Elemente de rezistenta materialelor

ELEMENTE DE INGINERIE

PARTEA A III-A: ELEMENTE DE REZISTENTA MATERIALELOR

1. Modelarea matematica a mediului continuu

Def.: mediul continuu - corp material ce umple in mod continuu un anumit domeniu din spatiu, adica astfel incat in fiecare punct geometric al domeniului ocupat de corp sa se gaseasca cate un punct material al corpului.

In functie de posibilitatile concrete de miscare ale mediului continuu in raport cu un reper oarecare, distingem tipuri si subtipuri de astfel de modele matematice de sisteme mecanice:

- solid rigid: distanta dintre oricare doua particule ale acestuia nu se modifica in timpul miscarii;

- solid (mediu continuu) deformabil: cazul contrar; la randul lor pot fi:

- fluide: curg; distingem:

- fluide incompresibile: densitatea nu variaza cu timpul (lichidele, cu o buna aproximatie);

- fluide compresibile: densitatea variaza in timp (ex.: gazele);

- solide: nu curg; avem urmatoarele subtipuri:

- solide elastice: revin la starea mecanica initiala dupa indepartarea actiunii mecanice;

- solide neelastice (plastice) cazul contrar.

Observatii:

Diferenta dintre solidele elastice si cele plastice nu este neta: daca intensitatea actiunii deformatoare depaseste o anumita limita, specifica fiecarui material in parte, orice deformatie elastica este insotita de una plastica.

Un tip special de mediu continuu deformabil il constituie plasma. Acest sistem este alcatuit din atomi neutri si atomi excitati, ioni, electroni, fotoni etc.

Avantajul modelului mediului continuu astfel construit este de a se evita orice ipoteza privind constituti intima a materiei si de a oferi posibilitatea de folosire a rezultatelor analizei matematice. Ca urmare, se va respecta regula oricaror rezultate din termodinamica: rezultatele sunt valabile numai la nivel macroscopic.

Discutie:

Dupa cum s-a vazut in ultimele secole, substanta are o strucrura "granulara". La limita avem electroni, protoni etc. ale caror dimensiuni sunt foarte mici in raport cu distantele dintre ele - spatiul "ocupat" in mod real de un sistem macroscopic este mai mult gol la nivel microscopic. "Ici-colo" cate o mica particula. Prin urmare, notiunea de continuitate definita mai sus trebuie mai bine precizata. Altfel, singurul model "mai general" de sistem mecanic ar ramane sistemul de puncte materiale.

Pentru aceasta consideram o portiune din mediul continuu; volumul acesteia il notam cu , numarul de particule (molecule) cuprinse in acesta cu , iar masa acestora cu . Pentru ca mediul sa posede proprietatea de continuitate se considera, ca model matematic, ca trebuie sa existe limitele

- densitate de particule:

- densitate (masica):     (2)

adica, oricat de mic ar fi volumul elementar, in el sa existe totusi un numar suficient de particule, avand o anumita masa.

Discutie:

Intrucat, asa cum am spus, in mod real o asemenea divizare nu se poate realiza la infinit, pentru ca formula anterioara sa aiba sens fizic se introduc cateva notiuni specifice care sa realizeze legatura notiunilor matematice cu realitatea. Astfel:

Def.: prin domeniu (volum) infinit mic din punct de vedere fizic (macroscopic mic), vom intelege acel domeniu (volum) elementar care este mic in comparatie cu domeniul spatial de la care incep sa se manifeste neomogenitatile microscopice, dar suficient de mare pentru a cuprinde un numar apreciabil de particule componente; il vom nota cu .

Asadar, elementul de volum din mediul continuu trebuie sa fie, pe de-o parte, suficient de mic, astfel incat, din punct de vedere matematic sa poata fi considerat infinitezimal, modeland astfel continuitatea observabila la nivel macroscopic, iar pe de alta parte suficient de mare, astfel incat, din punctul de vedere al fizicii statistice sa inchida in interiorul sau un numar de molecule suficient de mare care sa formeze un colectiv statistic pentru care sa poata fi definiti parametrii termodinamici uzuali (masa, presiune etc.) ca medii statistice pe aceste colective.

Def.: numarul de particule continut intr-un volum infinit mic din punct de vedere fizic se numeste particula infinit mica din punct de vedere fizic sau simplu, particula (dar numai in acest context; masa a particulelor din se numeste masa particulei mediului continuu .

Astfel, in mecanica mediilor continue, prin particula, vom intelege intotdeauna o particula infinit mica din punct de vedere fizic in sensul acestei definitii.

Def.: Prin densitate de particule a mediului continuu intr-un punct P vom intelege inversul volumului ocupat de aceasta particula:

(3)

iar prin densitate (de masa) a mediului continuu in punctul P se intelege:

(4)

In cel mai general caz, densitatea (de particule) este o functie de pozitie si timp de clasa :

    (5)

unde prin intelegem vectorul de pozitie al particulei. Se poate deci vorbi despre un camp (scalar) al densitatii.

Conform consideratiilor de analiza matematica, relatia (2) se scrie echivalent astfel:

    (6)

unde M este masa mediului continuu ce ocupa un volum V.

2. Modelarea matematica a starii tensionate a fluidului

Odata modelat matematic mediul continuu, se impune modelarea matematica a interactiunii mecanice exercitata asupra acestuia. In acest sens, trebuie remarcat mai intai faptul ca acest model va fi deosebit fata de cele din cazul punctelor materiale si sistemelor de puncte materiale, tocmai datorita caracterului distribuit al acestor sisteme.

Asa cum se arata in cadrul punctului material si sistemelor de puncte materiale, modelarea matematica a interactiunii mecanice dintre aceste sisteme si mediul lor exterior conduce la notiunea de forta ca vector precis determinat, adica avand un modul, o directie, un sens si un punct de aplicatie precise. Conform modelarii matematice anterioare a mediului continuu, rezulta ca in cazul acestuia nu putem mentine acest model; datorita caracterului uniform distribuit al acestuia, nu se poate defini un punct de aplicatie.

De asemenea, situatia reala ne arata ca, in cazul actiunilor mecanice care se exercita asupra unui mediu continuu este necesar a se considera doua categorii distincte ce se vor modela matematic separat in cele ce urmeaza:

actiuni masice

Actiunile masice se exercita asupra mediilor continue prin intermediul campurilor (electrice, magnetice, gravitationale, centrifugale etc.).

Sa notam cu marimea vectoriala aditiva (conform aspectelor relevate direct de simturile noastre cu privire la mediul macroscopic - a se vedea 'principiul' paralelogramului) ce modeleaza actiunea mecanica exercitata asupra unei portiuni V a mediului continuu modelat anterior. Presupunem mai intai ca aceasta actiune este cauzata de materia 'exterioara' (substanta si campuri) sistemului nostru, motiv pentru care o numim forta exterioara. Conform discutiilor de la principiul echilibrului local acestui parametru extern aditiv ii corespunde densitatea specifica a acesteia:

(7)

unde, in conformitate cu modelul construit, este forta ce actioneaza asupra particulei de masa din mediul continuu.

Pe de alta parte, asupra portiunii V din mediul continuu, se vor exercita forte interioare din partea oricarei altei portiuni a acestuia. Fie deci V' o portiune oarecare a mediului continuu, (multime deschisa) disjuncta de V; notam cu marimea vectoriala ce modeleaza actiunea mecanica exercitata de portiunea V' asupra portiunii V. Principiul actiunii si reactiunii mecanice impune, evident, antisimetria acestei functii:

    (8)

iar 'principiul' paralelogramului impune aditivitatea acesteia in raport cu ambele argumente.

Ne intereseaza insa forta interioara totala pe care o exercita mediul continuu asupra portiunii V; conform consideratiilor facute, rezulta ca aceasta va fi modelata matematic de marimea vectoriala:

(9)

unde este complementara portiunii V. Se poate arata ca si aceasta forta respecta proprietatea de aditivitate. Conform acelorasi consideratii de la principiul echilibrului local, acestui parametru extern aditiv ii va corespunde o alta densitate specifica:

(10)

Suma fortei exterioare si a celei interioare ne va da atunci forta masica totala ce actioneaza asupra portiunii V din mediul continuu modelat:

    (11)

avand densitatea specifica data de:

(12)

Def.: se numeste forta masica exercitata asupra portiunii V din mediul continuu modelat, iareste forta masica specifica sau distributie volumica de forta din aceasta portiune.

actiuni superficiale

Pe frontiera oricarui corp continuu se exercita forte de catre sistemele cu care acesta vine in contact. Modelul matematic al acestora, va fi diferit de cel al fortelor masice.

Astfel, datorita specificului acestor forte, marimea intensiva corespunzatoare acestora va fi similara fortei masice specifice, dar in marimi superficiale. Fara a mai face toata discutia anterioara valabila si in acest caz dar relativa laelementul de suprafata, avem astfel:

Def.: - distributia superficiala de forta (efort unitar sau tensiune) se defineste prin relatia

    (13)

- forta superficiala totala ce actioneaza asupra suprafetei mediului continuu:

(14)

Discutii:

1^o. Evident, aceste marimi sunt, in general, rezultatul a doua componente ale actiunii mecanice:

- actiuni exterioare, datorate prezentei corpurilor exterioare mediului continuu considerat;

- provin din interactiunile reciproce dintre particulele mediului.

2^o. Pentru distributia superficiala de forte avem uzual urmatoarea clasificare:

- → tractiune;

- → presiune;

- → forfecare.

In cazul mediilor fluide intalnim, in general, presiuni, pe cand la solidele deformabile sunt posibile toate cele trei tipuri de distributii superficiale.

3^o. Daca forta masica specifica este o functie care spatial depinde numai de pozitia punctului considerat in interiorul mediului continuu, tensiunea va depinde, in plus si de normala la suprafata in punctul P de pe suprafata mediului continuu. Acest lucru il scriem astfel:

    (15)

Relativ la aceasta dependenta, ca urmare a principiului actiunii si reactiunii (conform caruia rezulta ca tensiunile exercitate de o parte pe cealalta a mediului considerat sunt egale si de semn contrar) se impune tensiunii conditia de antisimetrie in raport cu normala (in afara de cea de aditivitate implicita):

    (16)

In continuare, consideratii de mecanica mediului continuu impun definirea unor alte marimi legate de modelarea actiunilor mecanice exercitate asupra acestuia. De data aceasta insa este vorba nu de consideratii legate de modelari impuse de informatii transmise de simturile noastre, ci de consideratii strict matematice.

Astfel, sa vedem in continuare ce corespondent are teorema impulsului punctului material in cazul mediului continuu. Pentru a stabili acest lucru rationam conform standardului uzual de generalizare:

►Prin definitie, impulsul unei portiuni V a mediului continuu se va defini, pe baza principiului aditivitatii din universului macroscopic, ca suma impulsurilor tuturor particulelor componente ale acesteia unde, datorita modelului mediului continuu dezvoltat anterior, suma trece intr-o integrala asupra impulsurilor infinitezimale:

(17)

Pe de alta parte, teorema impulsului punctului material, scrisa pentru o particula a portiunii V din mediul continuu se scrie:

fortele ce actioneaza asupra particulei de masa dm =    (18)

Prin consideratii matematice relativ consistente, ce includ notiunea de derivata materiala si ecuatia de continuitate a mediului continuu (ecuatia de conservare locala a masei), se arata ca, prin integrarea ecuatiei (18) peste toata portiunea V, teorema impulsului acesteia va lua forma generalizata urmatoare:

    (19)

unde este campul de acceleratii din portiunea considerata a mediului continuu (acceleratia particulei din punctul cu pozitia la momentul t).

Prin urmare, atunci cand avem de-a face cu actiuni mecanice concrete ce actioneaza asupra portiunii V a mediului continuu, pentru a ne folosi de aceasta relatie (ca si de cele corespondente ce exprima celelalte teoreme ale punctului material generalizate in acelasi mod la o portiune a mediului continuu), este necesar sa gasim dependenta tensiunii de normala la suprafata. Cel mai utilizat rationament in acest sens este cel propus de Cauchy, motiv pentru care este prezentat in cele ce urmeaza.

►Fie un punct oarecare al frontierei a portiunii V a mediului continuu si versorul normalei exterioare al acestei suprafete in punctul considerat. Construim imaginar tetraedrul infinitezimal continut in portiunea V, avand varful in P si cele trei puncte ale bazei notate pe directiile axelor de coordonate ce trec prin punctul P, la distantele de acesta. Vom nota cu fata a tetraedrului si cu fetele acestuia paralele cu planele respective de coordonate .

Asa cum se arata si in figura anterioara, vom mai nota:

- - tensiunea care actioneaza pe fata a tetraedrului;

- - tensiunea care actioneaza pe fata a tetraedrului, ;

- - componentele vectorului : ; (20)

- - centrele fetelor triunghiulare in care se aplica fortele distribuite ce actioneaza asupra acestora.

Sa remarcam faptul important ca, intrucat nu ne intereseaza decat o relatie matematica, nu importa starea de miscare sau repaus a tetraedrului construit. De aceea, fara a modifica cu nimic rezultatul pe care cautam sa-l stabilim, il vom presupune in repaus.

De asemenea, dimensiunile infinitezimale ale tetraedrului ne permit sa consideram constante tensiunile ce actioneaza pe baza si pe fetele laterale ale acestuia, in toate punctele triunghiurilor corespunzatoare.

Cu aceste consideratii, echilibrul fortelor si momentelor cu privire la tetraedrul aflat in repaus se scrie:

- forte: ;

- momente:

Componenta echilibrului fortelor pe axa va fi:

    (21)

Sa remarcam ca, daca notam cu unghiurile directoare ale normalei , avem atunci relatiile:

    (22)

ceea ce conduce la scrierea relatiei (21) sub forma:

    (23)

Acestea sunt relatiile cautate. Ele ne dau dependenta tensiunii in functie de normala , descrisa de cosinusurile sale directoare. Se observa ca intregul rationament al lui Cauchy a condus la definirea unui tensor de componente , numit tensorul tensiune. Conform constructiei sale, rezulta ca acesta descrie complet starea de tensiune mecanica din punctul P al mediului continuu considerat, permitand prin relatiile (20) si (23) calculul tensiunilor ce actioneaza in orice directie.

Echilibrul de momente al tetraedrului infinitezimal impune o anumita forma acestui tensor. Astfel, componenta ecuatiei de momente pe axa conduce la relatia:

    (24)

Dar, avem relatiile ce exprima volumul tetraedrului infinitezimal:

    (25)

care conduc la relatia:

    (26)

Analog si pentru celelalte perechi. Rezulta ca putem generaliza, astfel ca:

    (26)

Aceasta relatie ne spune ca tensorul tensiunilor este simetric (fapt cunoscut sub numele de principiul dualitatii tensiunilor tangentiale).

Discutii:

1^o. Notatiile utilizate in rationamentul anterior au tinut cont de simplificarea maxima in scrierea relatiilor respective. Uzual se utilizeaza insa notatii si denumiri cu semnificatie fizica mult mai intuitiva:

- → tensiunile normale in punctul P;

- → tensiunile tangentiale in punctul P;

- tensorul tensiunilor in punctul P.

2^o. Valorile proprii ale tensorului tensiunilor si vectorii proprii asociati acestora se numesc tensiuni normale principale, respectiv directii principale de tensiuni. In sistemul de axe principale toate tensiunile tangentiale sunt nule. Tensorul tensiunilor fiind simetric, rezulta ca in acest sistem de axe tensiunile normale sunt maxime (iar cele tangentiale minime).

3^o. Daca se noteaza

    (27)

intensitatea medie a tensiunilor normale, se construieste asa-numitul tensor sferic al tensiunilor avind matricea asociata:

    (28)

si deviatorul tensiunilor, un alt tensor important avand matricea asociata:

    (29)

Avem:

    (30)