Fluide viscoelastice

Fluide viscoelastice

O ecuatie de tip viscoelastic a fost propusa de Maxwell in 1867. Teoria viscoelasticitatii a fost formulata de Oldroyd in anul 1950. Exemple de fluide viscoelastice: bitum; polimeri (nylon ); emulsii si suspensii. Comportarea reologica reala a unor corpuri este caracterizata prin asocierea urmatoarelor proprietati: viscozitate, elasticitate, plasticitate. Se poate alcatui cu aceste proprietati, triunghiul comportarilor reologice, figura 3.12. Varfurile triunghiului descriu corpurile cu comportarea reologica unica ideala, laturile triunghiului descriu corpurile cu comportare reologica dubla, interiorul triunghiului descrie corpurile cu comportare reologica tripla.

Fig.3.12. Triunghiul comportarilr reologice

Modele mecanice ale corpurilor reologice particulare.

Solidul perfect elastic are analogul mecanic un arc elicoidal ( resort ), fig.3.13 iar ecuatia constitutiva este data de legea lui Hooke:

sau (3.39)

Fig.3.13. Arc elicoidal

Fluidul perfect vascos are analogul mecanic un amortizor, fig. 3.14. iar ecuatia constitutiva este data de legea lui Newton a viscozitatii:

(3.40)

Fig.3.14. Amortizor

Solidul perfect plastic are analogul mecanic o patina, fig.3.15, descrie alunecarea prin frecare iar deformarea solidului este ireversibila. Ecuatia constitutiva a plasticului este descrisa de Saint - Venant

Fig.3.15. Patina

Echilibrul fortelor ce actioneaza asupra corpului este de forma:

in care: forta de frecare;

coeficientul de frecare intre corp si o suprafata rugoasa;

greutatea corpului;

forta de tractiune;

normala la suprafata rugoasa.

Modelul Maxwell

Fluidul viscoelastic ( corpul lui Maxwell ) are analogul mecanic o serie intre arcul elicoidal si amortizor, fig.3.16.

Fig.3.16. Serie arc elicoidal si amortizor

(3.41)

Deformarea totala, este suma intre deformarea elastica, si deformarea vascoasa, .

Prin derivarea relatiei de mai sus in raport cu timpul se obtine:

(3.42)

Viteza de deformare totala este suma intre viteza de deformare elastica si viteza de deformare vascoasa. Prin inlocuirea relatiilor (3.39) si (3.40) se obtin succesiv urmatoarele expresii pentru ecuatia constitutiva Maxwell:

Prin inmultirea cu , rezulta:

(3.43)

Se introduce notatia :

(3.44)

Ecuatia (3.43) se rescrie sub forma:

(3.45)

Se imparte ecuatia (3.45) prin si se obtine:

(3.46)

Prin integrarea ecuatiei (3.46) rezulta:

(3.47)

Deformarea este functie de toate valorile efortului precedente momentului . Pentru valori ale efortului de forfecare constante: pe intervalul de timp .

Ecuatia (3.47) devine:

- dreapta de fluaj (3.48)

in care:

deformarea instantanee ( independenta de timp );

- deformarea vascoasa ( dependenta de timp ).

Se defineste numarul lui Deborach:

(3.49)

Functie de valorile lui Db se poate face o distinctie intre fluidele elastice, vascoase si viscoelastice:

(3.50)

Criteriul hidrodinamic al lui Weissenberg:

Numarul critic pentru polistiren este:

in care sunt mase moleculare medii ale polistirenului:

.

Reprezentatea grafica a ecuatiei (3.48) este schitata in fig.3.17:

:

0

Fig.3.17. Dreapta de fluaj.

La momentul de observatie , efortul se indeparteaza, , deformarea elastica se recupereaza brusc si corpul mentine deformatia vascoasa.

Din ecuatia (3.45), prin impartire cu , se obtine:

(3.51)

Prin integrarea ecuatiei (3.51), metoda factorului integrant , rezulta succesiv:

in care: - reprezinta timpul de deformare anterior timpului .

(3.52)

Pentru solicitari la viteze de deformare constante: , , rezulta:

(3.53)

Reprezentand grafic efortul de forfecare,, functie de timp, , se obtine curba din fig.3.18.

0

Fig.3.18. Efortul de forfecare, , functie de timpul, .

Din ecuatia (3.53) rezulta: , (3.54)

si - functia de relaxare; (3.55)

care este reprezentata grafic in fig. 3.19.:

0

Fig.3.19. Functia de relaxare

Modelul Voigt - Kelvin

Analogul mecanic al acestui model este un arc elicoidal si un amortizor legate in paralel, fig.3.20:

Fig.3.20. Modelul Voigt - Kelvin

(3.56)

Se imparte ecuatia de sus prin si se obtine:

(3.57)

in care: - durata de intarziere.

Se integreaza ecuatia (3.57) prin metoda factorului integrant, factorul integrant este: si se obtine succesiv.

(3.58)

Pentru efortul de forfecare constant pe durata de observatie: se obtine:

(3.59)

Se noteaza : - complianta elastica., iar ecuatia (3.59) se numeste curba de fluaj a solidului vascoelastic Voigt - Kelvin. In fig.3.21. este reprezintata grafic curba de fluaj:

Fig.3.21. Curba de fluaj

Complianta elastica este inversul modulului G sau: .

=

Pentru rezulta: ;

Durata de intarziere este durata pentru care deformatia este 63 % din valoarea finala .

In fig.3.22 este reprezentata functia de fluaj.

Fig.3.22. Functia de fluaj

Evidentierea comportarii viscoelatice in experiente a fost studiata de Weissenberg si Barus.

Experienta lui Weissenberg, fig. 3.23: Daca intr-un fluid se introduce tija unui agitator, suprafata libera a fluidului devine un paraboloid concav ( linia intrerupta ), fluidul are o comportare perfect vascoasa.

Fig.3.23. Experienta lui Weissenberg

Daca fluidul imbraca tija agitatorului ( linia continua ), fluidul are o comportare perfect elastica.

Criteriul hidrodinamic al lui Weissenberg:

Experienta lui Barus, fig.3.24 : Daca o topitura de polimer este supusa extruziunii printr-o capilara, la iesirea din capilara extrudatul se gonfleaza si fluidul are o comportare perfect elastica.

fluid vascos fluid elastic

Fig. 3.24. Experienta lui Barus

Daca fluidul se contracta la iesirea din capilara, fluidul are o comportare perfect vascoasa.

Experienta cu agitator tip turbina, fig.3.25: Daca un fluid este aspirat axial de un agitator imersat intr-un fluid si refulat radial, fluidul are o comportare vascoasa.

fluid vascos fluid elastic

Fig. 3.25. Experienta cu agitator tip turbina

Daca fluidul este aspirat radial si refulat axial, fluidul are o comportare elastica.

Materialele vasoelastice complexe pot fi reprezentate prin combinarea arcelor si amortizoarelor in paralel si/sau serie, ca in fig.3.26, solidul vascoelastic si fig.3.27., lichidul vascoelastic.

Fig.3.26. Solidul vascoelastic

Fig.3.27. Lichidul vascoelastic

Deformare sinusoidala ( la suprafata cilindrului interior ):

(3.60)

in care: - amplitudinea deformarii;

- viteza unghiulara.

Efortul exercitat la suprafata cilindrului interior:

(3.61)

in care: - amplitudinea efortului; - faza unghiulara.

Se introduc relatiile (3.60) si (3.61) in ecuatia , modelul Maxwel:

Se imparte ecuatia de mai sus prin si rezulta:

Se inlocuieste prin relatia lui Euler: si se obtine:

.

Se identifica cele doua numere complexe din cei doi membri ai relatiei de mai sus:

Partea reala: (3.62)

Partea imaginara: (3.63)

Din ecuatia (3.62) rezulta: (3.64)

Din ecuatia (3.63) rezulta:

(3.65)

Din considerente trigonometrice elementare se obtine:

(3.66)

(3.67)

In general modulul complex al unui fluid vascoelastic se defineste prin:

(3.68)

in care: - modulul componentei elastice respectiv modulul componentei vascoase.

; (3.69)

(3.70)

Se defineste o viscozitate complexa:

(3.71)

in care: - partea reala a viscozitatii complexe respectiv partea imaginara a viscozitatii complexe.

(3.72)

Daca - solid elastic ; (3.73)

; (3.74)

Daca - fluid vascos newtonian; . (3.75)

(3.76)

(3.77)