimat in forma polara precum urmeaza:

In general, radacinile ecuatiei caracteristice , sunt numere complexe (numerele reale sunt cazuri particulare ale numerelor complexe) si pot fi scrise in forma polara:

in care A_i - este modulul, iar F_i - unghiul radacinii. In mod similar, fiecare termen de forma (s+a) poate fi scris in forma polara daca sunt cunoscute modulul si unghiul de faza corespunzatoare, adica Ae^jF. Functia de transfer a sistemului deschis GH poate fi exprimata ca un cat de polinoame dezvoltate in factori, de exemplu:

Relatia (1.105) poate sa fie scrisa din nou in urmatoarea forma, care va fi totdeauna utilizata in analiza efectuata avand la baza metoda locului radacinilor:

Fiecare factor al functiei GH este considerat ca un numar complex si scris in forma polara tipica:

Asadar, intreaga functie GH este o marime complexa si poate fi adusa la forma polara,

Ecuatia algebrica din care se determina radacinile, 1+GH 1+ Ae^jF , deci

permite scrierea urmatoarelor doua relatii importante:

Unghiul lui GH, (notat cu q) in care:

modulul lui GH, (notat cu a

adica argumentul lui GH este un multiplu impar de 180^o, iar modulul lui GH este egal cu unitatea. Aceste doua relatii stau la baza metodei locului radacinilor.

Din comparatia relatiei (1.109) cu relatiile (1.111) si (1.112) rezulta o ecuatie de unghiuri:

si o ecuatie de module:

Locul radacinilor se traseaza prin determinarea locului tuturor punctelor s_i din planul s care satisfac relatia (1.113). Dupa ce locul a fost complet trasat, relatia (1.114) este folosita pentru a grada locul in valori ale factorului de amplificare K care corespund - valorilor particulare ale radacinilor pe locul construit.

Pentru a se evita confuziile, vom defini diferitele singularitati (puncte singulare) dupa cum urmeaza:

un zero este valoarea lui s pentru care numaratorul lui GH se anuleaza;

un pol este valoarea lui s pentru care numitorul lui GH se anuleaza;

o radacina este valoarea lui s care anuleaza expresia (1+GH). Trebuie retinut faptul ca, daca s_i , reprezinta un pol al lui GH, atunci s_i este si un pol al expresiei (1+GH), deoarece adaugarea unei cantitati la infinit da tot infinit.

Locul de transfer al tuturor punctelor pentru care suma algebrica a unghiurilor segmentelor determinate de zerouri si poluri, si respectiv punctele locului, este egala cu un multiplu impar de 180^o, reprezinta locul radacinilor.

In cele de mai sus s-au prezentat aspectele esentiale ale constructiei locului radacinilor; totusi, o serie de reguli care reduc timpul de constructie prin incercari succesive, sunt importante si vor fi prezentate in paragraful urmator.

REGULI PENTRU CONSTRUCTIA    RAPIDA

A    LOCULUI RADACINILOR

In cele ce urmeaza vor fi prezentate regulile, care ne dau posibilitatea sa trasam rapid un loc al radacinilor.

Regula 1 - Curbele continue, care reprezinta ramurile locului pleaca din fiecare pol al functiei GH, pentru care K=0. Ramurile locului, care sunt functii univoce de factorul de amplificare, se termina in zerourile lui GH, pentru care K=.

Regula 2 - Locul radacinilor include toate punctele axei reale care se afla la stanga unui numar impar de poli si zerouri.

Regula 3 - Atunci cand K tinde catre infinit, ramurile locului tind asimptotic catre linii drepte cu unghiurile:     , cu K=0,, pana se obtin toate unghiurile din intervalul 02p, in care n_p reprezinta numarul de poli si n_z numarul de zerouri.

Regula 4 - Abscisa punctului de pe axa reala din care diverg liniile asimptotice este data de: CG= Acest punct este denumit centrul de greutate al configuratiei zerourilor si polilor.

Regula 5 - punctul de ramificare s_b se determina din ecuatia:

in care reprezinta modulul vectorului determinat de punctul s_b de ramificare si zeroul sau polul de pe axa reala s=.

Cand zerourile si polii complexsi sunt plasati relativ departe de axa reala, acesti poli si zerouri pot fi neglijati in calculul punctului de ramificare.

Atunci cand zerourile si polii complexsi sunt apropiati de axa reala ei trebuie sa fie luati in consideratie.

De asemenea, daca exista numai un singur pol sau zero pe axa reala, trebuie sa se includa in calcul si zerourile si polii complexsi.

Regula 6 - Doua radacini parasesc sau ating normal (sub unghiuri de +90^o) axa in punctul de amplificare.

Regula 7 - Unghiurile de plecare ale ramurilor din polii complexsi si unghiurile de sosire ale acestora in zerourile complexe pot fi determinate scazand 180^o din suma unghiurilor vectorilor construiti intre polul (zeroul) considerat si respectiv toti ceilalti poli sau zerouri.

In ANEXA 2, vor fi prezentate locurile radacinilor pentru cateva sisteme simple.