Caracterul de generalitate al metodei elementelor finite

Caracterul de generalitate al metodei elementelor finite

Desi metoda a fost utilizata pe scara larga in domeniul mecanicii structurale; a fost aplicata cu succes si pentru rezolvarea altor tipuri de probleme de inginerie, de exemplu in domeniul conductibilitatii termice, dinamicii fluidelor, curgerilor de infiltratie si campurile electrico-magnetice. Aplicabilitatea generala a metodei a facu ca aceasta tehnica sa fie folosita pentru solutia unor valori de contur complicate pentru alte tipuri de probleme. Aplicabilitatea generala a metodei elementului finit se poate vedea observand similitudinile puternice intre diferitele tipuri de probleme tehnice. Pentru ilustrare vom prezenta similitudinile aplicarii metodei elementelor finite in domeniul ingineriei mecanice cu cele trei domenii distincte: analiza structurilor de rezistenta, analiza transferului termic, analiza curgerilor de fluide.

1 Analiza structurilor de rezistenta (Bara solicitata la sarcini axiale)

Consideram o portiune dintr-o bara dreapta, figura 1, pentru care aria sectiunii transversale variaza continuu dupa legea A(x): Bara este realizata dintr-un naterial cu proprietatile elastice cunoscute, (modulul de elasticitate longitudinala E si coeficientul de contractie transversala v), solicitata de sarcini axiale.

Fig. 1

Intr-o sectiune oarecare la distanta x de origine se poate scrie relatia fundamentala

Forta = (Aria) x (Tensiunea) =

= (Aria) x (Modulul de elast. long.) x (Def. Specifica liniara)=A(x) (1)

Admitand ca incarcarea data de sarcina axiala este constanta, rezulta ca solutia problemei se rezuma la rezolvarea ecuatiei algebrice:

2 Transferul unidimensional de caldura

Se ia in considerare echilibrul termic al unui element unidimensional intalzit, figura 2. Pentru un element de volum de lungime infinitezimala extras din corp viteza cu care caldura intra pe latura din stanga poate fi scrisa sub forma:

(3)

unde k reprezinta conductibilitatea termica a materialului, A este suprafata sectiunii transversale prin care se transfera caldura, (masurata perpendicular pe directia de curgere a caldurii) si este gradientul temperaturii T in raport cu directia axiala.

Viteza cu care caldura paraseste latura dreapta poate fi exprimata (retinand num primii 2 termeni din dezvoltarea in serie Taylor) ca fiind:

Fig. 2

(4)

Echilibrul energetic pentru elementul de volum considerat in timpul infinitezimal d este dat de o ecuatie de forma:

Dupa inlocuiri se poate scrie:

(5)

unde: este viteza de generare a caldurii pe unitatea de volum (prin sursa de caldura)

c este caldura specifica ρ este densitatea si este schimbarea de temperatura in timpul dt.

Dupa inlocuiri si impartire cu (dx dt), ecuatia 5 devine:

(6)

Ecuatia 1.4.6 poate fi particularizata dupa cum urmeaza:

a)     Daca sursa de caldura q este zero, obtinem ecuatia Fourier:

(7)

b)     Daca sistemul este in stare de repaus obtinem ecuatia lui Poisson:

(8)

c)     Daca nu avem sursa de caldura si sistemul este in stare de repaus obtinem ecuatia lui Laplace:

(9)

d)     Daca conductibilitatea termica si suprafata sectiunii transversale sunt constante ecuatia (9) se reduce la:

(10)