DETERMINAREA PUNCTULUI NAVEI CU OBSERVATII LA ASTRII.

DETERMINAREA PUNCTULUI NAVEI CU OBSERVATII LA ASTRII.

1. GENERALITATI.

Problema principala a astronomiei nautice o constituie determinarea coordonatelor geografice (latitudinea j si longitudinea l) ale punctului navei pe mare.

Amiralul francez Marcq de Saint-Hilaire, in anul 1875, a pus la punct teoria pe baza careia se pot determina simultan, pe cale grafica, latitudinea (j) si longitudinea (l) locului. Baza rezolvarii problemei punctului o constituie pozitia astrilor pe sfera cereasca.

Linia de pozitie astronomica este linia de pozitie obtinuta din masurarea inaltimii la un astru in functie de pozitia observatorului pe sfera terestra si pozitia astrului pe sfera cereasca.

2. CERCUL DE INALTIME.

Natura geometrica a liniei de pozitie determinata din masurarea unei inaltimi la un astru deriva din locul geometric care-l determina aceasta inaltime in raport cu astrul.

Pe sfera terestra, locul geometric determinat de aceeasi inaltime masurata la un astru este un cerc mic avand centrul in punctul subastral si raza egala cu complementul inaltimii, adica cu distanta zenitala.

AZ = arc de cerc vertical egal cu distanta zenitala

O = pozitia observatorului pe sfera terestra

Z = zenitul observatorului situat in O

A' = punctul subastral

z = distanta zenitala

Cercul de inaltime este locul geometric al punctelor de pe sfera terestra, din care observatorii masoara in acelasi moment aceeasi inaltime la astru, fiind un cerc mic pe sfera terestra cu centrul in punctul subastral (A') si raza egala cu distanta zenitala (z) a astrului (A); raza cercului de inaltime in Mm = distanta zenitala z in minute de arc ['] .

Cercul de inaltime se mai numeste si cerc de egala distanta zenitala.

Din punct de vedere geometric, cercul de inaltime este determinat de coordonatele geografice ale punctului subastral (proiectia pe sfera terestra a astrului A) ca centru si distanta zenitala ca raza.

Considerand sfera terestra concentrica cu sfera cereasca avem urmatoarea reprezentare :

Meridianele punctelor de pe glob si meridianele corespunzatoare pe sfera cereasca se afla in acelasi plan.

A' = proiectia astrului A pe sfera terestra si se numeste punct subastral; punctul A'

urmareste astrul A in miscarea diurna, descriind in 24 ore o paralela de latitudine.

Coordonatele geografice ale punctului subastral A' sunt :

j_A' = declinatia astrului d_A

l_A' = unghiul la pol la Greenwich al astrului P_Gr

P _Gr.W = T P _Gr.E = 360 - T

Observatii

- Latitudinea (j) unui punct de pe Pamant (Z') este egala cu declinatia (d) zenitului (Z)

corespunzator acelui punct;

- Longitudinea (l) unui punct de pe Pamant (Z') este egala cu unghiul la pol (P_Gr) la

Greenwich al zenitului (Z) corespunzator acelui punct.

Punctul navei se poate determina la intersectia a doua sau mai multe cercuri de inaltime rezultate din inaltimile observate simultan la un numar corespunzator de astrii. Dar rezolvarea grafica (trasarea cercurilor de inaltime) nu satisface cerintele practice ale navigatiei (1mm pe glob = 1 Mm glob cu raza de 3,44 m).

3. DREAPTA DE INALTIME. ELEMENTELE DREPTEI DE INALTIME.

Consideram sfera terestra unde avem punctul subastral al astrului A' si punctul estimat al navei Ze .

Cu centrul in A' si cu raza egala cu distanta zenitala z a astrului avem cercul de inaltime al astrului.

Cu centrul in Ze si cu raza egala cu eroarea in estima avem cercul de incertitudine al estimei.

Rezulta ca nava s-ar afla intr-un punct pe arcul MM' al cercului de inaltime determinat de intersectia acestuia cu cercul de incertitudine al estimei.

Arcul de cerc mare A'Ze situat in planul cercului vertical al astrului formeaza cu meridianul punctului estimat un unghi egal cu azimutul astrului ( Az in care se vede astrul din Ze ) .

Arcul A'Ze intersecteaza arcul MM' in punctul Z' - numit punct determinativ - reprezentand punctul cel mai apropiat de Ze situat pe cercul de inaltime.

Atunci rezulta ca :

ZZ' = A'Ze - A'Z'

unde A'Z' - raza cercului de inaltime adevarata a astrului egala cu distanta zenitala adevarata

( A'Z' = za = 90 - ha ) ;

A'Ze - raza cercului de inaltime estimata a astrului egala cu distanta zenitala estimata

( A'Ze = ze = 90 - he ) ;

ZeZ' = ze - za = ( 90 - he ) - ( 90 - ha ) = ha - he = Dh

ZZ' - reprezinta distanta in mile marine dintre punctul estimat al navei Ze si punctul

determinativ Z' de pe cercul de inaltime .

Dh poate fi :

- pozitiv (+) daca punctul estimat Ze se afla in exteriorul cercului de inaltime

adevarata, ha > he ;

- negativ (-) daca punctul estimat Ze se afla in interiorul cercului de inaltime

adevarata, ha < he .

Raza cercului de incertitudine, in comparatie cu raza cercului de inaltime, este foarte foarte mica, neinsemnata, deci si arcul MM' are o marime foarte mica.

De exemplu : pentru ha = 40 , A'Z' = za = 90 - ha = 50 60' = 3600 Mm.

Acest fapt a permis inlocuirea arcului MM' cu tangenta la acesta in Z' , sau cu alte cuvinte, segmentul MM' al tangentei la cercul de inaltime adevarata in Z' se confunda cu arcul MM' .

Dreapta de inaltime este tangenta la cercul de inaltime in punctul determinativ Z' .

Dh = ze - za = ha - he > 0 Dh = ze - za = ha - he < 0

Unghiul P_NZeA' reprezinta azimutul calculat (Az) , adica acela in care s-ar vedea astrul din punctul estimat Ze .

Elementele dreptei de inaltime sunt :

- azimutul estimat Az ;

- diferenta Dh = ha - he .

3.1. TRASAREA DREPTEI DE INALTIME PE HARTA MERCATOR.

Pentru a trasa pe harta Mercator o dreapta de inaltime rezultata in urma unei observatii la un astru, sunt necesare doua elemente :

- azimutul estimat sau calculat Az ;

- diferenta Dh in minute de arc (Mm) .

Trasarea, pe harta Mercator, a dreptei de inaltime se face astfel :

- prin punctul estimat Ze se traseaza azimutul estimat al astrului Az ;

- se stabileste pozitia punctului determinativ Z' in raport cu punctul estimat Ze la o distanta in Mm egala cu diferenta Dh in minute de arc, astfel :

- in sensul azimutului Az daca

Dh > 0 ;

- in sens opus azimutului Az daca

Dh < 0 ;

- prin punctul determinativ Z' se traseaza dreapta de inaltime ca perpendiculara, ridicata in ambele sensuri, pe directia determinata de azimutul estimat Az .

3.2. CALCULUL ELEMENTELOR DREPTEI DE INALTIME.

Pentru trasarea dreptei de inaltime rezultata din masurarea inaltimii la astru este necesar sa se calculeze :

- inaltimea adevarata ha ;

- inaltimea estimata he ;

- azimutul estimat Az .

Elemente necesare pentru calcul :

- data calendaristica : ziua, luna, anul;

- ora O si citirea la loch Cℓ pentru determinarea punctului estimat Ze ;

- inaltimea instrumentala hi masurata la astru cu sextantul;

- ora la cronometru A pentru momentul masurarii inaltimii;

- starea absoluta a cronometrului (Tm-A) si marsa diurna k ;

- inaltimea ochiului observatorului i in momentul observatiei;

- corectia sextantului e

- drumul si viteza navei;

- temperatura aerului t si presiunea atmosferica p .

Succesiunea calculelor :

1. Calculul (Tm-A) - actualizarea starii absolute pentru momentul observatiei,

folosind starea absoluta determinata la un moment dat si marsa diurna k .

2. Calculul timpului mediu la Greenwich Tm corespunzator momentului

observatiei.

3. Calculul unghiului la pol P si declinatiei d a astrului pentru momentul

observatiei - cu ajutorul efemeridei nautice.

4. Calculul inaltimii estimate he si azimutului estimat Az corespunzatoare

momentului observatiei.

a) sin h = sin j sin d + cos j cos d cos P

sin Z = sec h cos d sin P

b) sin²(z/2) = sin²((j d)/2) + cos j cos d sin²(P/2)

h = 90 - z

c) ctg Z = tg d cos j cosec P - sin j ctg P

d) tablele A.B.C.

- he la precizie de zecime de minut de arc (0'.1);

- Az la precizie de zecime de grad (o

5. Calculul inaltimii adevarate ha - corectarea inaltimii (hi ha).

6. Calculul diferentei Dh.

4. CAZURILE PARTICULARE ALE DREPTEI DE INALTIME.

4.1. GENERALITATI.

Prin cazuri particulare ale dreptei de inaltime se intelege ca aceasta se confunda fie cu un paralel de latitudine, determinandu-se latitudinea adevarata, fie cu un meridian, determinandu-se longitudinea adevarata.

Latitudinea adevarata j_a se poate calcula din inaltimea observata la un astru, si anume : - din inaltimea meridiana superioara H (cand astrul este la culminatia superioara)

sau din inaltimea meridiana inferioara H_inf (cand astrul este la culminatia

inferioara);

- din inaltimea circummeridiana (cand astrul este in apropierea meridianului

ceresc al observatorului, in limitele circummeridiane);

- din inaltimea stelei Polare (care se mentine in apropierea Polului nord ceresc

P_N ).

Longitudinea adevarata l_a se poate determina astfel :

- prin observarea unui astru aflat in primul vertical (estic sau vestic);

- fiind cunoscuta latitudinea j , prin observarea unui astru cu o pozitie oarecare

pe sfera cereasca (in afara limitelor circummeridiane).

4.2. CALCULUL LATITUDINII DIN INALTIMEA MERIDIANA.

4.2.1. CULMINATIA ASTRILOR.

Constituie o consecinta a miscarii diurne a astrilor si reprezinta pozitia pe care o ocupa astrul in momentul trecerii prin meridianul ceresc al observatorului.

Intereseaza numai culminatiile astrilor in emisfera vizibila :

- astrii cu rasarit si apus au numai culminatia superioara in emisfera vizibila (astrii A, C si D);

- astrii cu declinatia d de acelasi semn cu latitudinea j si declinatia d mai mare decat colatitudinea l ( d > l ) au si culminatia inferioara in emisfera vizibila (astrul B);

- astrii cu declinatia d de acelasi semn cu latitudinea j si declinatia d mai mare decat latitudinea j d > j ) culmineaza in meridianul de acelasi nume cu latitudinea j in emisfera vizibila (astrul C);

- astrii cu declinatia d mai mica decat latitudinea j d < j ) culmineaza in meridianul de nume opus latitudinii j in emisfera vizibila (astrul D).

4.2.2. CALCULUL LATITUDINII DIN INALTIMEA MERIDIANA SUPERIOARA.

z = 90 - H z = 90 - H

j = z + d j = - z + d

j = z + d

Distanta zenitala z se ia in calcul cu semnul :

plus (+) : cand astrul culmineaza in meridianul de nume contrar cu latitudinea j d < j

minus (-) : cand astrul culmineaza in meridianul de acelasi nume cu latitudinea j d > j

Tipul de calcul cuprinde :

- calculul orei culminatiei si d Soarelui (Lunii) ;

- calculul Ha ;

- calculul j_a

Astfel, tipul de calcul este :

1. Calculul orei culminatiei si d Soarelui (Lunii) _

Data Culm. Soarelui (Lunii) la merid. Greenwich Tm = tm = .

Corectia ptr. l = . si Dt = .   

Culminatia Soarelui (Lunii) la merid. locului tm = .

- l

d = . ( d = . ) Tm = .

+ Dd + l_f

d = . t_f = .

Pentru ora de vara D_f

Ora bord = .

2. Calculul Ha_ 3. Calculul j_a

Hi = . 90

+ e - Ha = ....

Ho = . z_m = ....

+ cor. tot. = . + d

+ cor. supl. = . j_a

Ha = .

Algoritmul operatiilor care se desfasoara la bordul navei pentru determinarea latitudinii din inaltimea meridiana a Soarelui este :

- se calculeaza ora culminatiei superioare pentru a determina pozitia viitoare in care se va

afla nava in momentul respectiv;

- se calculeaza declinatia d functie de Tm si Data ;

- se masoara inaltimea meridiana Hi ;

- se corecteaza Hi obtinandu-se Ha ;

- se calculeaza latitudinea adevarata j_a

Exemplu : La data 10.11 / extras BNA in Ze(23 11'.₀ N; 36 45'.₀ E) se masoara Hi 27'.₀ , i = 12 m , e

1. Calculul orei culminatiei si d Soarelui _

10.11. Ora culm. la Gr. Tm = tm = 11^h44^m

Corectia ptr. l .₈ E si Dt = 0^m     = zero_

Ora culm. la merid. locului tm = 11^h44^m

- l = + 2^h27^m

d = S 17 09'.₂ (d=+0'.₇) Tm = 09^h17^m

+ Dd + l_f = + 2^h _

d = S 17 t_f = 11^h17^m

2. Calculul Ha _ 3. Calculul j_a

Hi 90

+ e - Ha = 49

Ho = 49 z_m = 40

+ cor. tot. = + 9'.₂ + d

+ cor. supl. = + 0'.₂ j_a

Ha = 49

4.2.3. CALCULUL LATITUDINII DIN INALTIMEA MERIDIANA INFERIOARA.

Se foloseste cand astrul are culminatia inferioara in emisfera vizibila.

p = 90 d

j_a = Ha_inf + p

j_a d + Ha_inf .

Tipul de calcul este :

1. Calculul orei culm. inf. si d stelei .

t_* = 180

- l = .....

T_* = .....

- t

Ts = ..... / Data

Ts = ..... Tm = .

DTs = ..... + DTm = .

Tm = .

+ l_f

t_f = .

2. Calculul Ha_inf 3. Calculul j_a

Hi _inf = . 90

+ e - d

Ho = . p = ....

+ cor. tot. = . + Ha _inf = ....

+ cor. supl. = . j_a

Ha _inf = .

4.3. CALCULUL LATITUDINII DIN INALTIMEA CIRCUMMERIDIANA.

Inaltimea circummeridiana reprezinta inaltimea pe care o are astrul, inaltime ce este intre anumite limite, in raport cu inaltimea meridiana (inaltimea in momentul culminatiei).

Aceste limite se exprima functie de unghiul la pol limita, unghi la pol ce se calculeaza in functie de declinatia astrului d si latitudinea observatorului j

Procedeul se utilizeaza cand :

- nu se poate masura inaltimea meridina (cer acoperit);

- nava are Da sau Da situatie in care nu se poate sesiza inaltimea meridiana pe baza variatiei inaltimii;

- cand unghiul la pol se incadreaza in limite circummeridiane.

Inaltimea masurata poate fi considerata inaltime circummeridiana daca unghiul la pol calculat pentru momentul observatiei este mai mic decat unghiul la pol limita (P < P_lim).

inaltime circummeridiana superioara inaltime circummeridiana inferioara

H = h1 + AB H = h1 - AC

H = h2 + AC H = h2 - AB

H = h + r . H = h - r .

Corectia r reprezinta arcul de cerc vertical ce trebuie adaugat (sau scazut) inaltimii circummeridiane pentru a obtine inaltimea meridiana.

Relatia pentru calculul corectiei r (reductie) se deduce astfel :

din relatiile :

sin h = sin j sin d + cos j cos d cos P

h = H - r

cos P = 1 - 2 sin²(P/2)

obtinem :

sin (H - r) = sin j sin d + cos j cos d - 2 cos j cos d sin² (P / 2)

sin (H - r) = sin (j d) - 2 cos j cos d sin² (P / 2)

Stiind ca z = j d si z = 90 - H

obtinem :

sin H cos r - cos H sin r = sin H - 2 cos j cos d sin² (P / 2)

reductia r fiind foarte mica sin r = r si cos r = 1 - r²/2

Atunci avem :

sin H - r²/2 sin H - r cos H = sin H - 2 cos j cos d sin² (P / 2)

r²/2 sin H + r cos H = 2 cos j cos d sin² (P / 2)

Rezulta :

sau :

Se introduce coeficientul k :

k = 100 tg j 100 tg d

unde k este intotdeauna pozitiv, atfel :

semnul = + cand j si d sunt de semne contrare

= - cand j si d sunt de acelasi semn (se scade cel mic din cel mare).

Rezulta relatia :

relatie ce este rezolvata de tablele nautice, astfel :

r = cor I + cor II .

Cand cor I < 15' , cor II se considera neglijabila.

Corectia r este intotdeauna pozitiva.

Tipul de calcul este :

1. Calculul orei culminatiei Soarelui _

Data Ora culm. la Gr. Tm = tm = .

Corectia ptr. l = . si Dt = .   

Culminatia la merid. locului tm = .

- l

Tm = .

+ l_f

t_f = .

Pentru ora de vara D_f

Ora bord = .

2. Calculul Tm 3. Calculul P si d _

A = . Data Ptr.Tm = .^h Ta = . d = . (d=

+ (Tm-A) = . Var. ptr. DTm = .^m.^s + DTa = . + Dd

Tm = . Pentru. Tm = .^h.^m.^s Ta = . d

+ l

ta = .

P = .

4. Calculul unghiului la pol limita P_lim _

Cu j si d (din T.35 DH-90) P_lim = .

P ( (h) = .

Daca P < P_lim observatia este in limitele circummeridiane

5. Calculul coeficientului k _ 6. Calculul reductiei r 100 tg j = . (din T.33a DH-90) cor I = . (din T.33b DH-90)

- 100 tg d = . (din T.33a DH-90) + cor II = . (din T.33c DH-90)

k = . r = .

Calculul Ha _ 8. Calculul j_a

hi = . 90

+ e - Ha = ....

ho = . z_m = ....

+ cor. tot. = . + d

+ cor. supl. = . j_a

ha = .

+ r = .

Ha = .

Exemplu : La data 10.08 / extras BNA in Ze(44 29'.₀ N; 29 41'.₄ E) se masoara hi 45'.₀ , A = 10^h20^m30^s.₀ , (Tm-A) = - 3^m50^s.₀ , e = +1'.₅ , i = 9 m .

1. Calculul orei culminatiei Soarelui _ 2. Calculul Tm _

10.08. Ora culm. la Gr. Tm = tm = 12^h05^m A = 10^h20^m30^s

Corectia ptr. l .₇ E si Dt = 0^m     = zero_ + (Tm-A) = - 3^m50^s

Ora culm. la merid. locului    tm = 12^h05^m Tm = 10^h16^m40^s

- l = + 1^h59^m

Tm = 10^h06^m

+ l_f = + 2^h _

t_f = 12^h06^m

3. Calculul P si d _

10.08 Ptr.Tm = 10^h Ta = 328 d = N 15 32'.₅ (d=-0'.₈)

Var. ptr. DTm = 16^m40^s + DTa = 4 Dd

Pentru Tm = 10^h16^m40^s Ta = 332 d = N 15

+ l

ta = 362

P_W

4. Calculul unghiului la pol limita P_lim _

Cu j .₅ N si d = N 15 .₅ (din T.35 DH-90) P_lim = 0^h21^m

P ( P ^(h) = 0^h10^m

P < P_lim observatia este in limitele circummeridiane

5. Calculul coeficientului k _ 6. Calculul reductiei r _

100 tg j = 98 (din T.33a DH-90) cor I = 4'.₈ (din T.33b DH-90)

- 100 tg d = 28 (din T.33a DH-90) + cor II = 0'.₀ (din T.33c DH-90)

k = 70 r = 4'.₈

Calculul Ha _ 8. Calculul j_a

hi 90

+ e - Ha = 61

ho = 60 z_m = 28

+ cor. tot. = + 10'.₂ + d = + 15

+ cor. supl. = - 0'.₂ j_a

ha = 60

+ r = 4'.₈

Ha = 61

4.4. CALCULUL LATITUDINII DIN INALTIMEA STELEI POLARE.

Steaua Polara se afla in imediata apropiere a polului nord ceresc, avand declinatia d N 89

Ea descrie astfel, un paralel de declinatie cu raza egala cu distanta polara p = 90 d

S1 h1

h1 = h2 = j

S3 h3 þ

S2 h2 j = h2 + p , culm.inf.

S4 h4 j = h4 - p , culm.sup.

Pentru pozitia oarecare S , cand inaltimea Stelei Polare este h , avem :

j = h - x

j = h - p cos P - formula aproximativa (se rezolva DSAP_N in plan)

x = p cos P þ

Pentru a stabili formula exacta se considera relatiile :

sin h = sin j sin d + cos j cos d cos P

h = j + x ; d - p .

Rezulta :

sin (j + x) = sin j cos p + cos j sin p cos P

sin j cos x + cos j sin x = sin j cos p + cos j sin p cos P

Eliminand infinitii mici de ordinul 3 si superiori de la dezvoltarea in serie a functiilor trigonometrice, se poate scrie :

cos x = 1 - x² / 2 ; sin x = x ; cos p = 1 - p² / 2 ; sin p = p .

Inlocuind se obtine :

sin j - x² / 2 sin j + x cos j = sin j - p² / 2 sin j + p cos j cos P

x cos j = p cos j cos P + (x² - p²) / 2 sin j

Impartind relatia de mai sus la cos j se obtine :

x = p cos P + (x² - p²) / 2 tg j

Considerand tg j = tg h si x = p cos P se obtine :

x = p cos P + (p² (cos² P - 1)) / 2 tg h

x = p cos P - 1 / 2 p² sin² P tg h

Stiind ca : P_W = t , P_E = 360 - t si t = ts - a = ts + t se obtine :

x = p cos (ts + t) - 1 / 2 p² sin² (ts + t) tg h

Exprimand pe x si p in minute de arc si introducand in relatia j = h - x avem :

j = h - p cos (ts + t) + 1 / 2 p² sin² (ts + t) tg h arc 1' . - formula exacta

Efemerida nautica Brown's contine urmatoarele corectii ale Polarei :

a₀ = f ( ts ) rezolva formula pentru h = 50 si valorile medii anuale ale Polarei p₀ si t , la care se aduna constanta 58'.8 pentru a fi intotdeauna pozitiva;

a₁ = f ( ts , j ) reprezinta corectia ce trebuie aplicata lui a₀ pentru inaltimea observata (fata de h = 50 luat in calculul lui a₀ ) la care se aduna constanta 0'.6 pentru a fi intotdeauna pozitiva;

a₂ = f ( ts , luna calendaristica ) reprezinta corectia ce trebuie aplicata lui a₀ pentru coordonatele reale lunare ale Polarei p si t (fata de p₀ si t luate in calculul lui a₀ ) la care se aduna constanta 0'.6 pentru a fi intotdeauna pozitiva.

Suma constantelor adaugate fiind : 58'.8 + 0'.6 + 0'.6 = 1 atunci relatia este :

j = h - 1 + a₀ + a₁ + a₂ .

Tipul de calcul este :

1. Calculul Tm 2. Calculul ts _

A = . Data ptr. Tm = . Ts = .

+ (Tm - A) = . Var. ptr. DTm = . + DTs = .

Tm = . Pentru Tm = . Ts = .

+ l

ts = .

3. Calculul ha 4. Calculul j_a

hi* = . ha - 1 = .

+ e + a₀ = .

ho = . + a₁ = .

+ cor. tot. = . + a₂ = .

ha = . j_a

Exemplu : La data 13.07 / extras BNA in Ze(44 02'.₀ N; 29 15'.₇ E) se masoara hi* = 43 32'.₄ , A = 20^h45^m20^s , (Tm-A) = - 36^m40^s , e = +1'.₅ , i = 9 m .

1. Calculul Tm 2. Calculul ts _

A = 20^h45^m20^s 13.07 Ptr.Tm = 20^h Ts = 231

+ (Tm - A) = - 36^m40^s Var. ptr. DTm = 08^m40^s + DTs = 2

Tm = 20^h08^m40^s Pentru Tm = 20^h08^m40^s Ts = 233

+ l

ts = 263

3. Calculul ha 4. Calculul j_a

hi* = 43 ha - 1 = 42

+ e + a₀ = 1

ho = 43 + a₁ = 0'.₆

+ cor. tot. = - 6'.₃ + a₂ = 0'.₈

ha = 43 j_a 00'.₁ N

5. PRECIZIA LINIEI DE POZITIE ASTRONOMICA.

5.1. GENERALITATI.

Linia de pozitie astronomica si anume, dreapta de inaltime, poate fi afectata de doua categorii principale de erori :

- erori de observatie;

- erori proprii metodei.

Erorile de observatie constau in :

- erori in inaltimea observata la astru;

- erori in stabilirea timpului pentru momentul observatiei.

Erorile proprii metodei dreptelor de inaltime sunt urmarea aproximatiei introduse prin inlocuirea cercului de inaltime cu dreapta de inaltime.

5.2. EROAREA IN INALTIMEA OBSERVATA LA ASTRU.

Precizia masurarii inaltimii astrilor este influentata de :

- miscarea diurna a sferei ceresti;

- deplasarea navei (schimbarea orizontului observatorului);

- conditiile hidrometeorologice;

- antrenamentul observatorului.

La masurarea inaltimii astrilor pot apare erori :

- sistematice;

- accidentale.

Erorile sistematice apar fiecare masuratoare avand o marime constanta, cauzele lor fiind cunoscute. Influenta lor asupra rezultatului poate fi, uneori, eliminata.

Erorile accidentale sunt acele erori ale caror cauze nu se cunosc, avand valori diferite la masurarea aceleiasi marimi. Ele nu pot fi eliminate dar influenta lor poate fi micsorata.

Eroarea in inaltimea masurata se transmite integral in diferenta Dh = ha - he , avand ca efect deplasarea dreptei de inaltime intr-o pozitie paralela cu cea initiala, astfel :

- in sensul azimutului, adica spre punctul subastral, daca inaltimea masurata este mai mare decat cea reala;

- in sens opus azimutului, cand inaltimea masurata este mai mica decat cea reala.

Pentru micsorarea influentei acestei erori se recurge la masurarea unei serii de observatii, prin aceasta intelegandu-se masurarea repetata a inaltimii unui astru la intervale scurte de timp si pe cat posibil egale, de catre acelasi observator, cu acelasi sextant si in aceleasi conditii de observatie, simultan cu masurarea fiecarei inaltimi din serie citindu-se ora cronometrului.

Se calculeaza media inaltimilor masurate si media orelor citite la cronometru, care se folosesc ca date de observatie pentru calculul elementelor dreptei de inaltime sau se face reducerea inaltimilor la acelasi moment astfel :

- variatia inaltimii intr-un minut de timp este :

Dh_1min = 15 cos j sin Z (T.29a-D.H.)

si atunci Dh_t = Dh_1min Dt^(m)

- variatia inaltimii in 10 secunde de timp este :

Dh_10sec = 2,5 cos j sin Z (T.29b-D.H.)

si atunci Dh_t = Dh_10sec Dt^(10sec)

unde Dt reprezinta intervalul de timp intre momentul observatiei si momentul pentru care s-a facut reducerea (de obicei momentul ultimei observatii).

Daca reducerea s-a facul la momentul :

- ultimei observatii, Dh_t este :

- pozitiv inainte de culminatie;

- negativ dupa culminatie;

- primei observatii, Dh_t este :

- negativ inainte de culminatie;

- pozitiv dupa culminatie.

Daca notam :

a = valoarea adevarata cunoscuta

a_i = valorile masurate, i = 1 .. n

v_i = erorile valorilor masurate, i = 1 .. n

atunci :

Cum raportul tinde catre zero, atunci adica media aritmetica a unui numar mare de observatii tinde catre valoarea adevarata (concluzie de ordin practic).

Valoarea raportului poate servi ca masura a preciziei observatiilor efectuate, insa nu se cunosc valorile erorilor v_i .

Se introduce indicatorul eroare medie patratica :

care indeplineste urmatoarele conditii :

- este diferita de zero (nu exista observatie neafectata de erori);

- nu depinde de semnul erorilor v_i ;

- exprima existenta unor erori accidentale mari.

Calculul erorii medii aritmetice

Notam media aritmetica a unei serii de observatii si

a = valoarea adevarata

atunci : si reprezinta eroarea mediei aritmetice.

Relatia : ridicata la patrat devine :

Datorita faptului ca fiecarei erori pozitive +v_i ii corespunde o eroare negativa -v_i , termenul al doilea din drepta este egal cu zero, si relatia devine :

Cunoscand ca : (expresia erorii medii patratice la patrat) rezulta :

adica, eroarea mediei aritmetice a unei valori dintr-o serie de observatii este egala cu eroarea medie patratica a observatiei impartita la radacina patrata a numarului observatiilor.

Calculul erorii medii patratice

Se cunoaste ca reprezinta media aritmetica a unui numar finit (n) de masuratori (a_i).

Notam : D_i = a_i - a₀ diferenta dintre valoarea masurarii si valoarea mediei aritmetice.

v_i = a_i - a diferenta dintre valoarea masurarii si valoarea adevarata necun.

si avem :

v₁ = a₁ - a D = a₁ - a₀

v₂ = a₂ - a D = a₂ - a₀

. .

v_n = a_n - a D_n = a_n - a₀

Stiind ca eroarea mediei aritmetice e = a₀ - a se obtine :

v₁ = D + a₀ - a = D e

v₂ = D + a₀ - a = D e

.

v_n = D_n + a₀ - a = D_n e

Ridicand la patrat egalitatile, adunand si impartind la numarul observatiilor membru cu membru, avem :

Stiind ca :

, si

relatia devine :

adica, eroarea medie patratica a unei observatii este egala cu radacina patrata a sumei patratelor erorilor celor mai probabile, impartita la numarul observatiilor, mai putin unul.

5.3. EROAREA IN STABILIREA TIMPULUI PENTRU MOMENTUL OBSERVATIEI.

O eroare in timpul mediu la Greenwich DTm , se transmite ca eroare in valoarea unghiului la pol DP . Atunci, punctul subastral A' , a carui longitudine este egala cu unghiul la pol la Greenwich P_Gr , este deplasat pe sfera terestra spre est sau vest, cu o cantitate egala cu DP . Efectul este deplasarea intregului cerc de inaltime

Consideram dreapta de inaltime LL' avand elementele : Az = Zc si Dh = ZeZ' .

Eroarea DP in unghiul la pol determina deplasarea punctului determinativ Z' spre est sau vest, in T₁ sau T₂ .

Z'T₁ = Z'T₂ = DP (in minute de arc)

daca se masoara pe scara longitudinilor, sau

Z'T₁ = Z'T₂ = DP cos j

daca se masoara pe scara latitudinilor.

Distanta Z'₁Z'₂ care caracterizeaza zona de incertitudine dintre dreptele de inaltime rezultate, L₁L'₁ si L₂L'₂ , paralele cu LL' , este

Z'₁Z'₂ = T₁T₂ cos( 90 - Zc ) Z'₁Z'₂ = 2 DP cos j sin Zc

Deci, pentru o eroare DP , latimea zonei de incertitudine este :

- maxima, cand astrul este in primul vertical, Zc = 90 sin Zc = 1 ;

- minima, cand astrul este la culminatie, Zc = 0 sau Zc = 180 sin Zc = 0 ;

5.4. EROAREA DATORATA INLOCUIRII CERCULUI CU DREAPTA DE INALTIME.

Eroarea datorata inlocuirii cercului de inaltime cu dreapta de inaltime este o eroare proprie metodei.

Reprezentand punctul estimat Ze , punctul subastral A' si arcul aa' al cercului de inaltime, cu punctul determinativ Z' , consideram ca dreapta de inaltime este linia de pozitie determinata de inaltimea adevarata la un astru in limitele segmentului MM' , simetrice in raport cu punctul determinativ Z' .

Dreapta de inaltime se confunda practic cu arcul MM' al cercului de inaltime.

Daca nava s-ar afla in punctul B pe cercul de inaltime, in afara arcului MM' , atunci eroarea care apare ca urmare a inlocuirii cercului de inaltime cu dreapta de inaltime este reprezentata de segmentul BC.

Eroarea variaza in principal in functie de :

- distanta BZ' dintre punctul navei B si punctul determinativ Z' eroarea

creste cu distanta BZ';

- marimea cercului de inaltime eroarea variaza invers cu raza cercului de

inaltime z = 90 - h eroarea creste cu inaltimea astrului.

La latitudini j < 60 si la inaltimi ale astrilor h < 80 , dreapta de inaltime se confunda cu cercul de inaltime pana la o distanta de circa 35 Mm de punctul determinativ Z' , de o parte si de alta a acestuia, eroarea fiind mai mica de 1 Mm .

Daca s-a procedat la determinarea punctului navei cu observatii la astrii prin intersectia a doua drepte de inaltime si valoarea Dh a uneia sau a ambelor drepte este mai mare de 15 20' atunci se aplica metoda aproximatiilor succesive.

Metoda aproximatiilor succesive consta in :

- punctul determinat de dreptele de inaltime, caracterizate de valori ale diferentei Dh > 20' , se considera punct aproximativ;

- se scot coordonatele punctului aproximativ care se folosesc pentru calculul elementelor dreptelor de inaltime utilizand datele de observatie initiale (prima aproximatie);

- daca valorile Dh obtinute sunt mici (de ordinul minutelor de arc), punctul navei se obtine prin intersectia dreptelor de inaltime ale caror elemente au fost calculate din coordonatele punctului aproximativ, altfel se aplica din nou algoritmul prezentat (urmatoarea aproximatie).

6. DETERMINAREA PUNCTULUI NAVEI CU OBSERVATII SIMULTANE.

Punctul astronomic al navei se determina la intersectia a doua sau trei drepte de inaltime, conform teoriei dreptei de inaltime.

Elementele celor doua drepte de inaltime D₁ (Az₁, Dh₁) si D₂ (Az₂, Dh₂) se calculeaza pentru acelasi punct estimat Ze (j_e l_e

Observatiile se considera efectuate in acelasi moment, simultane.

Acest procedeu se aplica pe timpul noptii cand sunt vizibili mai multi astrii deodata, in pozitii care ofera conditii favorabile, si anume :

- pe timpul crepusculului;

- pe timpul noptilor cu Luna, in functie de vizibilitatea orizontului.

Se recomanda utilizarea ca linie de pozitie latitudinea adevarata j_a din inaltimea stelei Polare, pentru simplitatea determinarii.

Intervalele de timp cele mai favorabile pentru executarea observatiilor simultane sunt : - crepusculul nautic de dimineata;

- crepusculul nautic de seara.

Un lucru foarte important il reprezinta pregatirea observatiilor, problema ce va fi tratata pe larg intr-un curs ulterior.

Pe timpul crepusculului de seara se recomanda ca observatiile sa inceapa cu astrii cei mai luminosi si sa se termine cu cei mai putin luminosi. Ordinea executarii observatiilor se inverseaza pe timpul crepusculului de dimineata.

In anumite conditii, se poate aplica procedeul si pe timp de zi utilizand observatii simultane la Soare, Luna, Venus sau chiar Sirius.

6.1. CONDITIA DE INALTIME SI AZIMUT.

Inaltimile astrilor observati se recomanda a fi cuprinse intre 30 si 70 , deoarece inaltimile mai mici de 30 pot fi afectate de erori de refractie, iar cele mai mari de 70 de erori excesive cauzate de inlocuirea cercului cu dreapta de inaltime.

conditia de inaltime < h < 70

Conditia de azimut deriva din intersectia dreptelor de inaltime, deci a liniilor de pozitie. Conform celor studiate anterior, liniile de pozitie trebuie sa se intersecteze sub un unghi mai mare de 30 si mai mic de 150

In cazul nostru diferentele de azimut trebuie sa fie mai mari de 30 si mai mici de 150 . Daca punctul navei se determina cu doua observatii, diferenta de azimut ideala este de 90 , iar daca se determina cu trei observatii, diferenta de azimut ideala, doua cate doua, este de 60 sau 120

conditia de azimut < DAz < 150

ideal (2 obs.) : 90

(3 obs.) : 60

In ceea ce priveste punctul estimat Ze , in anumite conditii, poate fi ales arbitrar, conducand in final la obtinerea aceleiasi pozitii pentru dreapta de inaltime calculata.

6.2. DETERMINAREA PUNCTULUI NAVEI CU DOUA OBSERVATII SIMULTANE.

Unghiul de intersectie ideal este de 90 (limita 30

Procedee folosite :

- doua drepte de inaltime oarecare la astrii;

- o dreapta de inaltime oarecare si o latitudine cu Polara;

- o dreapta de inaltime oarecare si o latitudine dintr-o inaltime circummeridiana

(foarte dificil pe timpul noptii);

- o dreapta de inaltime la Soare si una la Luna, Venus sau Sirius, pe timpul zilei,

in conditii favorabile.

Operatiuni care se executa :

- se aleg astrii care ofera conditii favorabile (daca este posibil chiar ideale) de observatie : 30 <h < 70 si 30 < DAz < 150

- se masoara inaltimile la astrii alesi, la intervale cat mai scurte de timp, citindu-se simultan ora cronometrului O corespunzatoare momentului respectiv al observatiei, in final ora bordului O si citirea la loch Cℓ ;

- cu ora bordului O si citirea la loch Cℓ se determina punctul estimat al navei pentru momentul observatiei si se scot coordonatele acestuia (j_e l_e

- se calculeaza elementele dreptelor de inaltime in functie de inaltimile observate, coordonatele astrilor pentru momentul observatiei si coordonatele geografice ale punctului estimat;

- se traseaza dreptele de inaltime pe harta, la intersectia carora se obtine punctul navei.

L.P.A.1 ( Az₁ = ; Dh₁ = )    L.P.A.1 ( Az₁ = ; Dh₁ = )

L.P.A.2 ( Az₂ = ; Dh₂ = )    L.P.A.2 ( j_a

Cand se naviga la larg, sau nu se dispune de harti la o scara suficient de precisa, se foloseste pentru determinarea punctului scara grafica a latitudinii si longitudinii (schita la scara).

Procedeul determinarii punctului navei cu doua observatii are o mare aplicabilitate in practica navigatiei, insa precizia punctului obtinut este in functie de precizia observatiilor si acuratetea calculelor.

Dezavantajul acestui procedeu consta in faptul ca nu ofera posibilitatea controlului preciziei punctului obtinut.

6.3. DETERMINAREA PUNCTULUI NAVEI CU TREI OBSERVATII SIMULTANE.

Procedeul de determinare a punctului navei cu trei observatii simultane ofera posibilitatea controlului preciziei punctului obtinut si uneori chiar posibilitatea stabilirii originii erorii, drept pentru care se recomanda a fi aplicat intotdeauna cand conditiile de observatie permit.

Erorile de observatie pot fi :

- accidentale;

- sistematice.

Erorile accidentale pot fi micsorate (sau eliminate chiar) prin folosirea mediei inaltimilor unei serii de observatii .

Erorile sistematice determina dreapta de pozitie adevarata , si reprezinta locul geometric al pozitiei navei intre limitele determinate de valorile maxime pe care le poate lua suma erorilor sistematice.

Dreapta de pozitie adevarata reprezinta bisectoarea unghiului format intre directiile azimuturilor (DAz).

xx' ║ Z_ey

Erori sistematice :

- eroare in depresiune;

- eroare in refractia astronomica;

- eroare de paralelism oglinzi sextant;

- eroare proprie observatorului.

Dreapta de pozitie adevarata se traseaza astfel :

- prin punctul de intersectie Z al dreptelor de inaltime se duc doua sageti,

paralele si de acelasi sens cu azimuturile respective;

- se traseaza dreapta de pozitie adevarata xx' , in ambele sensuri, ca bisectoare a

acelui unghi determinat de intersectia dreptelor, astfel ca aceasta sa treaca

printre cele doua sageti.

Daca cele trei drepte de inaltime se intersecteaza in acelasi punct, ce reprezinta punctul navei, inseamna ca observatiile nu au fost afectate de erori.

In cazul existentei unor erori de observatie sau calcul, dreptele de inaltime nu se mai intersecteaza intr-un singur punct ci in trei puncte, doua cate doua, formand astfel un triunghi, numit triunghiul erorilor .

Daca triunghiul este mic, cu latura de cel mult 2 Mm , punctul navei se considera in centrul de greutate al triunghiului.

Daca latura triunghiului erorilor este mai mare de 2 Mm , si cauza o reprezinta existenta unei erori sistematice de observatie, punctul navei se obtine la intersectia dreptelor de pozitie adevarata, punct care se poate situa in interiorul triunghiului erorilor sau in exteriorul acestuia.

DAz DAz

6.4. SCARA GRAFICA (SCHITA LA SCARA).

In cazul in care scara hartii este mica se recomanda folosirea unei constructii auxiliare, numita scara grafica a latitudinii si longitudinii (schita la scara).

Calculul j_a

j_e

+ Dj

j_a

Calculul l_a

l_e

+ Dl

l_a

6.5. REDUCEREA INALTIMILOR LA ACELASI ZENIT.

In cazul cand observatiile nu pot fi considerate simultane, nava fiind in mars, este necesara raportarea inaltimilor, masurate la intervale diferite de timp, la acelasi orizont (cu alte cuvinte, la acelasi zenit).

Orizontul executa o rotatie dupa axa transversala a navei, astfel :

- coboara in prova navei;

- urca in pupa navei.

Consideram astrul imobil (intervalul de timp Dt mic intre cele doua observatii).

Nava parcurge spatiul :    m = V Dt

Z₁ - zenitul in momentul primei observatii la astrul A.

z = Z₁A = 90 - h₁

Z₂ - zenitul in momentul celei de-a doua observatii

z = Z₂A = 90 - h₂

Z₁Z₂ ['] = m [Mm] spatiul parcurs de nava in intervalul de timp Dt

Z₁B = Dz = m cos( Az - Da )

Dh_z ['] = m ['] cos Rp

h_r = h + Dh_z

Variatia Dh_z este maxima cand astrul se afla in prova sau pupa si zero cand astrul este la travers.

m poate fi :

- pozitiv daca reducerea se face la momentul ultimei observatii;

- negativ daca reducerea se face la momentul primei observatii.

cos Rp poate fi :

- pozitiv daca astrul se afla inaintea traversului (Rp<90

- negativ daca astrul se afla inapoia traversului (Rp>90

Semnul variatiei Dh_z depinde de semnul lui m si cos Rp .

Tabla 32 din DH-90 ofera variatia inaltimii Dh in interval de un minut in functie de relevmentul prova Rp = Az - Da [ ] si viteza navei V_N [nd] , astfel incat :

Dh_z ['] = Dh_min ['/min] Dt [min]

DETERMINAREA PUNCTULUI NAVEI CU OBSERVATII SUCCESIVE.

Procedeul aplica metoda transportului liniilor de pozitie. Se aplica pe timpul zilei, cand sunt posibile observatii numai la Soare, cat si pe timpul noptii, cand observatiile se executa din anumite motive la intervale prea mari de timp astfel incat nu se mai poate aplica reducerea inaltimilor la acelasi zenit.

La Soare se utilizeaza urmatoarele observatii succesive :

- doua observatii succesive oarecare inainte de culminatia Soarelui;

- o observatie oarecare in cursul diminetii (a.m.) si o observatie meridiana sau

circummeridiana;

- o observatie oarecare in cursul diminetii (a.m.) si o observatie oarecare in cursul

dupa-amiezii (p.m.).

- o observatie meridiana sau circummeridiana si o observatie oarecare in cursul

dupa-amiezii (p.m.);

- doua observatii succesive oarecare dupa culminatia Soarelui

In toate situatiile, a doua observatie se executa dupa ce azimutul Soarelui a avut o variatie minima de 30 fata de momentul primei observatii. Pentru o intersectie favorabila a dreptelor de inaltime se recomanda ca variatia azimutului DAz sa fie de 40

Pentru determinarea punctului cu doua observatii succesive oarecare la Soare (cazul general) se procedeaza astfel :

- se executa prima observatie la Soare si se calculeaza elementele dreptei de inal-

time Az₁ si Dh₁ , utilizand coordonatele punctului estimat corespunzator Ze₁ ;

- dupa ce azimutul Soarelui a avut o variatie suficienta (min. 30 ), se executa a

doua observatie;

- se determina punctul estimat Ze₂ in raport de Ze₁ , in functie de drumul

deasupra fundului D_f si spatiul parcurs deasupra fundului m_f ;

- se calculeaza elementele dreptei de inaltime Az₂ si Dh₂ corespunzatoare celei

de-a doua observatii, utilizand coordonatele punctului estimat corespunzator

Ze₂ ;

- se traseaza cele doua drepte de inaltime prin ultimul punct estimat Ze₂ , la

intersectia carora se determina punctul estimat-observat al navei;

- prima dreapta de inaltime se considera astfel transportata din Ze₁ in Ze₂ , in

functie de D_f si m_f .

In afara cazului general se disting urmatoarele cazuri particulare :

a) O observatie oarecare in cursul diminetii (a.m.) si o observatie meridiana (circummeridiana).

Se transporta dreapta de inaltime oarecare (a.m.) pentru momentul observatiei meridiane (circummeridiane). La intersectia dreptei de inaltime transportata cu latitudinea adevarata j_a se determina punctul estimat-observat al navei.

b) O observatie meridiana sau circummeridiana si o observatie oarecare in cursul dupa-amiezii (p.m.).

Se transporta latitudinea adevarata j_a pentru momentul celei de-a doua observatii, utilizand diferenta de latitudine Dj j_a j_e1 . La intersectia latitudinii adevarata j_a transportata cu dreapta de inaltime se determina punctul estimat-observat al navei.

Pe timpul noptii (crepusculului nautic) observatiile succesive se executa la astrii diferiti. Alegerea astrilor se face tinand cont de conditiile de inaltime ( 30 <h < 70 ) si azimut ( 30 < DAz < 150

Eroarea in punctul estimat-observat determinat depinde integral de eroarea in estima intre cele doua observatii. De aceea se impune ca tinerea estimei intre cele doua observatii sa sa faca cu o atentie deosebita.

8. UTILIZAREA UNEI SINGURE DREPTE DE INALTIME.

Prin utilizarea unei singure drepte de inaltime se intelege posibilitatea determinarii punctului navei in combinatie cu alte linii de pozitie dar si posibilitatea de a dispune de informatii pretioase pentru conducerea navei in siguranta.

Punctul navei poate fi obtinut prin intersectia unei drepte de inaltime cu o alta linie de pozitie oarecare, cele mai des utilizate procedee fiind:

- o dreapta de inaltime cu un relevment radio la un radiofar (relevment vizual la

un reper de la coasta), avand o intersectie favorabila cand astrul observat este

intr-o directie apropiata de cea a relevmentului;

- o dreapta de inaltime cu o linie batimetrica, avand o intersectie favorabila cand

astrul observat este intr-o directie apropiata de orientarea liniilor batimetrice.

Cand se dispune de o singura dreapta de inaltime, aceasta poate oferi informatii pretioase pentru conducerea navei in siguranta, astfel:

- o dreapta de inaltime paralela cu drumul navei (astrul observat este la travers)

arata deplasarea laterala a navei, adica deriva navei fata de drumul preliminar

trasat pe harta;

- o dreapta de inaltime perpendiculara (normala) pe drumul navei (astrul observat

este in prova sau pupa navei) permite determinarea distantei parcurse pe drumul

preliminar trasat pe harta urmat de nava;

- o dreapta de inaltime paralela cu coasta (sau la un pericol de navigatie) permite

determinarea distantei la coasta (pericolul de navigatie);

- aterizarea la coasta cu ajutorul unei singure drepte de inaltime este facilitata

daca astrul observat este dispus pe o directie paralela cu coasta.