Studiul deplasarilor prin metode energetice

Cuprins:

1. Energia potentiala de deformatie

2. Lucrul mecanic al fortelor exterioare. Teorema lui Clapeyron

3. Teoremele reciprocitatii lucrului mecanic si deplasarilor

4. Studiul deplasarilor prin metoda Mohr - Maxwell

5. Metoda de integrare a lui Veresceaghin

1. Energia potentiala de deformatie

1.1. Generalitati

Sub actiunea fortelor si momentelor exterioare, corpurile solide se deformeaza, punctele de aplicatie ale acestora se deplaseaza, planele in care actioneaza momentele se rotesc, deci se produce lucru mecanic. Cand aceste solicitari sunt in domeniul elastic, lucrul mecanic al fotelor exterioare se acumuleaza sub forma de energie potentiala a corpului deformat.

Expresiile analitice ale energiei potentiale de deformatie se pot scrie in functie de eforturi, de tensiuni sau de deformatii. Se obtin relatii care pot folosi in numeroase probleme ca : studiul deformatiilor si deplasarilor, studiul sistemelor static nedeterminate, calculul eforturilor unitare la solicitari dinamice, studiul stabilitatii, etc.

Metodele de calcul bazate pe expresiile energiei de deformatie se numesc metode energetice. In acest capitol se vor studia deplasarile elastice, in sisteme static determinate, prin metode energetice. Pentru utilizarea metodelor este necesara determinarea expresiei generale a energiei de deformatie, functie de eforturi, pentru solicitari simple si pentru cazul general de solicitare plana studiat.

1.2. Expresiile energiei in functie de eforturi

Pentru barele drepte solicitate prin forta axiala, moment de rasucire sau moment incovoietor, s - au dedus expresiile energiei de deformatie :

(1)

Se poate deduce o formula asemanatoare pentru solicitare prin forta taietoare, dar se neglijeaza de obicei energia datorata acestei solicitari, fiind foarte mica in raport cu celelalte.

De asemenea se neglijeaza energia de deformatie datorata fortei axiale, in raport cu aceea datorata momentului incovoietor. Deci la bare solicitate la eforturi N, T, M se va considera numai energia datorata momentului incovoietor.

1.3. Expresiile energiei in functie de deformatii

Se poate exprima energia potentiala si functie de deformatii. Astfel, la bara solicitata de o forta axiala constanta, notand deformatia D l = , se poate scrie :

(2)

Pentru bara solicitata la incovoiere se stie ca:

, deci :

(3)

Se pot deduce solutii mai simple, in cazuri particulare :

- Daca bara e supusa la solicitari axiale, in care N si EA sunt constante, rezulta :

(4)

- Daca bara    supusa la rasucire are si GI constante, atunci :

(5)

- Daca bara supusa la incovoiere are M si EI constante, atunci :

(6)

in care j este unghiul de rotire dintre sectiunile transversale aflate la distanta una fata de cealalta.

2. Lucrul mecanic al fortelor exterioare. Teorema lui Clapeyron

Se considera ca asupra unei bare drepte actioneaza forta exterioara axiala, a carei valoare se aplica static, adica ea creste de la valoarea zero la valoarea maxima P.

Ea produce in final deformatia :

deci deformatia este proportionala cu forta.

Pentru o deplasare elementara dx a fortei , lucrul mecanic elementar este : (figura 1)

iar lucrul mecanic total este :

dar

(6)

Prin analogie, daca sub actiunea momentului incovoietor M sectiunea transversala se roteste cu unghiul j, in cazul aplicarii statice a momentului, lucrul mecanic al momentului    exterior se scrie :

(6)

In cazul barelor circulare supuse la rasucire cu un moment exterior M aplicat static, daca este rotirea sectiunii in care se aplica momentul, lucrul mecanic exterior este:

    (6)

Pe baza legii conservarii energiei se poate admite ca lucrul mecanic al sarcinilor exterioare (forte si cupluri) se transforma in intregime in energie de deformatie :

W = L   

Aceasta relatie exprima teorema lui Clapeyron, conform careia pentru un corp solid in repaus, lucrul mecanic al fortelor exterioare este egal cu energia de deformatie acumulata in corp.

Aceasta teorema se poate utiliza pentru calculul deplasarilor in sisteme elastice, de exemplu deplasari pe directie si in dreptul sarcinilor cand corpul se incarca cu o singura forta.

Problema nr.35

Pentru grinda din figura 2 , avand EIz = const sa se determine : sageata in A, cand se aplica o forta egala cu P, verticala.

Rezolvare:

Problema nr.36

Pentru bara simetrica cu doua console, in care EIz = const., sa se determine rotirea din capetele consolelor. Se cunosc : M, a, l.

Figura 3

Rezolvare :

Din motive de simetrie :

L = 2L' = 2

deci , din   

W = L, rezulta :

Problema nr.37

Pentru sistemul de bare din figura, avand rigiditatea la intindere EA = const. Se cere deplasarea punctului C pe directia fortei P. (figura 4)

Figura 4

Rezolvare :

Din echilibrul nodului C rezulta:

N = P, N = - P , deci :

Inlocuind in ecuatia W = L rezulta :

f =

3 Teorema reciprocitatii lucrului mecanic si deplasarilor

Se considera doua stari de incarcari succesive ale unei bare drepte. Prima stare este data de forta P care produce in sectiunile (1) si (2) deplasarile verticale D respectiv D. A doua stare este data de forta P care produce in sectiunile (1) si (2) deplasarile verticale D, respectiv D( figura 5).

S-au notat deplasarile cu doi indici; primul arata locul in care are loc deplasarea, al doilea arata starea de incarcare.

Pentru prima stare, considerand EI = constant rezulta prin calcule :   

Pentru a doua stare se obtin deplasarile :

Figura 5

Se constata ca :    (8)

sau

L = L (9)

Relatia (8) sau (9) exprima teorema reciprocitatii lucrului mecanic, sau teorema lui Betti, care se enunta astfel:

Daca asupra unui sistem deformabil in domeniul elastic se aplica doua stari de incarcare succesive, lucrul mecanic efectuat de sarcinile din prima incarcare (forte, cupluri) pe deplasarile din a doua stare (sageti, rotiri) este egal cu lucrul mecanic efectuat de sarcinile din a doua stare de incarcare pe deplasarile din prima stare de incarcare.

Nu s-a demonstrat, in acest paragraf, teorema, ci s-a efectuat o verificare a ei, pentru un caz simplu de stari de incarcare:

Daca in relatia (8) se considera P = P = P rezulta:

D D (10)

Relatia (10) exprima teorema reciprocitatii deplasarilor sau teorema lui Maxwell: Deplasarea produsa in sectiunea (1) a unei bare cand o forta oarecare este

aplicata in sectiunea (2) este egala cu deplasarea produsa in sectiunea (2) cand aceeasi forta actioneaza in setiunea (1). Deplasarile se masoara pe directia fortelor.

Daca se aplica forte unitare, deplasarile se noteaza , respectiv

Deplasarea totala, pentru sarcini P, va fi :

D= P = P (10')

Cu ajutorul acestor teoreme se pot determina deplasari (sageti sau rotiri) in sisteme elastice.

Problema nr.38

Folosind teorema reciprocitatii deplasarilor, se cere sageata in sectiunea (1) cand in sectiunea (2) se aplica forta P. Se considera EI = const (figura 6a).

Rezolvare :

Vom folosi relatiile determinate in capitolul 8.

Figura 6.a

Figura 6.b

Pentru schema din figura 6b s - au determinat :

4. Studiul deplasarilor prin metoda Mohr - Maxwell

Pentru determinarea pozitiei deformate a axei barei este necesar sa se determine deplasarea liniara a unui punct al axei sau rotirea unei sectiuni transversale. Aceste deplasari se pot obtine cu ajutorul unor relatii generale de calcul, relatii ce se pot deduce folosind teorema lui Clapeiron, potrivit careia lucrul mecanic al fortelor exterioare este egal cu energia de deformatie acumulata in corp.

In acest scop se va considera cazul unei bare in doua situatii de incarcare: prima este incarcarea reala sub care se produce deplasarea Di ce trebuie determinata, in punctul i, (fig.7.a), a doua este o incarcare auxiliara fictiva, data de o sarcina unitara aplicata in punctul si pe directia deplasarii cautate (figura7.b).

Neglijand energia de deformatie datorata eforturilor T si N,neglijabila in raport cu aceea datorata momentelor incovoietoare, se pot scrie relatiile corespunzatoare.

Figura 7.a

Figura 7.b

In situatia de incarcare cu sarcini reale, teorema lui Clapeyron se exprima prin relatia: (figura8.a)

L =W in care :

deci :

(11)

In situatia de incarcare cu sarcina unitara in i, se obtine expresia (figura8b):

(12)

in care D este deplasarea pe directia sarcinii P este deplasarea pe directia sarcinii unitare, M si m diagramele de momente incovoietoare corespunzatoare celor doua situatii de incarcare.

Se incarca grinda intai cu sarcina unitara, apoi se suprapun sarcinile reale. (figura 8c) ; se poate scrie :

(13)

In membrul stang, al treilea termen nu mai este afectat de coeficientul pentru ca sarcina unitara actioneaza tot timpul cu intreaga marime, pe distanta D

Al treilea termen din membrul drept este energia acumulata de bara datorita momentelor incovoietoare m ce se rotesc cu intreaga marime, cu unghiurile

dj = , produse prin aplicarea ulterioara a sarcinilor reale, anume : (figura 8d)

Figura 8

Tinand seama de relatiile (11) si (12), relatia (13) devine :

(14)

Expresia (14) este formula Maxwell - Mohr pentru calculul deplasarilor produse de sarcini.

Daca se tine seama si de efectul fortelor axiale rezulta :

(15)

unde n, este diagrama unitara de forte axiale.

Observatii

1. Pentru grinzi sau cadre se poate lua in considerare numai energia data de momentele incovoietoare, deci se va folosi relatia (14).

2. Pentru grinzi cu zabrele plane sau spatiale se foloseste relatia (15) cu observatia ca M = 0.

3. Sarcina unitara din situatia auxiliara se aplica pe directia deplasarii cautate. Aceasta sarcina poate fi forta sau moment servind la aflarea sagetii sau rotirii in punctul respectiv.   

4. Daca D rezulta pozitiva din calcul, deplasarea are semnul sarcinii unitare, daca este negativa are sens invers sarcinii unitare.

Problema nr.39

Se cere sageata in (1) pentru grinda din figura 9 .

Figura 9

Rezolvare :

Problema nr.40

Se cere j pentru grinda din figura 10 .

Figura10

Rezolvare :

5. Metoda de integrare a lui Veresceaghin

Efectuarea integralelor din expresia Mohr - Maxwell este simpla, dar pentru incarcari complexe, duc la un calcul laborios. In cazul barelor sau cadrelor formate din bare drepte, in care in calculul integralelor se retine termenul dat de momentele incovoietoare, deoarece diagrama m este o functie liniara, s-a elaborat o metoda comoda de integrare grafico - analitica, metoda lui Veresceaghin (1924).

Fie diagrama M(x) de o forma oarecare, iar diagrama m(x) liniara, de forma : m(x)= ax + b (figura 11) pe intervalul [ l1 ,l2 ].

Considerand EI = const, este necesar sa se calculeze integrala din relatia (14) :

Dar, conform desenului, elementul de arie al diagramei M este dA = Mdx, deci integrala devine :

Figura11

Daca A este aria diagramei de momente, C centrul ei de greutate si x abscisa acestuia, atunci :   

Asadar :

Dar , adica ordonata din diagrama m(x) din dreptul centrului de greutate al diagramei M(x) :

(16)

Daca diagrama m(x) este formata dintr-o linie franta, relatia (16) se aplica pe portiuni (k este numarul de segmente de dreapta ale diagramei m).

Cu aceste precizari, formula Mohr - Maxwell devine :

(17)

Relatia de calcul a deplasarilor, data de formula (17) se datoreaza savantului sovietic Veresceaghin si a fost dedusa in anul 1924 .

Pentru aplicarea formulei este necesara cunoasterea pozitiei centrului de greutate si a ariei diagramei M.

Pentru incarcari obisnuite, diagramele M pot avea urmatoarele forme :

(figura 12)

Figura12

Daca pentru diagrama M este dificil de determinat pozitia centrului de greutate, se descompune aceasta in suprafete mai simple, folosind, daca este necesar principiul suprapunerii efectelor.

Astfel, in figura 13, aria diagramei M se descompune intr-un dreptunghi si un triunghi.In acest caz :

Figura 13

Problema nr.41

Pentru grinda dreapta avand EI = const. se cere sageata in capatul consolei incarcata cu sarcina uniform distribuita q . (figura 14)

Figura14

Rezolvare :

a) Relatia Mohr - Maxwell :

b) Metoda Veresceaghin :

Pentru cadre plane formula Mohr - Maxwell se aplica in acelasi mod, tinand seama de regulile de trasare a diagramelor de momente. Modul de lucru este ilustrat in problema urmatoare :

Problema nr.42

Pentru cadrul plan unde se cunosc EI = const., l, P, se cer deplasarile punctului (3) pe orizontala si pe verticala (figura 15).

Figura 15

Rezolvare :

Pentru aplicarea metodei de integrare a lui Veresceaghin se traseaza diagramele M si m', respectiv m", pentru sarcinile unitare pe directia celor doua deplasari, apoi se aplica formula (17).