STABILITATEA ; METODA ANALIZEI IN DOMENIUL FRECVENTEI

STABILITATEA ; METODA ANALIZEI IN DOMENIUL FRECVENTEI

1. APROXIMAREA ASIMPTOTICA

Functiile cele mai des intanlite in studiul sistemelor de reglare sunt prezentate mai jos:

factori independenti de frecventa - K;

factori corespunzand unor zerouri si poli simpli in origine - jw sau 1/(- jw

factori liniari corespunzand unor zerouri simple (jwt

factori liniari corespunzand unor poli simpli (jwt

factori cuadratici

[(jw w_n x w w_n

Caracteristicile raspunsului la frecventa pentru fiecare din acesti factori vor fi trasate punct cu punct. Din insasi aliura acestor curbe caracteristice ale modulului exprimat in dB (dB=log₁₀A₂/A₁), in functie de logaritmul frecventei rezulta o aproximare asimptotica liniara care permite o trasare rapida. In toate aceste cazuri este necesar sa utilizam hartie cu scara logaritmica in lungul unei axe (pentru frecventa) si cu scara liniara in lungul celeilalte axe (modulul in dB sau unghiul de faza in grade).

Factori independenti de frecventa Constanta K poate fi reprezentata grafic pe baza relatiei:

in care, K reprezinta produsul tuturor factorilor independenti de frecventa ai functiei GH(jw , scrisa in forma urmatoare:

Zerouri si poli in origine

Pentru zerouri si poli in origine, (jw)ⁿ sau 1/(jw)ⁿ; caracteristicile modulului si fazei se determina calculand logaritmul acestor functii:

Pentru zerouri si poli simpli, n=1. Modulul in decibeli este n20log₁₀w , iar unghiul de faza n90^o; semnul + se ia pentru zerouri, iar semnul - pentru poli.

Zerouri simple

Pentru factori corespunzatori unor zerouri simple de forma (jwt ) se utilizeaza o aproximare asimptotica liniara.

Pentru wt <<1,

Asadar pentru valori reduse ale lui w, modulul ramane practic de 0 dB.

Atunci cand wt >>1

Procedura ce trebuie urmata pentru trasarea caracteristicii amplitudine-frecventa pentru factorul (jwt ) este urmatoarea:

a)      se determina pulsatia de frangere, w t

b)      se traseaza o panta de 6 dB/octava care trece prin punctul de frangere spre domeniul pulsatiilor inalte, si o dreapta in lungul axei de 0 dB in domeniul pulsatiilor joase.

Procedura ce trebuie urmata pentru trasarea caracteristicii faza-frecventa este urmatoarea:

a)      se fixeaza pe diagrama punctul care corespunde pulsatiei de frangere si un al doilea punct cu o pulsatie mai mica cu o decada;

b)      se traseaza un segment de dreapta cu panta de +45^o/decada (+13,2^o/octava) care incepe in punctul cu o pulsatie mai mica cu o decada decat pulsatia de frangere si care se continua pana se atinge +90^o. Dupa aceea, caracteristica prezinta un palier.

Poli simpli . Factorii corespunzatori unor poli simpli, care au forma 1/(jwt , pot fi trasati intr-un mod similar cu factorii referitori la zerouri simple. Deoarece logaritmul inversului unei marimi este egal si de semn contrar cu logaritmul marimii:

caracteristicile de frecventa pentru factorul corespunzator unui pol simplu sunt similare cu cele pentru un factor referitor la un zero simplu cu singura deosebire ca primele sunt simetricele ultimelor in raport cu axa absciselor.

Pentru frecvente mai joase, w<<1/t , amplitudinea este practic 0 dB.

Pentru frecvente inalte, w>>1/t , asimptota este o dreapta de panta -6 dB/octava.

In ceea ce priveste caracteristica faza-frecventa, ea e simetrica de asemenea caracteristicii corespunzatoare zeroului simplu in raport cu axa absciselor. Deoarece factorul referitor la polul simplu se afla la numitorul lui GH, semnul unghiului de faza este schimbat:

Ecuatia (1.122) corespunde unei curbe arctangenta care pleaca de la un unghi de faza si se apropie de -90^o pentru frecvente foarte inalte. Unghiul de -45^o este atins la o pulsatie egala cu cea de frangere. Aproximarea prin segmente de dreapta care a fost utilizata pentru zeroul simplu este valabila si in acest caz.

Daca functia de transfer are zerouri si poli de ordin superior, caracteristica amplitudine-frecventa, si repectiv faza-frecventa sunt similare cu cea pentru zero sau pol simplu.

Zerouri si poli cuadratici . Uneori, in functia de transfer GH(jw , apar factori referitori la polii cuadratici care au forma:

Caracteristicile de frecventa se traseaza dupa ce se precizeaza pulsatia de frangere si factorul de amortizare pentru factorul cuadratic dat, pe baza comporararii expresiei sale, cu expresia (1.123).

Deoarece cele mai multe functii de transfer GH(jw , determinate in studiul sistemelor de reglare, sunt compuse din factori

cuprinzand zerouri si poli, pentru determinarea modulului in dB si a fazei ca functii de logaritmul frecventei, trebuie luati in consideratie numai factorii enumerati mai sus. Pe baza cunoasterii caracteristicilor de frecventa a acestor factori, se pot determina caracteristicile functiei GH(jw prin adunarea convenabila a curbelor reprezentand modulele si fazele factorilor componenti.

2. CARACTERISTICILE POLARE SI CARACTERISTICILE

AMPLITUDINE - FAZA

Deoarece informatii utile in legatura cu stabilitatea pot fi obtinute direct din caracteristicile de frecventa, in mod frecvent nu se mai face apel la caracteristicile polare. Cu toate acestea, in unele situatii, aceste ultime caracteristici sunt necesare. Ele se traseaza punct cu punct, adica introducand in GH(jw diferite valori pentru w, calculand apoi GH si argGH(jw si reprezentand pe diagrama punctul corespunzator, asa cum se vede in figura 1.26.

Aceasta procedura este destul de laborioasa si trebuie evitata. Caracteristica polara se poate    trasa mai simplu din caracteristicile de frecventa care permit citirea directa a amplitudinii (dupa convertirea decibelilor in unitati obisnuite) si a fazei corespunzatoare diferitelor valori ale pulsatiei w

O alta metoda de a studia raspunsul la frecventa a unui sistem se bazeaza pe caracteristica amplitudine (in dB) - faza. In aceasta caracteristica, axa ordonatelor este rezervata amplitudinilor, iar axa absciselor este gradata in unghiuri de faza. Pulsatia w reprezinta parametrul caracteristicii. Avantajul acestei caracteristici consta in faptul ca, atunci cand factorul de amplificare K variaza, caracteristica sufera doar o translatie paralela cu axa ordonatelor (in sus pentru K crescator).

3. PLANUL 's' SI PLANUL GH(s)

Planul 's' este utilizat atunci cand se studiaza stabilitatea din punctul de vedere al metodei locului radacinilor. Radacinile ecuatiei 1+GH(s)=0 sunt localizate in acest plan 's'. Daca toate radacinile se afla in semiplanul stang, regimul tranzitoriu datorat unui impuls la intrarea sistemului dispare in timp si sistemul este deci stabil. Daca vreo radacina se afla in semiplanul drept, termenul exponential respectiv are o valoare care creste odata cu timpul. Perechile de radacini complexe de ordinul mm pe axa imaginara, dar nu in origine, au drept corespondente oscilatii sinusoidale a caror amplitudine nici nu creste, nici nu se micsoreaza in timp. Perechile de radacini complex conjugate pe axa imaginara sau radacini in origine, de ordinul doi, si mai mare, corespund unui raspuns a carui marime creste in timp, oscilatoriu sau monoton; in consecinta sistemul este instabil. Daca radacinile de pe axa imaginara sunt de ordinul mm, si toate celelalte radacini se afla in semiplanul stang, raspunsul sistemului este marginit si sistemul este stabil la limita, adica o situatie la limita dintre stabilitate si instabilitate. Suntem interesati in a sti daca vreo radacina se afla in semiplanul drept, deoarece, in acest caz, sistemul este instabil. Pentru a stabili daca vreo radacina a ecuatiei 1+GH=0 se afla in semiplanul drept, consideram conturul din figura 1.27, care include toate radacinile posibile din semiplanul drept. (raza portiunii circulare a conturului R). Acestui contur din planul 's' ii corespunde un contur in planul GH. O curba inchisa C₁ din planul 's' (figura 1.28 a) se transforma intr-o curba inchisa C₂ in planul GH (figura 1.28 b). Daca un punct se deplaseaza in lungul curbei C₁, in directia sagetii, punctul corespunzator din planul GH se deplaseaza in lungul curbei C₂ intr-o directie care depinde de functia GH(s). Notand cu s_j o radacina a ecuatiei 1+GH=0, si presupunand ca prin punctul s_j din planul 's' trece chiar conturul C₁, atunci vom avea: 1+GH(s_j)=0, pentru s=s_j , de unde GH(s_j)= -1, si conturul C₂ din planul GH trece prin punctul GH= -1.

Ecuatia caracteristica tipica pentru un sistem inchis este:

in care -s₁, -s₂, reprezinta radacinile, iar -s_a, -s_b, sunt polii functiei (1+GH). Polii functiei GH sunt identici cu ai functiei (1+GH), deoarece, luand s=s_i in ambele functii, se obtine un modul infinit. Fiecare factor din expresia (1+GH) este o marime complexa si poate fi reprezentata printr-un vector. Acesti vectori au originea in punctele fixe -s₁, -s₂, sau in polii -s_a, -s_b, si varful in punctul variabil s. Presupunem ca punctul variabil s se deplaseaza, in sensul rotirii acelor ceasornicului, pe un contur inchis in jurul lui s₂. Vectorul s+s₂ realizeaza o rotatie completa in sensul rotirii acelor ceasornicului, deoarece conturul ales inconjoara radacina -s₂. Cum toate celelalte radacini si toti ceilalti poli sunt in afara conturului, ceilalti vectori nu inregistreaza nici o rotatie. Deoarece termenul s+s₂ din relatia (1.124) isi schimba faza cu 360^o (corespunzator unei rotatii complete in jurul lui -s₂), functia (1+GH) inregistreaza si ea o variatie a fazei cu 360^o. Cum radacinile sunt date de numaratorul expresiei (1.124), o rotatie completa in sensul acelor ceasornicului in jurul lui -s₂ corespunde unei inconjurari in acelasi sens a originii in planul

In aceasta figura o inconjurare a originii planului (1+GH) in sensul acelor ceasornicului corespunde unui inconjur in acelasi sens a punctului -1+j0 din planul GH. Un inconjur in sensul acelor ceasornicului a unei radacini in planul s provoaca un inconjur in acelasi sens a punctului -1 in planul GH. Un inconjur in sensul acelor ceasornicului al unui pol in planul s, conduce la un inconjur in sens invers acelor ceasornicului a punctului -1 din planul GH.

In sens general, putem afirma ca: un inconjur in sensul acelor ceasornicului a unui domeniu din planul s corespunde cu n_N=n_R - n_P inconjururi in acelasi sens a punctului -1 din planul GH, in care n_R - este numarul de radacini aflate in domeniul considerat din planul s, iar n_P numarul de poli din acelasi domeniu. In general n_N este pozitiv, daca n_R > n_P in semiplanul drept. In acest caz punctul -1 este inconjurat in acelasi sens ca si domeniul din planul s. Daca n_N=0, punctul -1 nu este inconjurat. Atunci cand n_N este negativ, n_R < n_P, punctul -1 este inconjurat in sensul opus in raport cu domeniul din planul s.

4. CRITERIUL DE STABILITATE NYQUIST

Metoda analizei in domeniul frecventei a stabilitatii unui sistem de reglare automata se bazeaza pe criteriul Nyquist. Utilizarea acestui criteriu ne permite sa determinam pe o cale simpla, grafica, stabilitatea unui sistem liniar (pentru ca aceste sisteme sunt studiate in lucrarea de fata). Criteriul Nyquist de stabilitate, poate fi formulat astfel: daca functia de transfer a sistemului deschis GH(s) este exprimata ca un cat de doua polinoame dezvoltate in factori simpli, in functie de variatia lui s,

si variabila s parcurge un contur format din axa imaginara de la -j la +j si din partea dreapta a unui cerc cu conturul in origine de la s=Re^jp la s=Re^-jp (cu R=), atunci transformarea conforma a acestui contur in planul GH(s) inconjoara punctul -1+j0 in sensul acelor ceasornicului de

ori, in care n_R - reprezinta numarul de radacini ale ecuatiei 1+GH=0 care se afla in semiplanul drept al planului s, iar n_P - numarul de poli ai lui GH din acelasi semiplan. Daca n_N este negativ atunci in planul GH inconjururile au loc in sens invers acelor ceasornicului.

Deoarece am luat in considerare, numai sisteme avand ecuatii caracteristice cu coeficienti reali constanti, radacinile ecuatiei caracteristice trebiue sa fie sau reale sau complex conjugate. Localizarea radacinilor, prezinta in acest caz, o perfecta simetrie in raport cu axa reala si este suficienta utilizarea unui contur mai simplu, limitat de axa imaginara pozitiva si portiunea superioara a semicercului de raza infinita (figura 1.27) pentru a determina daca in semiplanul drept se afla vreo radacina a ecuatiei 1+GH(s)=0.

Criteriul Nyquist da informatii referitoare la diferenta numarului de radacini si de poli ai expresiei 1+GH. Daca insa GH poate fi exprimat ca un cat de polinoame dezvoltate in factori (asa

cum se intampla deseori) si cum polii lui 1+GH sunt identici cu polii lui GH, numarul de poli din semiplanul drept ai lui GH poate fi determinat prin analiza expresiei (1.125). In aceste conditii, numarul de poli n_N cu partea reala pozitiva poate fi usor gasit. Numarul de inconjururi n_N in raport cu punctul -1+j0 in planul GH(s) se poate determina din transformata conforma in planul GH. Prin urmare doi din termenii relatiei (1.126) sunt cunoscuti, astfel ca numarul de radacini ale ecuatiei 1+GH=0 in semiplanul drept al planului s rezulta imediat: n_R=n_N+n_P (1.127).

Ca o concluzie, utilizand caracteristicile de frecventa (diagramele Bode) corelate cu criteriul Nyquist de stabilitate, putem observa daca vreo radacina a ecuatiei caracteristice se afla in semiplanul drept al planului s, si deci daca sistemul este sau nu stabil. Locul radacinilor si caracteristicile de frecventa asociate cu criteriul Nyquist pentru determinarea stabilitatii sunt perfect complementare.

K     Metoda locului radacinilor poate fi utilizata atunci cand sistemul de reglare automata este proiectat pe baza functiilor de transfer determinate analitic.

K     Metoda analizei in domeniul frecventei poate fi utilizata atunci cand sistemul este studiat pe cale experimentala sau cand se determina experimental anumite functii de transfer la frecventa care nu pot fi deduse analitic. Numarul de inconjururi n_N, in raport cu punctul -1 se determina trasand o dreapta din acest punct cu o directie oarecare; n_N este egal cu diferenta dintre numarul de intersectii intr-un sens dintre caracteristica polara si dreapta considerata, si numarul de intersectii de sens contrar.

5. CRITERIUL DE STABILITATE BAZAT PE CARACTERISTICILE

AMPLITUDINE - FRECVENTA SI FAZA - FRECVENTA

Caracteristicile amplitudine-frecventa si faza-frecventa pentru functii de transfer la frecventa pot fi utilizate in analiza stabilitatii unui sistem in doua moduri. In primul rand, dupa cum am mai afirmat, aceste caracteristici pot fi folosite pentru trasarea caracteristicii polare si apoi pentru a aplica criteriul Nyquist. Se poate insa formula si un criteriu de stabilitate 'echivalent', aplicabil direct la caracteristicile amplitudine-frecventa si faza-frecventa. In anumite cazuri, ar putea fi necesara trasarea caracteristicii polare in scopul verificarii utilizarii caracteristicilor de frecventa. Acest test este cerut in mod frecvent pentru sistemele stabile conditionat.

Criteriul de stabilitate Nyquist se bazeaza pe numarul de inconjururi in sensul acelor ceasornicului a punctului -1+j0 din planul GH de catre caracteristica polara. Daca n_P=0, asa cum se intampla deseori, si daca curba caracteristicii polare inconjoara sau trece prin acest punct, sistemul are in mod sigur cel putin o radacina in semiplanul drept sau pe axa imaginara si deci este instabil sau stabil la limita. Punctul din diagramele Bode (reprezentand caracteristicile de frecventa) care corespunde punctului critic -1+j0 din planul GH se poate determina calculand logaritmul lui -1, adica:

Punctul critic in diagrama Bode are o amplitudine de 0 dB si o faza de K180^o, in care K este un numar impar, ambele de aceeasi frecventa. Daca caracteristica polara a lui GH(jw inconjoara punctul -1+j0, atunci modulul lui GH(jw va fi mai mare decat unitatea atunci cand unghiul de faza este de 180^o. Prin urmare, inconjurarea punctului -1 in planul GH este echivalenta cu o amplitudine mai mare de 0 dB, atunci cand unghiul de faza este de 180^o in diagrama Bode. In aceste conditii, ecuatia caracteristica a sistemului are o radacina in jumatatea din dreapta a planului s si sistemul este instabil, daca nu exista nici un pol in acelasi domeniu. Daca amplitudinea este de exact 0 dB, atunci cand faza este de 180^o, caracteristica polara din planul GH trece exact prin punctul critic -1+j0 si radacinile se afla pe axa imaginara.