CALCULUL REGULATORULUI DIN CADRUL SRA PRIN METODA REPARTITIEI POL-ZERORI

Metoda repartitiei poli-zerouri are la baza posibilitatea stabilirii relativ simple a corespondentei a evolutiei in timp a sistemului si repartitia polilor si zerourilor functiei de transfer a sistemului. Proiectarea se face pornind de la performantele impuse raspunsului sistemului la o variatie a marimii de intrare de obicei treapta unitara si mai rar rampa unitara.

1. Sistemul de ordinul doi

Sistemele de ordinul doi sunt descrise de o functie de transfer de forma :

(3.47)

unde - polii sistemului, - pulsatia proprie si - factorul de amortizare.

Sistemul de ordinul doi are importanta mare in proiectare deoarece in faza initiala a proiectarii prin metoda poli-zerouri se incearca considerarea SRA ca fiind un sistem de ordinul doi, se incearca satisfacerea tuturor performantelor impuse prin amplasarea corespunzatoare a polilor urmand ca in cazul in care este imposibila satisfacerea tuturor performantelor sa se introduca un pol, un zerou sau un ansamblu pol-zerou suplimentar, acesta se face pana la satisfacerea performantelor impuse.

Figura 1.

Se porneste de la schema bloc a unui SRA simplu (fig.1) unde se considera cunoscuta functia de transfer a partii fixe PF formata din procesul tehnologic PT, elementul de executie a reglarii EE si elementul de masura EM.

Se cunosc performantele pe care trebuie sa le indeplineasca SRA, se incearca utilizarea unui SRA de ordinul doi si pe baza relatiilor dintre performantele statice si dinamice si pozitiile polilor se verifica daca aceste performante sunt indeplinite. Daca ele sunt indeplinite, cunoscand functia de transfer a SRA care este un sistem de ordin doi si functia de transfer a partii fixe, se determina functia de transfer a regulatorului.

Daca sistemul de ordinul doi nu satisface toate performantele impuse se incearca introducerea unui pol, zerou sau ansamblu pol-zerou, se verifica din nou daca performantele sunt satisfacute si atunci se poate determina functia de transfer a SRA si apoi functia de transfer a regulatorului.

Prin identificarea celor doua functii de transfer (3.47) se obtine :

(3.48)

Pentru satisfacerea performantei stationare la intrare treapta trebuie ca functia de transfer a sistemului deschis sa aiba poli in origine, adica :

(3.49)

de unde :

(3.50)

Pentru satisfacerea performantei stationare trebuie ca adica , rezultand :

(3.51)

Prin identificarea celor doua forme ale functiei de transfer (3.51) se obtin polii :

(3.52)

De asemenea se obtin relatiile (3.53) de amplasare a polilor (fig.2) :

(3.53)

2. Relatii intre performantele stationare si pozițiile polilor

Din cele prezentate anterior conditia asigura performanta care impune pentru o intrare trepta unitara prezenta unui pol in origine pentru sistemul deschis. De multe ori se mai impune ca pentru o intrare rampa unitara sa fie satisfacuta conditia stationara , din aceasta conditie rezultand :

(3.54)

unde este coeficientul de transfer static :

(3.55)

Pt sist de ordinul II

(3.56)

Dupa cum se va arata in continuare din considerentul satisfacerii conditiilor tranzitorii valorile factorului de amortizare sunt limitate in practica . Din acest considerent asigurarea performantei anterioare impune variatia corespunzatoare pulsatiei proprii si ca urmare modificarea distantei polilor fata de origine.

3. Relatii intre suprareglaj si pozitia polilor

Se stie ca suprareglajul este depasirea maxima a valorii stationare a iesirii :

(3.57)

Se pleaca de la raspunsul la intrare trepta unitara :

(3.58)

de unde se obtine (fig.3) :

(3.59)

Pentru determinarea momentelor de trecere a raspunsului prin punctele de maxim si minim se anuleaza derivata iesirii si rezulta

(3.60)

Momentul atingerii primului maxim corespunde cu momentul aparitiei suprareglajului s

(3.61)

pe care-l inlocuim in relatia iesirii

(3.62)

rezultand :

(3.63)

Aceasta relatie ne arata ca suprareglajul depinde doar de factorul de amortizare.

4. Relatii intre gradul de amortizare si pozitia polilor

Regimul tranzitoriu poate fi apreciat si prin gradul de amortizare :

(3.64)

Pentru :

se obtine :

de unde :

(3.66)

si se obtine gradul de amortizare :

(3.67)

Rezulta ca si gradul de amortizare este in functie numai de factorul de amortizare.

5. Relatii intre marginea de faza si pozitia polilor

Marginea de faza g este diferenta dintre argumentul vectorului si defazajul critic corespunzator limitei de stabilitate a sistemului, unde - este pulsatia de taiere sau pulsatia critica corespunzatoare modulului unitar . In cazul sistemului de ordinul doi marginea de faza are relatia :

(3.68)

si se poate determina marginea de faza :

(3.69)

Se observa ca si marginea de faza depinde doar de factorul de amortizare.

6. Relatii intre durata procesului tranzitoriu si pozitia polilor

Regimul tranzitoriu se considera incheiat in momentul in care marimea de iesire y(t) intra intr-un domeniu de in jurul valorii stationare si nu mai paraseste acest domeniu.

Consideram raspunsul la intrare treapta unitara (3.59). Deoarece sinusoida este subunitara rezulta conditia de terminare a regimului tranzitoriu :

de unde :

(3.70)

Aceasta relatie ne arata ca durata procesului tranzitoriu depinde atat de factorul de amortizare cat si de pulsatia proprie

7. Relatii intre largimea de banda si pozitiile polilor

Largimea de banda este intervalul de pulsatii limitat superior de pulsatia pentru care valoarea amplitudinii sistemului de reglare este cu , respective cu - 3 dB pe caracteristica logaritmica a amplitudinii de faza, adica pe graficul atenuarii. Aplicand transformata Fourier asupra functiei de transfer a sistemului de ordinul doi se obtine :

de unde:

rezultand largimea de banda :

(3.71)

care ne arata ca largimea de banda depinde de pulsatia proprie si de factorul de amortizare x

8. Modificarea performantelor SRA prin introducerea unui zero suplimentar.

Prin introducerea unui zero suplimentar amplasat la s = - z, se poate de multe ori satisface performantele impuse sistemului, in cazul in care sistemul de ordinul 2 nu indeplineste acest lucru. Odata cu binomul (s + z) in functia de transfer a SRA se introduce si factorul 1/z pentru satisfacerea conditiei de obtinere a unei erori stationare nule la intare trepta.

In acest caz functia de transfer a SRA va avea forma:

(3.72)

Aceasta ultima relatie conduce la un raspuns la treapta unitara de forma:

(3.73)

unde este raspunsul la intrarea treapta unitara a sistemului de ordinul 2.

Aplicand transformata inversa Laplace avem :

(3.74)

Stiind ca raspunsul sistemului de ordinul 2 la intrarea treapta unitara are forma (3.59) si facand calculele obtinem:

(3.75)

unde :

(3.76)

Se observa ca daca zeroul se indeparteaza de origine (), iesirea si ca urmare sistemul se reduce la un sistem de ordinul 2, lucru care rezulta si din faptul ca pentru rezulta

Calculand derivata si anuland-o se obtin puncte de minim si maxim, rezultand momentele in care se ating aceste puncte:

(3.77)

Pentru k=1 se obtin momentul atingerii primului maxim:

(3.78)

pe care il inlocuim in relatia iesirii (3.75) :

de unde rezulta suprareglajul :

(3.79)

Pentru k=3 se obtine momentul atingerii celui de-al doilea maxim:

(3.80)

si inlocuind in (3.75) :

de unde rezulta :

Se poate calcula gradul de amortizare :

(3.81)

Ca si in cazul sistemelor de ordinul 2, deoarece sinusoida este subunitara sau cel mult egala cu unitatea se obtine durata procesului tranzitoriu:

(3.82)

Utilizand (3.55) se obtine :

(3.83)

rezultand :

(3.84)

In cazul largimii de banda ca si la sistemele de ordinul 2 se aplica transformarea Fourier asupra functiei de transformare a sistemului si se calculeaza modulul:

(3.85)

din care se poate determina largimea de banda .

Introducerea zeroului suplimentar are urmatoarele efecte:

din raspunsul la intrare treapta unitara se observa ca devine mai pronuntat caracterul oscilant a procesului tranzitoriu;

din expresia suprareglajului se observa ca acesta tinde spre suprareglajul sistemului de ordinul 2, odata cu indepartarea zeroului de origine, adica pentru l

se observa ca introducerea zeroului suplimentar nu modifica gradul de amortizare d

din expresia duratei procesului tranzitoriu, se observa ca aceasta creste, fata de cea a sistemului de ordinul 2, iar daca zeroul se indeparteaza de origine, aceasta tinde spre durata procesului tranzitoriu a sistemului de ordinul 2;

introducerea zeroului, imbunatateste performanta stationara referitoare la intrarea rampa unitara, avand ca efect, reducerea erorii stationare, corespunzatoare acestei intrari.

9. Modificarea performantelor SRA prin introducerea unui pol suplimentar

Prin introducerea unui pol suplimentar s = - p₃ (fig.5), pe langa cei doi poli conjugati p₁ si p₂ se obtine functia de transfer a SRA sub forma :

unde s-a introdus si factorul p₃ la numitor pentru satisfacerea relatiei G_0p(0)=1, astfel incat sa avem la intrare treapta o eroare stationara nula.

Introducerea polului suplimentar poate imbunatati sau inrautati caracterul oscilant al raspunsului tranzitoriu. Aceasta mai are ca efect prelungirea efectului etapei procesului tranzitoriu. Se observa ca infuenta polului suplimentar este cu atat mai redusa cu cat acesta este amplasat mai departe de origine (

Polul suplimentar micsoreaza factorul de amplificare K_a determinand cresterea erorii stationare la semnal de intrare rampa unitara.

de unde :

(3.87)

Introducerea polului suplimentar conduce la o micsorare a largimii de banda daca acest pol este mai apropiat de origine decat poli conjugati. Acesta este singurul efect favorabil a introducerii polului suplimentar.

Din cele aratate rezulta ca utilizarea singulara a unui pol suplimentar nu este utilizata de obicei, poli suplimentari sunt introdusi pentru a insoti introducerea unor zerouri suplimentare de regula un pol suplimentar pentru fiecare zero suplimentar.

10. Modificarea performantelor SRA prin introducerea unui ansamblu pol-zero.

Ansamblul pol-zero suplimentar poate fi introdus in 2 moduri, cu precizare ca zeroul trebuie sa fie mai apropiat de origine decat polul:

Zeroul si polul sunt foarte apropiati intre ei si de origine;

Zeroul si polul sunt indepartati intre ei si de origine.

Cea mai folosita varianta este prima, ansamblul pol-zero suplimentar se numeste dipol. Prin introducerea dipolului functia de transfer a SRA devine :

(3.88)

in care factorul p₃ / z s-a introdus pentru satisfacerea conditiei G_0d(0)=1 pentru obtinerea unei erori stationare nule pentru o intrare treapta unitara.

Modificarea performantelor tranzitorii prin introducerea dipolului poate fi determinata pornind de la ecuatia operationala a raspunsului la intrarea treapta unitara :

unde C₁, C₂, C₃ sunt constante ce pot fi determinate :

(3.90)

Pentru obtinerea unor indicatii de proiectare valorile acestor constante se compara cu valorile constantelor corespunzatoare raspunsului sistemului de ordinul 2 la intrarea treapta unitara. In cazul sistemului de ordinul 2 raspunsul sistemului la intrare treapta unitara este:

(3.91)

de unde se obtin constantele:

(3.92)

Daca zeroul si polul ce formeaza dipolul sunt apropiati intre ei si sunt apropiati de origine putem scrie p₃ z, rezultand ca intre C₀₁ si C₁, C₀₂ si C₂ nu apar diferente mari. In acest caz se mai poate scrie ca:

(3.93)

(3.94)

ceea ce ne arata ca cele doua constante C₁ si C₂ sunt foarte apropiate de constantele C₀₁ si C₀₂ rezultand ca deosebirile importante care apar intre raspunsul sistemului de ordinul 2 si raspunsul sistemului cu dipoli suplimentari sunt determinati de termenul:

Din conditia imbunatatirii performantelor stationare este necesar ca zeroul sa fie mai apropiat de origine decat dipolul, adica de unde

Aceasta conditie ne arata ca ordonatele exponentialei , corespunzatoare termenului sunt pozitive si deci se insumeaza cu ordonatele componentei amortizate, definite de termenii: si , componente care corespund sistemului de ordinul 2.

Din relatiile:

(3.95)

Pentru a fi respectata si conditia p₃ / z>1, rezulta conditia finala 1,01 p₃ / z

Utilizand (3.55) se obtine :

rezultand :

(3.96)

Zeroul fiind mai apropiat de origine: rezulta

(3.97)

si ca urmare are loc o crestere a factorului de amplificare prin introducerea dipolului. Cresterea factorului de amplificare are ca efect micsorarea erorii stationare la intrarea rampa unitara.