Regimuri tranzitorii ale masinilor de curent continuu

REGIMURI TRANZITORII ALE MASINILOR DE CURENT CONTINUU

Regimurile tranzitorii caracterizeaza functionarea unei masini de curent continuu atunci cand urmare a modificarii unor parametrii precum tensiunea de excitatie, tensiunea la bornele indusului, rezistenta de sarcina sau cuplul la ax, masina trece dintr-un regim stationar de functionare in altul. In aceste regimuri dinamice variaza in timp atat marimi de tip electromagnetic, ale caror modificari definesc regimul tranzitoriu electromagnetic, cat si cuplul si turatia, marimi specifice regimului tranzitoriu mecanic.

1. Regimuri tranzitorii specifice generatoarelor de curent continuu

Ansamblul de ecuatii asociat regimului dinamic al unei masini functionand ca generator cu excitatie separata este constituit din:

- ecuatia circuitului de excitatie,

,

unde R_e , L_e , L_se sunt parametrii rezistenta si inductivitate ai infasurarii de excitatie avand w_e spire; este posibil ca inductivitatea L_e sa se modifice in timpul procesului tranzitoriu;

- ecuatia circuitului indusului,

,

unde R_A , L_A sunt parametrii rezistenta si inductivitate ai infasurarii indusului; de asemenea, valoarea inductivitatii L_A poate sa se modifice in timpul procesului tranzitoriu datorita comportamentului neliniar al circuitului magnetic.

Atunci cand periile sunt plasate in axa neutra a polilor inductori, cele doua circuite electrice, de excitatie si al indusului, nu se afla in cuplaj magnetic; fluxul inductor este longitudinal, iar cel de reactie a indusului este transversal. In cazul in care saturatia este neneglijabila, atunci cele doua fluxuri magnetice, F = L_eI_e si F_r = L_AI_A se interconditioneaza;

- expresia tensiunii electromotoare induse,

,

unde F este fluxul magnetic rezultant in directie longitudinala, iar W viteza unghiulara a rotorului;

- ecuatia circuitului de sarcina,

,

unde R_s, L_s sunt parametrii rezistenta si inductivitate ai sarcinii;

- dependenta fluxului magnetic rezultant de curentii de excitatie si indus:

- expresia cuplului electromagnetic,

ecuatia dinamicii rotorului,

unde J este momentul de inertie al ansamblului in miscare de rotatie, m_a cuplul de antrenare al motorului primar si m_p cuplul echivalent pierderilor de frecare mecanica, ventilatiei si pierderilor in miezul magnetic.

Nelinearitatea acestui sistem de ecuatii face ca solutia problemelor de regim tranzitoriu, chiar si a celor mai simple, sa poata fi obtinuta numai pe cale numerica. Totusi, anumite abordari analitice sau grafoanalitice admitand ipoteze simplificatoare sunt utile. In cele ce urmeaza se analizeaza variatia curentului de excitatie la alimentarea acestui circuit si variatia tensiunii la borne la un salt al rezistentei circuitului de excitatie; se presupune ca viteza rotorului se mentine constanta si se neglijeaza reactia curentilor indusi in zonele masive ale circuitului magnetic ca urmare a variatiei fluxului magnetic inductor.

A.    Regimul tranzitoriu la alimentarea excitatiei

A1. Masina are caracteristica magnetica liniara, L_e = const. In cazul generatorului cu excitatie independenta, pentru

solutia ecuatiei:

,

cu conditia initiala i_e(0) = 0, este

unde t_ex = L_e/R_e este constanta de timp a circuitului de excitatie.

uex

In cazul generatorului derivatie cu caracteristica magnetica liniara, tensiunea aplicata circuitului de excitatie este dependenta de curentul in acest circuit de forma, fig. 2.81:

Urem

,

ie

daca se admite ca tensiunea la bornele indusului este egala cu tensiunea electromotoare. In acest

Fig. 2.81 caz, ecuatia circuitului de excitatie este:

si are solutia:

Constanta de timp ce caracterizeaza cresterea curentului de excitatie:

, unde ,

este dependenta de panta k a caracteristicii de mers in gol, fig. 2.61, fiind de 1/(1-a) ori mai mare decat la generatorul cu excitatie independenta avand acceleasi valori ale parametrilor R_e, L_e ai circuitului de excitatie.

A2. Masina are caracteristica magnetica neliniara. In cazul generatorului cu excitatie independenta ecuatia circuitului de excitatie este:

,

unde w_e este numarul de spire al acestei infasurari. Se admite ca fluxul prin infasurarea de excitatie depinde doar de curentul de excitatie, ceea ce inseamna asocierea la ecuatia de mai sus a caracteristicii magnetice nelineare F(i_e), fig. 2.82.

Se noteaza cu F_e valoarea fluxului corespunzatoare curentului de excitatie I_e in finalul regimului tranzitoriu. Este evident ca U_ex = R_eI_e

Fig. 2.82 Din ecuatie se obtine expresia timpului:

Pe baza dependentelor si a caracteristicii magnetice F(i_e),    fig. 2.83, se construieste dependenta , fig. 2.84, dupa care, prin integrare rezulta variatiile in timp ale fluxului magnetic F(t) si ale curentului de excitatie i_e(t), fig. 2.85. Variatia in timp a acestor doua marimi este diferita de una exponentiala, specifica masinii cu caracteristica magnetica liniara.

In cazul generatorului cu excitatie derivatie, determinarea variatiilor in timp ale fluxului si curentului de excitatie presupune integrarea sistemului:

,

Fig. 2.83 Fig. 2.84 Fig. 2.85

In acest caz se tine cont in constructia curbei f₁(i_e) ca u_ex = u_e si de caracteristica de mers in gol u_e(i_e), fig. 2.86, deoarece:

Ca urmare a faptului ca tensiunea aplicata la bornele circuitului de excitatie creste pe masura cresterii fluxului magnetic de la valoarea U_rem la valoarea de regim stabilizat, curentul de excitatie se stabilizeaza dupa un interval de timp mai mare decat la generatorul cu excitatie

Fig. 2.86 independenta.

B. Fortarea excitatiei unui generator de curent continuu

Studiul acestui regim tranzitoriu are ca scop determinarea vitezei de crestere a tensiunii la bornele unui generator de curent continuu derivatie, atunci cand rezistenta circuitului de excitatie se modifica brusc de la valoarea R_e1 la R_e2 . Neglijand caderea de tensiune in circuitul indusului, acest regim tranzitoriu presupune integrarea setului de ecuatii:

cu conditia initiala i_e(0) = I_e1, unde I_e1 este valoarea curentului de excitatie corespunzatoare valorii R_e1 a rezistentei circuitului de excitatie. Saltul rezistentei circuitului de excitatie de la valoarea R_e1 la noua valoare R_e2 este urmat de un proces tranzitoriu, a carui durata depinde in cazul real al unei caracteristici magnetice [G1] F(i_e) nelineare in primul rand de aceasta, apoi de valoarile initiale, R_e1 sau I_e1 si de valoarea finala R_e2.

Daca U₁ este tensiunea la borne in momentul initial si U₂ este valoarea dupa modificarea rezistentei circuitului de excitatie, se defineste ca viteza de crestere a tensiunii marimea,

unde t₁ , fig. 2.87, este intervalul de timp in care tensiunea ajunge la valoarea    U₁ + 0,632 (U₂ - U₁).

Determinarea functiei u_b(t) = k_enF(t) , cu conditia u_b(0) = U₁, urmeaza rationamentul prezentat mai sus, cu singura deosebire ca curentul

Fig. 2.87 de excitatie in momentul initial nu mai este nul.

2. Regimuri dinamice ale motoarelor de curent continuu

Regimuri dinamice apar in functionarea unui motor de curent continuu atunci cand se modifica tensiunea la bornele indusului, sau rezistenta circuitului de excitatie, sau rezistenta circuitului indusului, sau cuplul rezistent la ax.

Ecuatiile asociate regimului dinamic sunt:

- ecuatia circuitului de excitatie, avand rezistenta R_e si inductivitatea de dispersie L_se

- ecuatia circuitului indusului,

- ecuatia caracteristicii magnetice,

- ecuatia dinamicii rotorului,

unde m_r inglobeaza cuplul rezistent la ax si cuplul echivalent tuturor pierderilor in masina.

Se vor analiza in continuare cateva exemple de regimuri dinamice pentru flux F constant, respectiv curent de excitatie constant si motorul compensat , F F(i_A). In acest caz sistemul de ecuatii este liniar; necunoscutele i_A(t) si W(t) se determina prin integrarea sistemului de ecuatii:

unde s-au facut notatiile c = k_eF, c₁ = k_mF. Prin eliminarea necunoscutei i_{A ,} rezulta ecuatia diferentiala liniara de ordinul 2 a vitezei unghiulare:

Cu notatiile

- constanta de timp a circuitului indusului,

- constanta de timp mecanica,

rezulta forma ecuatiei:

Prin integrarea numerica a acestei ecuatii se obtin solutiile W(t) si apoi i_A(t) pentru orice functii de variatie in timp ale tensiunii la borne u_b(t) si ale cuplului rezistent la ax, m_r(t). Pe cale analitica pot fi obtinute aceste solutii pentru variatii "treapta" ale tensiunii, respectiv cuplului.

In caz ca pentru t > 0 termenul liber este o constanta, solutia generala a ecuatiei vitezei unghiulare este:

,

unde W_p este o solutie particulara a ecuatiei; t = -1/r₁ , t = -1/r₂ , unde

sunt radacinile ecuatiei caracteristice. A si B sunt constante de integrare care se determina pe baza conditiilor initiale asociate ecuatiei.

A. Regimul dinamic la variatia treapta a tensiunii la bornele indusului si cuplu rezistent constant. Fie expresiile de variatie in timp ale tensiunii de alimentare si cuplului rezistent, fig. 2.88:

Regimul permanent corespunzator tensiunii U₁ este caracterizat prin valorile curentului in indus si ale vitezei unghiulare,

,

iar in finalul (t ) regimului dinamic determinat de saltul tensiunii de la valoarea U₁ la U₂, aceste marimi vor avea valorile:

Fig. 2.88    Fig. 2.89

Prin urmare, una din conditiile initiale este W W

Ecuatia scrisa pentru t 0 (t > 0) are forma , ceea ce inseamna ca a doua conditie initiala este .

Constantele de integrare satisfac prin urmare sistemul rezultat prin aplicarea conditiilor initiale:

Solutia particulara W_p a ecuatiei in conditiile regimului dinamic luat in studiu este:

Rezulta expresiile constantelor de integrare:

si solutia regimului dinamic al vitezei unghiulare:

Variatia in timp a curentului in indus are expresia:

Expresiile W(t) si i_A(t) de mai sus sunt valabile daca , respectiv , adica atunci cand t si t au valori reale. In acest caz variatiile in timp ale turatiei si curentului sunt aperiodice, fig. 2.89.

Daca ecuatia caracteristica are radacini complexe, de forma a + jb, ceea ce rezulta atunci cand , de exemplu in cazul unei actionari cu inertie redusa, solutia vitezei unghiulare va fi de forma:

,

respectiv variatia in timp va fi oscilatoriu amortizata.

B. Regimul dinamic la variatie treapta a cuplului rezistent, tensiunea la borne fiind mentinuta constanta. Fie expresiile de variatie in timp ale cuplului rezistent si tensiunii la borne, fig. 2.90:

Regimul permanent corespunzator cuplului rezistent M_r1 este caracterizat prin valorile curentului in indus si ale vitezei unghiulare:

iar in finalul (t ) regimului dinamic determinat de saltul de cuplu la ax de la valoarea M_r1 la M_r2 ,

Scriind ecuatia pentru t 0 (t > 0) , , rezulta conditia initiala . Cum a doua conditie initiala este i_A(0) = I_A1 , se va deduce din sistemul de ecuatii de regim tranzitoriu ecuatia diferentiala a necunoscutei i_A(t) prin eliminarea W(t) . Rezulta:

Solutia acestei ecuatii cu cele doua conditii initiale precizate si este:

Pe baza primei ecuatii de regim tranzitoriu se obtine solutia vitezei unghiulare:

Reprezentarea grafica a solutiilor acestui regim dinamic aperiodic este prezentata in figura 2.91.

Fig. 2.90 Fig. 2.91

C. Regimul dinamic la variatia treapta a rezistentei circuitului indusului, tensiunea de alimentare U_b si cuplul rezistent la ax ramanand constante.

C1. Cazul inserierii unei rezistente R_s in circuitul indusului. In acest caz se modifica constantele de timp ale regimului dinamic la valorile si . Odata ce cuplul nu se modifica, valorile de regim permanent initial si final ale curentului sunt aceleasi, I_A1 = I_A2 = M_r/c₁ ; vitezele unghiulare corespunzatoare sunt diferite:

Avem astfel de a face cu un regim dinamic similar celui descris in cazul A, cu deosebirea ca in expresiile solutiilor se vor inlocui constantele t_A t_m cu t'_A­, t'_m si U₁ = U_b , U₂ = U_b - R_sI_A1.

C2. Cazul scurtcircuitarii unei rezistente R_s inseriata cu circuitul indusului este similar cu cel anterior (C1), numai ca in expresiile solutiilor se folosesc ca si in cazul A constantele de timp t_A t_m si tensiunile U₁ = U_b , U₂ = U_b - R_sI_A1.