Grade de libertate

Grade de libertate

In general, prin grade de libertate intelegem posibilitati de miscare. Pentru lamurirea acestei notiuni, sa pornim de la cateva exemple.

Ex. 1

O multime de sisteme fizice nu se pot misca decat de-a lungul unei curbe, traiectoria (care poate fi plana sau spatiala).

Asa, de exemplu, ne putem referi la un tren, un funicular, un metrou, care se pot misca numai de-a lungul caii ferate sau a cablului de sustinere.

Pentru a-i determina pozitia la un moment dat, va trebui sa alegem, undeva pe curba pe care se poate deplasa (pe traiectorie), un punct numit origine si un sens pozitiv de masurare. Aceste elemente fiind stabilite, avem nevoie de o SINGURA coordonata pentru precizarea pozitiei trenului la un moment dat.

Spunem ca un asemenea mobil are o singura posibilitate de miscare. Altfel exprimat: un punct material care se poate misca numai pe o curba (plana sau spatiala) este caracterizat de UN SINGUR grad de libertate (i = 1).

Ex. 2

Ne vom referi acum la situatia in care, un punct material se poate misca numai pe o SUPRAFATA (plana sau spatiala). Cel mai reprezentativ exemplu se refera la suprafata pamantului (ca planeta).

Pentru a determina pozitia unui punct pe suprafata pamantului avem nevoie de doua coordonate (latitudinea si longitudinea). Spunem ca un asemenea mobil are doua posibilitati de miscare.

Altfel exprimat: un punct material care se poate misca numai pe o suprafata (plana sau spatiala) este caracterizat de DOUA grade de libertate (i = 2).

Ex. 3

Pentru un punct material care se poate misca liber in spatiu avem nevoie de trei coordonate pentru a-i determina pozitia la un moment dat. Spunem ca punctul material considerat are trei posibilitati de miscare, ceea ce este echivalent cu trei GRADE DE LIBERTATE.

Altfel exprimat: un punct material care se poate misca in spatiu, este caracterizat de TREI grade de libertate (i = 3).

Pana acum ne-am ocupat doar de puncte materiale. Aceste considerente sa la aplicam unor sisteme de puncte materiale - moleculele.

Inainte de a trece la studiul edificiilor moleculare, vom enunta o teorema (fara demonstratie):

Fiecare legatura (restrictie) micsoreaza numarul de grade de libertate cu o unitate.

Vom incerca sa lamurim notiunea de legatura prin intermediul exemplelor care cor urma. Ne vom ocupa, pe rand, de moleculele di, tri si poliatomice. Pentru fiecare caz, vom determina numarul de grade de libertate prin doua modalitati. O modalitate va fi aceea prin care vom estima numarul de coordonate necesare stabilirii configuratiei spatiale la un moment dat a unei molecule. Cea de a doua modalitate va utiliza teorema mai sus enuntata.

§ 1 Molecule monoatomice

O molecula monoatomica este asimilabila unui punct material care se poate misca in spatiul cu trei dimensiuni. Ca atare, la un moment dat, pozitia ei poate fi determinata in mod univoc prin trei coordonate spatiale ceea ce inseamna ca are trei grade de libertate: i = 3.

Observatie: in cele ce urmeaza ne vom referi la molecule rigide. Aceasta inseamna ca atomii care compun molecula studiata nu pot efectua miscari DE VIBRATIE (oscilatii) in jurul pozitiilor de echilibru.

Molecule diatomice RIGIDE

Metoda I

O astfel de molecula, formata din DOI atomi (a caror distanta unul fata de cel de-al doilea NU se poate modifica), poate fi imaginata ca o mica haltera formata din doi atomi (vezi figura 1.1). Pentru a determina pozitia atomului (1), considerat ca fiind liber, avem nevoie de i = 3 coordonate.

Pozitia cestuia fiind determinata, se pune urmatoarea intrebare: unde s-ar putea afla cel de-al doilea atom FATA DE ATOMUL NUMARUL (1) ?

Atomul (2) se poate afla in acele puncte din spatiu care satisfac conditia ca se afla la aceeasi distanta de atomul nr. 1.

(2)

Fig. 1.1

Altfel exprimat, vom cauta locul geometric al punctelor din SPATIU caracterizate de faptul ca se afla la aceeasi distanta de un punct fix (atomul nr. 1). Locul geometric cautat este O SFERA avand centrul in punctul in care se afla primul atom !!!

Deci: dupa ce am determinat pozitia unui atom (pentru care avem nevoie de trei coordonate), cel de-al doilea se poate afla doar pe suprafata unei sfere, in centrul careia se afla primul atom (raza sferei este egala cu distanta dintre atomi). Aceasta inseamna ca, pentru al doilea atom MAI AVEM NEVOIE de inca doua coordonate, sau:

Pozitia unui atom fiind determinata, cel de al doilea atom are i = 2 grade de libertate

Atunci, pentru determinarea configuratiei spatiale a unei molecule diatomice RIGIDE, sunt necesare i = 3 + 2 = 5 coordonate.

Cu alte cuvinte: o molecula diatomica rigida are i = 5 grade de libertate.

Metoda II

Reamintim teorema enuntata mai sus: fiecare legatura (restrictie) micsoreaza numarul de grade de libertate cu o unitate.

Considerand fiecare atom ca fiind liber, avem, pentru fiecare din acestia:

i₁ = 3; i₂ = 3,

Deci, total grade de libertate:

i₁ + i₂ = 6.

Intre cei doi atomi exista O legatura (una), care reduce cu o unitate numarul de grade de libertate:

i = (i₁ + i₂) - 1 = 6 - 1 = 5.

Am ajuns la aceeasi concluzie: o molecula diatomica rigida are i = 5 grade de libertate.

Molecule triatomice RIGIDE

Ne vom imagina aceasta molecula ca avand cei trei atomi plasati in varfurile unui triunghi.

Metoda I

Pentru a determina pozitia spatiala a unui atom avem nevoie de trei coordonate. Acesta are trei grade de libertate: i₁ = 3.

Cel de-al doilea atom se poate afla, fata de primul, la o distanta determinata (de geometria interna a moleculei), deci pe suprafata unei sfere. El are doua grade de libertate: i₂ = 2.

Cel de-al treilea atom se poate afla numai in acele puncte din spatiu, de la care distantele la primii doi atomi au valori date.

Dar: locul geometric al punctelor din spatiu pentru care distantele la doua puncte fixe au valori date este un cerc, dreapta care uneste punctele date fiind normala pe planul cercului, trecand prin centrul acestuia.

Inseamna ca al treilea atom se poate afla (fata de primii doi) pe circumferinta uni cerc (curba).

Dar, un punct material care se poate misca numai de-a lungul unei curbe este caracterizat de un grad de libertate: i₃ = 1.

Pentru intreg edificiul moleculei:

i = i₁ + i₂ + i₃ = 3 + 2 + 1 = 6.

Metoda II

Fiecare atom, daca ar fi liber, ar avea cate trei grade de libertate:

i₁ = i₂ = i₃ = 3, deci total: i₁ + i₂ + i₃ = 9.

Intre atomii moleculei exista TREI LEGATURI, care reduc cu trei unitati numarul total de grade de libertate:

i = 9 - 3 = 6

Molecule poliatomice RIGIDE

Sa ne imaginam o molecula poliatomica rigida.

Pentru a determina pozitiile a trei atomi (dupa cum am aratat in cadrul paragrafului anterior), avem nevoie de sase coordonate. In momentul in care cunoastem pozitiile a trei atomi, un al patrulea NU se poate afla decat intr-o pozitie determinata de GEOMETRIA INTERNA A MOLECULEI.

Altfel spus, cunoscand geometria interna a moleculei, pentru a cunoaste pozitia unui al patrulea atom nu avem nevoie de alte coordonate (al patrulea atom, fata de primii trei nu are nici un grad de libertate, nu are nici o posibilitate de miscare).

Cu atat mai mult pentru un al cincilea atom, al saselea, s. a. m. d.

Concluzie: moleculele poliatomice rigide au SASE grade de libertate

Putem completa urmatorul tabel: