Ecuatiile generale ale miscarii fluidelor in forma diferentiala

ECUATIILE GENERALE ALE MISCARII FLUIDELOR IN FORMA DIFERENTIALA

In paragraful precedent am stabilit ecuatiile generale ale dinamicii fluidelor in forma integrala care se aplica unui volum de control, folosind legile de baza pe care le cunoastem de la mecanica clasica. Aplicarea acestor ecuatii presupune parcurgerea catorva etape obligatorii printre care: stabilirea volumului de control, identificarea suprafetelor de intrare si a suprafetelor de iesire, apoi aplicarea efectiva a ecuatiilor integrale, care difera de la un caz la altul.

Pentru a gasi forma diferentiala a ecuatiilor de miscare se pot utiliza trei metode diferite. Prima este o metoda matematica riguroasa care, utilizeaza calculul vectorial pentru obtinerea ecuatiilor de miscare in forma diferentiala, pornind de la ecuatiile integrale. A doua metoda consta in aplicarea principiilor de baza ale mecanicii, pentru o particula de fluid. Metoda pe care o vom aplica in continuare, cea de a treia, consta in aplicarea ecuatiilor integrale de miscare, deja descoperite pentru un volum de control elementar si trecerea la limita astfel incat volumul de control sa devina infinitesimal.

1 Ecuatia de continuitate

Pornind de la ecuatia in forma (3.23):

(3.23)

si observand ca sunt indeplinite toate conditiile matematice pentru aplicarea teoremei lui Gauss si transformarea integralei pe suprafata de control in integrala pe volumul de control, adica:

(3.57)

Pe de alta parte:

(3.58)

Tinand cont de (3.57) si (3.58), ecuatia (3.23) devine:

(3.59)

Trecand la limita pentru , obtinem:

si mai departe:

(3.60)

Ecuatia (3.60) este ecuatia de continuitate (ecuatia de conservare a masei) in forma diferentiala care, in cazul particular al unei curgeri permanente a unui fluid incompresibil, are forma matematica:

(3.61)

sau in coordonate carteziene:

(3.62)

2 Ecuatia de miscare

Vom deduce ecuatia de miscare aplicand teorema impulsului pentru un volum elementar de fluid. Vom utiliza un volum de forma unui paralelipiped, dreptunghic, avand dimensiunile si .

Inainte de aceasta, este util sa revedem conceptul de tensor al tensiunilor. Ulterior vom gasi legatura dintre tensiunile care apar in interiorul fluidelor si componentele vitezei pentru a finaliza forma ecuatiei de miscare.

Este cunoscut ca intr-un punct din ineriorul unui sistem continuu de puncte materiale, supus actiunii unor forte exterioare, se poate defini un tensor al tensiunilor reprezentat prin matricea:

(3.63)

In cazul unui fluid, componentele acestui tensor sunt prezentate in fig. 3-14.

Fig. 3-14 Tensprul tensiunilor intr-un punct

Cu referire la fig. 3-14, sa observam ca pe fiecare fata se dezvolta o tensiune normala si doua tensiuni tangentiale (continute in plan) - indicele "i" desemneaza directia perpendiculara pe plan, iar indicele "j" directia de actiune a tensiunii. Spre exemplu, desemneaza efortul aparut pe fata perpendiculara pe axa y, iar si desemneaza eforturile continute in fata respectiva si paralele cu axele x, respectiv z.

Sa mai observam, de asemenea, ca tensorul tensiunilor este simetric fata de diagonala principala pentru ca si ca aceste tensiuni tangentiale produc o rotatie a fluidului in planul in care actioneaza.

Vom aplica in continuare teorema impulsului pentru particula de fluid din fig.
3-14 avand dimensiunile si si vom proiecta aceasta ecuatie vectoriala pe axa y.

Fig. 3-15 Fortele care actioneaza in drectia y asupra particulei fluide,

avand forma unui paralelipiped cu dimensiunile si

Proiectiile pe axa y a termenilor continuti in teorema impulsului (3.31) se calculeaza dupa cum urmeaza:

(3.64)

(3.65)

(3.66)

Legat de proiectia pe axa y a ultimului termen din teorema impulsului, trebuie facute cateva precizari suplimentare. Asa cum am precizat in paragraful 3.4.2, dedicat teoremei impulsului, termenul , din punct de vedere fizic, reprezinta diferenta dintre debitul de impuls prin suprafata de iesire si debitul de impuls prin suprafata de intrare .

Fig. 3-16 Debitul de impuls pe directia axei y

Debitul de fluid prin suprafetele care se intersecteaza in punctul O sunt: , si . Proiectiile pe y a debitelor de impuls prin aceste suprafete vor fi , , respectiv . Considerand ca acestea sunt suprafetele prin care fluidul intra in volumul de control, putem scrie:

(3.67)

Dezvoltand membrul drept al relatiei (3.67) si considerand fluidul incompresibil ( - ecuatia de continuitate), obtinem:

(3.68)

Avand in vedere (3.64), (3.65), (3.66) si (3.68) si trecand la limita pentru , si , proiectia pe y a teoremei impulsului, in forma diferentiala se scrie:

(3.69)

Asemanator pentru celelalte doua directii putem scrie:

(3.70)

(3.71)

Termenii din membrul stang reprezinta acceleratiile pe cele trei directii. Sub forma vectoriala, acceleratia fluidului poate fi scrisa:

(3.72)

Termenul este acceleratia locala, iar este acceleratia convectiva. Pentru a prezenta semnificatia fizica a acceleratiei convective, consideram curgerea unui fluid printr-o tubulatura cu sectiune variabila, ca in fig. 3-17.

Fig. 3-17 Semnificatia fizica a acceleratiei convective

Viteza particulei de fluid in punctul B este mai mare decat in punctul A pentru ca, aria sectiunii disponibile pentru curgerea fluidului in B este mai mica decat in A. De aceea, particula de fluid pe drumul de la A la B accelereaza datorita micsorarii sectiunii curentului de fluid. (acceleratia convectiva). Daca in schimb variaza si debitul de fluid, spre exemplu daca in 5 s debitul se mareste de la 2 m³/s la 3 m³/s, atunci in punctul A exista o variatie a vitezei de la un moment la altul (acceleratia locala). Este important de stiut ca intr-un punct dintr-un spatiu fluid, la un moment dat exista un singur vector acceleratie a fluidului care nu depinde de alegerea sistemului de reprezentare a miscarii fluidului, eulerian sau lagrangean.

3 Ecuatia lui Bernoulli

In cazul curgerii unui lichid ideal (lipsit de vascozitate), tensiunile tangentiale sunt nule, iar cele normale sunt egale cu presiunea fluidului in punctul respectiv. Tensorul tensiunilor in acest caz este:

(3.73)

Ecuatiile de miscare in acest caz mai poarta denumirea si de ecuatiile Euler si au forma scalara:

(3.74)

si forma vectoriala:

(3.75)

Am aratat anterior ca in campul gravitational (2.4) si (2.8). Pe de alta parte, in cazul unui fluid incompresibil . Pe baza acestor considerente, relatia (3.75) capata forma:

(3.76)

Daca aceasta ecuatie vectoriala se inmulteste scalar cu vectorul , reprezentand deplasarea elementara de-a lungul unei linii de curent, atunci si obtinem:

(3.77)

iar pentru o miscare permanenta, ecuatia devine:

(3.78)

Se folosesc si urmatoarele forme echivalente:

(3.79)

(3.80)

Oricare din ecuatiile (3.78), (3.79) si (3.80) poarta denumirea de ecuatia lui Bernoulli. Daca analizam din punct de vedere dimensional, termenii din ecuatia (3.80) sunt lungimi, ceea ce ne permite si o interpretare grafica a ecuatiei lui Bernoulli, ca in fig.
3-18.

Fig. 3-18 Interpretarea grafica a ecuatiei lui Bernoulli

pentru o linie de curent C-C

Semnificatia fizica a termenilor care apar in relatia (3.80) si care sunt reprezentati in fig. 3-18 este urmatoarea:

z - sarcina de pozitie a particulei de fluid

- sarcina piezometrica a particulei de fluid

- sarcina cinetica a particulei de fluid (inaltimea la care s-ar ridica particula

de fluid, daca ar fi aruncata cu viteza V, vertical in campul gravitational).