Familii de submultimi ale unui spatiu

Familii de submultimi ale unui spatiu

Fie W o multime oarecare. Vom nota cu P W) familia partilor sale. Obiectele cele mai importante ale teoriei masurii sint unele submultimi ale lui P W cu proprietati speciale.

Definitia 1. O subfamilie KÌ P W) se numeste s-Algebra daca verifica urmatoarele proprietati:

ÆIK

(2) Daca AI K atunci si A^cI K

(3) Daca (A_n)_nIN este un sir de multimi din K, atunci si I K

Definitia 2. O subfamilie CÌ P W) se numeste p-sistem daca verifica urmatoarele proprietati:

ÆIC

(2) Daca AI C atunci si A^cI C

(3) Daca (A_n)_nIN este un sir de multimi disjuncte din C, atunci si I C

Definitia 3. O subfamilie AÌ P W) se numeste Algebra daca verifica urmatoarele proprietati:

ÆIA

(2) Daca AI A atunci si A^cI A

(3) Daca (A_n)_nII este o familie finita de multimi din A, atunci si I A

Notatii. Aceste notiuni se pot scrie mai scurt daca folosim urmatoarele notatii clasice: Fie MÌ P W) o familie oarecare de multimi. Vom nota atunci, pe tot parcursul acestui curs cu M _s, M _s M _S M _d,M _d M _D M reuniunile finite (respectiv reuniunile numarabile, reuniunile arbitrare, intersectiile finite, intersectiile numarabile, intersectiile oarecare, complementarele) de multimi din M

Observatia 1. Este evident ca orice s-algebra este si algebra si p-sistem.

Propozitia 1. Daca F este o algebra atunci W I F si A,BI F Þ A BI F

Demonstratie. W Æ^c iar (A B)=(A^cÈB^c)^c ; se aplica axiomele (1), (2) si (3) din definitia algebrei.

Propozitia 2. Daca F este o s-algebra atunci A_n I F n Þ F

Demonstratie. Formulele lui De Morgan: si aplicam succesiv (2),(3),(2) din definitia s-algebrei.

Propozitia 3. Daca F este p-sistem si F = F _d , atunci F este si s-algebra.    Deci in particular daca F Ì P W) este algebra si p-sistem, atunci F este si s-algebra.

Demonstratie. Fie F Ì P W) un p-sistem stabil la intersectii finite.Fie (A_n)_n un sir de multimi din F si A=. Se pune problema sa aratam ca AI F. Construim in acest scop multimile disjunctate B₁=A₁, B₂=A₂-A₁ =A₂-B₁, B₃=A₃-(B₁ÈB₂), si, in general, B_n+1=A_n+1-(B₁ÈB₂È ÈB_n),.. Multimile (B_n)_n au proprietatile:

B₁ÈB₂È ÈB_n = A₁ÈA₂È ÈA_n pentru orice n ³

Intr-adevar, pentru n=1 afirmatia este adevarata. O presupunem adevarata pentru n=k si o verificam pentru n=k+1.Avem ca B₁ÈB₂È ÈB_kÈB_k+1 = ( B₁ÈB₂È ÈB_k)

È( A_k+1-(B₁ÈB₂È ÈB_k)) = B₁ÈB₂È ÈB_kÈA_k = A₁ÈA₂È ÈA_kÈA_k (prin ipoteza de inductie). Deci afirmatia este adevarata pentru orice n.

Multimile B_n sint disjuncte.

Intr-adevar, fie m<n Þ m£n-1. Atunci B_m B_n = B_m (A_n-( B₁ÈB₂È ÈB_n-1)) Ì B_m (A_n-B_m)=Æ. Incluziunea este adevarata deoarece evident B_mÌ B₁ÈB₂È ÈB_n-1.

Toate multimile B_n apartin familiei F. Intr-adevar, B_n poate fi scrisa ca B_n=A_n A₁^c A_n-1^c si multimile A_i^cI F i iar F F _d .

Cum F este p-sistem si multimile (B_n)_n sint disjuncte rezulta ca reuniunea lor este in F. Dar din (1) rezulta ca ==A. Deci F este s-algebra.

A doua afirmatie rezulta imediat din prima observind ca orice algebra este stabila la intersectii finite.

Propozitia 4. Daca (M_t)_tIT este o familie de s-algebre (algebre, p-sisteme, topologii) atunci si intersectia M_t este de asemenea o s-algebra (algebra, p-sistem, topolgie)

Demonstratie. Evident.

Definitie. Fie M o familie oarecare de submultimi ale lui W. Vom nota cu s M) (respectiv p M), Alg(M), Top(M s-algebra (respectiv p-sistemul, algebra, topologia) generata de M , definita prin relatia s M) = (respectiv ,,). Altfel spus, s M) (respectiv p M), Alg(M), Top(M) ) este intersectia tuturor s-algebrelor pe W (respectiv a p-sistemelor, algebrelor, topologiilor) care contin pe M

Propozitia 5. Alg M Ì s M) si p M Ì s M

Demonstratie s M) este o algebra (respectiv un p-sistem) care contine pe M

Propozitia 6. M _s È M _dÌ M _sdÌ M _sds Ì Ì M _sdsd Ì s M

Demonstratie. Evident din definitia unei s-algebre.

Rezultatul urmator va fi folosit de multe ori in curs.

Propozitia 7.(i). Daca j este unul din operatorii de inchidere Alg, s sau p, si (M _t)_tIT este o familie de submultimi ale lui p W), atunci j( M _t j( j M _t

(ii)Daca M M_d, atunci s M p M

Demonstratie. (i). Cum M _t Ì j M _t) incluziunea "Ì" este evidenta. Incluziunea cealalta este de asemenea imediata : cum M _t Ì M _t rezulta ca j M _t Ì j( M _t) pentru orice tIT de unde j M _t Ì j( M _t) deci, din proprietatea de monotonie a operatorului de inchidere j rezulta ca j(j M _t Ì j j( M _t j( M _t) (este evident ca orice operator de inchidere este idempotent, adica j j j

(ii)Ideea este sa dovedim ca p M) este stabil la intersectii finite si sa aplicam Propozitia 3. Fie AI M . Fie F_A=. Vom arata ca F_A este un p-sistem care contine pe m

Intr-adevar, faptul ca M Ì F_A rezulta imediat din faptul ca M este stabil la intersectii finite: daca AI M, atunci A BI M. Multimea vida este evident in F_A caci apartine oricarui p-sistem. Daca BI F_A, atunci si B^cI F_A caci (A ( B^c))^c     =(A ( AB)^c)^c = (AB)È(A^c); ABIp M) caci BI F_A , A^cI p M) deoarece AIp M), AB si A^c sint disjuncte deci reuniunea lor este in p M) . Rezulta ca si complementara acestei multimi, adica A ( B^c) este in p M) , adica B^cI F_A. In sfirsit, daca (B_n)_n este un sir de multimi disjuncte din F_A ,rezulta ca si reuniunea lor este in F_A deoarece multimile AB_n sint disjuncte si apartin p-sistemului p M) care este stabil la reuniuni disjuncte numarabile. Deci F_A este un p-sistem care contine pe m , deci p M Ì F_A . Cum AI M este oarecare inseamna ca am demonstrat ca

AI M , BIp M Þ A BIp M

Fie acum A I p M) oarecare si e_A = . Din (*) , inlocuind A cu B si B cu A , rezulta ca M Ì e_A. Acelasi rationament de mai sus ne arata ca e_A este de asemenea un p-sistem, deci p m Ì e_A; adica

AIp M), BI p M Þ A BIp M

Dar (**) nu inseamna nimic altceva decit ca p M p M))_d de unde, conform Propozitiei 3, p M) este o s-algebra. Dar intotdeauna p M Ì s M) (Propozitia 5). Cum p M) este o s-algebra care contine pe M, incluziunea inversa este evidenta si in consecinta p M Ì s M

[z1]  Acum putem introduce cel mai important exemplu de s-algebra, cel care face legatura cu topologia.

Definitie: s-algebra multimilor boreliene. Fie (X,T) un spatiu topologic. Atunci s-algebra s T) se numeste s-algebra multimilor boreliene ale spatiului topologic (X,T) sau, daca nu este nici un pericol de confuzie, borelianul spatiului X . El se va nota cu B(X,T) sau, daca nu este pericol de confuzie, cu B(X). Iata citeva proprietati importante ale sale.

Propozitia 8. Fie (X,T) un spatiu topologic. Atunci:

(i).Orice multime deschisa sau inchisa este boreliana. Mai mult, B(X) = s

(ii).Daca X este separat, atunci orice multime compacta este boreliana. In particular orice multime cel mult numarabila este boreliana.

(iii). Daca X este separat si poate fi acoperit cu o multime cel mult numarabila de compacte, atunci B(X)=s

(iv). Daca X este un spatiu topologic numarabil generat, adica X are o baza de topologie numarabila , O, atunci B(X)=s O

Demonstratie. (i). O multime inchisa este complementara unei deschise, deci evident este boreliana. Deci s Ì B(X). Reciproc, orice deschisa este complementara unei inchise de unde si incluziunea inversa.

(ii). In spatii separate orice multime compacta este inchisa.

(iii). Fie (K_n)_n un sir de compacte ca X=K_n. Fie FÌX o inchisa. Atunci putem scrie F=(FK_n) deci orice inchisa este o reuniune de compacte (se stie ca F inchisa, K compacta ÞKF este compacta caci daca (G_t)_tIT este o acoperire cu deschise a lui KF, adaugind la aceasta si deschisul G=F^c obtinem o acoperire cu deschise a lui K din care extragem una finita) adica orice inchisa este in s-algebra generata de compacte , de unde rezulta ca s-algebra generata de inchise (adica B(X)) este de asemenea inclusa in s-algebra generata de compacte , Incluziunea reciproca este evidenta.

(iv). Fie o o baza numarabila de topologie pentru t. Atunci t o _S o_s (deoarece o este numarabila) deci t Ì s o Þ B(X)=s t Ì s s o s o). Incluziunea cealalta este evidenta.

In cazul particular in care (X,t A,Top(A)) , adica dreapta reala cu topologia canonica obtinem

Propozitia 9. Fie urmatoarele familii de multimi pe dreapta :

m È ;

m È

m È

m È

m È

m È

m

m

m

m

m

m

m

m = . Aunci

(i).Toate aceste familii de multimi genereraza pe b A) , adica s m_j )= b A £j£14. In plus, daca j este par, m_j sint numarabile.

(ii). Toate aceste familii de multimi sint stabile la intersectii finite: (m_j)_d= m_j £j£

(iii). (m Èm È m )_s , (m Èm È m )_s , (m Èm È m )_s si (m Èm È m )_s sint algebre.

Demonstratie.(i). Toate afirmatiile sint mai mult sau mai putin imediate sau consecinte simple ale Propozitiei 8. Cum este evident ca b A s m_2j-1 s m_2j £j£7 rezulta ca va fi suficient de demonstrat ca b A Ì s m_2j £j£7. Pentru j=1 incluziunea este o consecinta a Propozitiei 8(iv) : m este baza numarabila pentru topologia de pe dreapta. Scriind (a,b)=È_n³ (a,b-1/n] rezulta ca orice interval deschis este in s m ) deci b A Ì s m ). Din egalitatea (a,b)=È_n³ [a+1/n,b) rezulta b A Ì s m ). Scriind [a,b) = (-¥,b)-(-¥,a) =[a,¥)-[b,¥) rezulta ca m Ì s m s m ) deci s m Ì s m s m ) iar cum (a,b] = (-¥,b]-(-¥,a] =(a,¥)-(b,¥) rezulta ca m Ì s m s m ) deci s m Ì s m s m

(ii). Evident. (iii). O multime din (m Èm È m )_s     este o reuniune finita de intervale marginite de tipul (a,b] si eventual de intervale nemarginite de tip (-¥,a] sau (b,¥). Complementara unei asemena multimi este de acela;i tip.