Tipuri de elemente finite si functii de interpolare

Tipuri de elemente finite si functii de interpolare

O problema deosebit de importanta in aplicarea metodei elementelor finite este legata de alegerea celei mai potrivite discretizari si al celor mai potrivite tipuri de elemente finite care sa conduca la elaborarea unui model de calcul care sa asigure posibilitatea obtinerii unor rezultate cat mai apropiate de fenomenul real.

Tipurile de elemente finite utilizate in elaborarea modelelor de calcul se deosebesc intre ele prin forma lor geometrica, numarul si tipul nodurilor sale, tipul.

Cea de-a treia dimensiune a sa, grosimea g, reprezentata cu linii intrerupte, intrucat este constanta pe intreg domeniul elementului finit, nu apare in reprezentarile obisnuite ale acestui tip de element finit intrucat se asociaza acestuia ca o constanta reala, fapt in discretizarile care se fac pentru placi, elementele finite sunt reprezentate pe suprafata lor mediana, in Fig. 2.1.1. b), s-a reprezentat pentru doua elemente finite invecinate m si n variatia functiei de deplasare u(x,y), in cazul in care s-au utilizat, polinoame de interpolare liniare. In acest caz continuitatea interelemente e satisfacuta in mod implicit prin impunerea continuitatii functiei in noduri. In cazul care se utilizeaza polinoame de interpolare de ordin superior, conditia de continuitate poate sa nu fie satisfacuta la nivelul zonelor interelemente, Fig. c).

Elementele finite care conduc la o modelare in care ca o consecinta a impunerii conditiilor de continuitate pe directiile gradelor de libertate din noduri este satisfacuta in mod automat continuitatea la nivelul zonelor interelemente se numesc compatibile sau conforme.

Privitor la continuitatea functiilor de interpolare in literatura de specialitate sunt prezentate notatii unificate pentru diferitele clase existente, dupa cum urmeaza:

In cazul in care se asigura continuitatea functiilor poarta denumirea de polinoame generalizate Lagrange si fac parte din clasa C°.

In cazul in care pe langa continuitatea functiilor este asigurata si continuitatea derivatelor acesteia, polinoamele de interpolare poarta denumirea de polinoame Hermite si fac parte din clasa C¹ ,C²,, Cⁿ. In aceste notatii la exponent apare ordinul maxim al derivatei pentru care este asigurata continuitatea.

In cazul metodei elementelor finite precizia de calcul depinde de numarul elemente utilizate in discretizarea structurii. in cazul in care printr-o discretizare mai densa precizia de calcul creste in raport cu o alta discretizare mai grosiera, atunci solutia problemei este convergenta, fig. 1.2.3.

Conditia de convergenta este satisfacuta daca functiile de interpolare sunt astfel alese incat sunt indeplinite urmatoarele conditii:

sa poata reprezenta corect deplasarile de corp rigid, adica pentru astfel de deplasari tensiunile deduse pe baza functiilor de interpolare sa rezulte valori nule;

sa contina termeni care sa conduca la expresii ale tensiunilor capabile sa reprezinte starea de tensiune omogena pe element;

Conditiile de continuitate si convergenta pot fi satisfacute integral daca polinoamele de interpolare sunt polinoame complet de un grad cel putin egal cu cel mai mare ordin de derivare care apare in relatiile diferentiale dintre deformatii si deplasari. De exemplu pentru problema plana se pot utiliza polinoame complete de gradul intai pentru placi in care relatiile curbura deplasare apar derivate de ordinul doi, este necesara utilizarea unui polinom de interpolare cu gradul cel putin doi. In cazul in care polinomul astfel ales nu are un numar suficient de parametri pentru satisfacerea variabilelor de nod (deplasari generalizate) precum si tipul functiilor de interpolare folosite. Functiile de interpolare nu pot fi alese arbitrar intrucat ele trebuie sa indeplineasca conditiile de continuitate si conditiile de convergenta a solutiei aproximate.

Continuitatea poate fi asigurata in anumite conditii prin alegerea functiei de interpolare sub forma unui polinom algebric. Conditiile de compatibilitate intre elemente impune ca functia care descrie comportamentul necunoscutelor problemei pe domeniul elementului finit si o parte din derivatele ei sa fie continue. Astfel in cazul barelor solicitate numai de sarcini axiale este suficienta satisfacerea continuitatii functiei de deplasare u(x). in cazul barelor solicitate la incovoiere pe langa functia de deplasare v(x) trebuie asigurata si continuitatea derivatei dv/dx. La elementele finite din aceasta categorie continuitatea poate fi satisfacuta daca se aleg ca si grade de libertate in noduri deplasarile a caror continuitate este ceruta.

La elementele finite cu doua sau trei dimensiuni, ca de exemplu in cazul starilor plane de tensiune si deformatie, probleme de elasticitate tridimensionale, sau in cazul placilor, asigurarea continuitatii are un caracter diferit. Pentru exemplificare consideram elementul finit triunghiular m, Fig. 2.1.1 a), utilizat frecvent in formularea problemei plane.

Fig. 2.1.1

Utilizarea principiului lucrului mecanic virtual pentru formularea matricei de rigiditate

O structura liniar-elastica este in stare de echilibru static daca lucrul mecanic virtual al fortelor exterioare este egal cu energia de deformare pentru ori ce deplasare virtuala compatibila cu legaturile sistemului

Pentru elementul de bara solicitat axial, lucrul mecanic al fortelor exterioare (forte ce actioneaza in noduri este:

Scris sub forma matriciala

Nota: Pentru simplificare s-a renuntat la utilizarea notatiei specifice sistemului de coordonate local

Lucrul mecanic virtual al tensiunilor este:

Tinand conLde exprimarea deformatiilor specifice functie de deplasari , care se scrie si sub forma:

respectiv

Tinand cont si de expresia tensiunilor functie de deplasarile nodale, exprimata de:

Rezulta:

Din eligibilitatea rezulta:

Pentru elementele bara 1D, cu

Expresia pentru matricea de rigiditate a elementului se poate generaliza si pentru stari de incercare mai complexe. In acest caz in vor aparea mai multe componente, iar pentru legatura intre tensiuni si deplasari se foloseste relatia

Matricea de rigiditate se calculeaza astfel: