CINEMATICA SOLIDULUI RIGID

Determinarea pozitiei, vitezei si acceleratiei rigidului

Miscarea solidului rigid este determinata cand se cunosc expresiile generale ca functie de timp ale vectorului de pozitie, viteza si acceleratia unui punct oarecare al rigidului in raport cu un sistem de referinta fix.

1 Determinarea pozitiei punctului M al rigidului

Se considera sistemul de referinta fix T₁(x₁O₁y₁z₁) si sistemul de referinta mobil T(xOyz) solidar cu rigidul (fig. 1) in miscare .

Fie M un punct oarecare al rigidului .

Pozitia lui M este data de :

=(t) - vector de pozitie fata de sistemul

de referinta fix

si de : = (t) - vector de pozitie fata de sistemul de referinta mobil T si solidar cu rigidul

Pozitia lui M in raport cu triedrul fix T₁ este :

Relatia (2) permite determinarea pozitiei oricarui punct al rigidului .

_O - vector variabil

- vector de modul constant dar directie variabila

2. Determinarea vitezei punctului M

Notam cu - viteza originii O a triedrului T mobil in raport cu triedrul fix T_{1 .} (5)

Versorii , , au urmatoarele proprietati :

In continuare trebuie sa determinam ( tinand cont de 6) .

In continuare determinam , (derivatele versorilor)

Observatie (fig. 2)

-versorul directiei Δ

Fig. 2

Derivam in raport cu timpul relatiile (7) :

Derivam in raport cu timpul relatiile (8) :

Facem urmatoarele notatii :

Introducem vectorul a carui dezvoltare in triedrul mobil T este :

cu componentele date de (12).

Derivatele versorilor se pot exprima cu ajutorul vectorului introdus . Astfel tinand cont de (10) , (11) si (12) se deduc urmatoarele relatii:

Rezulta :

Tinand cont ca :

Introducand (16) in relatia (9) obtinem :

Revenind la relatia (4) si tinand cont de (5) si (17) obtinem :

Relatia (18) reprezinta formula I a lui Euler care ne arata distributia de viteze in cazul miscarii rigidului.

-este viteza unghiulara a miscarii sistemului de referinta mobil solidar cu rigidul

Componentele scalare ale vitezei se obtin prin proiectarea relatiei (18) pe axele de coordonate ale triedrului mobil T :

3. Determinarea acceleratiei punctului M

Derivam in raport cu timpul relatia (18):

Notam:

- reprezinta acceleratia originii O a triedrului mobil in raport cu sistemul fix T₁

Tinand cont de (21) si (22), relatia (20) devine :

(23)

Relatia (24) reprezinta formula a II-a a lui Euler care ne arata distributia de acceleratii in cazul miscarii rigidului.

Prin dezvoltarea produselor vectoriale din relatia (24) se pot deduce componentele acceleratiei pe

axele triedrului mobil: