Lungimea segmentelor

LUNGIMEA SEGMENTELOR

In perioada prescolara, copiii isi formeaza o idee despre lungimi in sensul ca dau un anume continut expresiilor "mai scurt" si "mai lung". Este posibil ca unii sa fi vazut si sa fi manuit in joaca, pe langa adulti, instrumente de masura ca metrul de tamplarie sau croitorie, compasul de teren, ruleta, sublerul etc..

Scoala trebuie sa intareasca, sa ordoneze aceste idei simple despre lungimi, sa le completeze si aprofundeze, sa le ridice continuu si sistematic la nivelul teoretic prevazut de programa.

Primul pas este familiarizarea elevilor cu instrumentele de masura a lungimilor, formarea deprinderii de a manui aceste instrumente, in fond a deprinderii de a masura lungimi, formarea priceperii de a calcula cu usurinta si exactitate cu numerele ce reprezinta unitati de lungime. Acest pas este fundamental intuitiv si se realizeaza prin activitati practice si jocuri didactice atragatoare. Formarea priceperii de calcul cu unitati de lungime apare ca o aplicare a calculului cu numere zecimale si totodata, ofera o baza intuitiva pentru intelegerea numerelor zecimale. Cunostintele despre sistemul metric pun la indemana exercitii variate, cu continut bogat, care reflecta realitatea obiectiva. Pe da alta parte, aceste cunostinte permit introducerea unitatilor de arie si volum.

In clasa a V-a trebuie ca notiunea de "unitate de lungime" sa capete pentru elevi un continut precis: obiect-etalon cu ajutorul caruia se determina dimensiunile (lungime, latime, inaltime) altor obiecte. Acest continut se contureaza prin precizarea sistematica a multiplilor si submultiplilor metrului intr-un tabel (prezentat in manual) care trebuie completat de un alt tabel ce ar putea fi realizat de elevi in care sa se mearga de la submultipli la multipli. Se va observa si insista pe diverse cai pentru a se retine ca un multiplu sau un submultiplu oarecare al metrului este de 10 ori mai mic decat cel imediat superior lui si de 10 ori mai mare decat cel imediat inferior lui. Aceasta observatie ne permite sa facem usor schimbari ale unitatii de masura si sa exprimam lungimile prin fractii zecimale. Renuntam la detalierea aspectelor metodice privind predarea lungimilor pana la clasa a V-a. Asemenea detalieri pot fi consultate in manuale de metodica predarii aritmeticii.

Predarea geometriei, care incepe in clasa a VI-a, trebuie sa plece de la elemente geometrice fundamentale intre care se afla si lungimea. Subliniem ca acum apare o prima distantare de aspecte concrete, practice. Intuitia continua sa functioneze, dar ea opereaza cu reprezentari conventionale introduse prin desene pe foaia de caiet sau pe tabla. Se propune elevilor sa conceapa lungimea ca un numar asociat unui segment abstract, reprezentat prin desen, detasat de suprafata sau corpul pe care se afla. Prin aceasta se paraseste fizica si se intra in geometrie.

Rigla gradata, ca instrument de masurare, ramane concreta, obiectuala dar, desenarea ei schematizat, conventional pe caiet sau tabla langa anumite segmente creeaza premisele abstractizarii acestui instrument precum si insasi a operatiei de masurare, operatie de determinare a raportului intre unitatea de masura aleasa si segmentul masurat.

Din notiunea de lungime a segmentelor deriva doua notiuni importante: distanta intre doua puncte si congruenta segmentelor. Distanta intre punctele A si B se defineste ca lungimea segmentului inchis [AB] si se noteaza prin AB. Lungimea segmentului deschis (AB) se noteaza tot prin AB, lungime care se distinge de dreapta AB in context. Asadar, se accepta ca distanta de la A la B este in acelasi timp si lungimea segmentului deschis (AB) dar folosirea segmentului inchis [AB] este mai sugestiva pentru ca implica punctele A si B. Doua segmente (ambele inchise sau deschise) se numesc congruente daca au lungimi egale. Se atrage atentia ca doua segmente congruente pot fi neidentificabile ca figuri geometrice. Daca sunt identice se spune ca sunt egale. Deci trebuie o noua notati pentru congruenta. Se scrie pentru a spune ca segmentul [AB] este congruent cu segmentul [CD]. O data cu congruenta [AB]s[CD] se accepta si congruentele (AB)≡(CD) si [CD]≡[AB]. A doua exprima in fond simetria relatiei de congruenta a segmentelor. Cum doua segmente egale sunt si congruente, aceasta relatie este si reflexiva.

Tranzitivitatea relatiei de congruenta este dedusa usor de elevi pe baza faptului fundamental experimentat frecvent pana in aceasta clasa ca "doua egale cu a treia sunt egale intre ele", aici fiind vorba de lungimi. Chiar daca termenul de relatie de congruenta (a segmentelor) nu este folosit, consideram absolut necesar ca proprietatile ei sa fie puse in evidenta.

O atentie speciala trebuie data constructiei (aproximative cu rigla) pe o semidreapta a unui segment congruent cu un segment dat (purtarea segmentelor congruente sau depunerea segmentelor). Aceasta constructie, esentiala pentru acceptarea axiomei III.1 din axiomatica lui Hilbert, introdusa ca proprietate fundamentala , da si un anume continut propozitiei "segmentele congruente coincid prin suprapunere". Ea se foloseste aici, in clasa a VI-a, pentru tratarea geometrica a operatilor de adunare si scadere a segmentelor. Consideram ca pentru a sublinia caracterul geometric al acestor operatii este util sa introducem compasul si sa efectuam cu acesta depunerea segmentelor. Astfel ne dispensam de numere, facem constructii mai exacte decat cele cu rigla si pregatim constructiile exacte cu rigla si compasul, de mai tarziu.

In geometrizarea operatiilor de adunare si scadere a segmentelor se pleaca de la configuratia particulara: A, B, C trei puncte coliniare cu B intre A si C. Atunci lungimea segmentului [AC] este egala cu suma lungimilor segmentelor [AB] si [BC]. Se reformuleaza acest fapt astfel: suma segmentelor [AB] si [BC] este segmentul [AC] sau segmentul [AC] este suma segmentelor [AB] si [BC].

Similar, avem si AB = AC - BC ,BC = AC - AB , egalitati reformulate astfel: segmentul [AB] este diferenta intre segmentul [AC] si segmentul [BC], iar segmentul [BC] este diferenta intre segmentul [AC] si segmentul [AB]. Cazurile in care cele doua segmente nu sunt in configuratia de mai sus se reduc la aceea purtarea congruenta (depunerea) a segmentelor, preferabil cu un compas. Dupa ce se sumeaza doua segmente se extinde aceasta operatie la mai multe segmente prin asezarea lor unul dupa altul capat la capat pe o dreapta. Se arata ca segmentul diferenta poate fi construit in doua moduri si rezultatul este acelasi. Operarea geometrica cu segmente sprijina considerabil intelegerea relatiei fundamentale "a fi intre" pentru puncte, intuita numai pana acum de elevi. Ei sunt capabili sa sesizeze ca punctul B se afla intre A si C daca si numai daca punctele sunt coliniare si AB+BC=AC.

In clasele urmatoare de gimnaziu marimile segmentelor si operatiile algebrice sau geometrice cu segmente se folosesc frecvent fara insa a se mai reveni la "fundamentare", cu exceptia momentului in care se trateaza subiectul "Teorema lui Thales". In aceasta teorema intervin rapoarte de segmente. Raportul a doua segmente se defineste natural ca raportul lungimilor lor. Acesta nu depinde de unitatea de masura, cand ea este aceeasi pentru ambele segmente.

Raportul a doua segmente este un numar care in general apare sub forma cu n ≠ 0 si m, n numere naturale, deci este un numar rational pozitiv. Prin impartire se obtine forma sa zecimala care poate sa aiba un numar finit de zecimale sau o infinitate de zecimale cu o anumita periodicitate. Dar evaluarea raportului a doua segmente poate conduce si la numere care se scriu cu o infinitate de zecimale fara nici o periodicitate. Acestea se numesc numere irationale, iar segmentele care prin raportare conduc la asemenea numere se numesc incomensurabile. Un numar irational este, de exemplu, 0,10110111011110 . . Se observa usor regula de formare a zecimalelor si imposibilitatea oricarei periodicitati. Consideram ca asupra subiectului trebuie revenit dupa ce se arata la algebra ca este irational (prin reducere la absurd) si de evidentiat ca aceasta implica incomensurabilitatea diagonalei unui patrat cu latura sa.

Teorema lui Thales se demonstreaza mai intai pentru cazul rapoartelor rationale. Trebuie sa precizam ca ea are loc si in cazul in care rapoartele ce intervin sunt irationale in sensul ca daca in triunghiul ABC avem cu DE || BC cu DI(AB) si EIAC si daca raportul este irational atunci si raportul este de asemenea este irational si ele sunt egale. Demonstratia acestui fapt poate fi omisa desi ea se gaseste in manualul de geometrie clasa a IX-a una din editii fiind cea din 1995.

In continuare termenul de axioma este inlocuit cu cel de proprietate fundamentala si se urmareste mai putin sistematic modul de folosire a axiomelor in justificarea teoremelor.

Din punct de vedere teoretic palierul axiomatic in discutie arata dupa cum urmeaza.

Este normal ca axiomatica geometriei sa ia ca notiuni primare numai notiuni geometrice, iar relatiile primare sa se exprime de asemenea in forma geometrica, cu alte cuvinte in axiomatica geometriei nu-si are loc numarul real. Acesta este fundamental legat de compararea segmentelor, dar segmentele se pot compara si geometric. O asemenea axiomatica a fost edificata de D. Hilbert in 1899 si publicata apoi in cartea sa "Grundlagen der Geometrie". Axiomatica lui Hilbert satisface cele mai pretentioase conditii formulate de metateoria teoriilor axiomatice .

Intre consecintele axiomelor de incidenta, ordine, congruenta si continuitate se afla si urmatoarele rezultate (un rol esential in demonstrarea lor au cele doua axiome de continuitate):

Fie d o dreapta orientata (notiune precizata folosindu-se in esenta grupa axiomelor de ordine). Se numeste sistem cartezian de coordonate pe d o aplicatie f: d R cu proprietatile:

1) numerele 0 si 1 se afla in imaginea aplicatiei f,

2) f este monoton crescatoare,

3) doua segmente (AB) si (CD) ale dreptei d sunt congruente si la fel orientate daca si numai daca f(B) -f(A) = f(D) - f(C) .

Din aceasta definitie rezulta ca f este injectiva. Se noteaza O=f^-1(0) si E = f^-1(1) se numesc primul origine si al doilea punct unitate pentru sistemul de coordonate f: d R. Rezulta ca O<E, unde "<" noteaza relatia de ordine indusa de orientarea dreptei d. Numarul x = f(P) se numeste coordonata (abscisa) lui P. Daca PI(OE atunci x>0 , daca P coincide cu O avem x=0 si daca P apartine semidreptei complementare lui (OE , atunci x este negativ. Are loc urmatorul rezultat fundamental, a carui demonstratie are multe dificultati conceptuale (ea implica o cunoastere aprofundata a structurii campului numerelor reale, indeosebi a completitudinii acestui camp):

Fie d o dreapta orientata si O<E doua puncte fixate pe d. Atunci:

1) Exista un singur sistem cartezian de coordonate f: d R cu proprietatea f(O)=0 , f(E)=1,

2) Aplicatia f: d R este bijectiva.   

Proprietatile lungimii sau marimii segmentelor mentionate mai sus se formuleaza prin introducerea functiei masura a segmentelor ca o aplicatie m:S R₊ de la multimea S a segmentelor in multimea numerelor reale nenegative, care satisface conditiile:

a) Pentru un segment nul (AA) avem m(AA)=0 ;

b) Exista un segment nenul (AB) incat m(AB)=1,

c) Daca (AB) ≡ (CD), atunci m(AB) ≡ m(CD),

d) Daca A, B, C sunt puncte coliniare si B este intre A si C, atunci    m(AB)+ m(BC) =m(AC)

Amintim ca relatia "a fi intre" pentru puncte si relatia de congruenta sunt relatii primare ale axiomaticii lui Hilbert.

Segmentul (AB) cu proprietatea m(AB)=1 se numeste unitate de masura iar m(CD)se numeste masura sau lungimea segmentului (CD) masurata cu unitatea de lungime (AB).   

Exista o singura masura a segmentelor pentru care unitatea de masura este data a priori .Ideea de demonstratie este de a considera pe o dreapta AB un sistem cartezian de coordonate f si de a defini m(AB)= | f(B)- f(A)|.

Din punct de vedere didactic axiomatica lui Hilbert este greoaie. Nivelul ei de rigoare si abstractizare nu este accesibil elevilor de liceu, iar timpul necesar pentru a o parcurge nu poate fi gasit in programa analitica liceala. Totusi, ideea de axiomatizare este o idee fundamentala in stiinta secolului XX si deci este necesar ca ea sa fie cunoscuta de absolventii invatamantului preuniversitar . Solutia propusa a fost aceea de a se folosi pentru expunerea geometriei sisteme axiomatice mai putin complexe, cu axiome mai "tari" si deci mai putine la numar incat elevii sa ajunga repede la faptele geometrice interesante, acceptabile si utile. Din numarul mare de asemenea sisteme axiomatice, o raspandire mai larga a capatat cel construit de matematicianul american G. David Birkhoff (1884 - 1944) in 1931, indeosebi datorita prelucrarii didactice la care a fost supus .   

In sistemul axiomatic datorat lui G. D. Birkhoff se utilizeaza limbajul teoriei multimilor si se presupune cunoscut corpul numerelor reale. Lungimea unui segment (AB) se identifica cu distanta de la A la B, iar distanta se ia ca notiune primara. Cu alte cuvinte, se accepta ca oricare ar fi punctele A si B exista un numar real unic notat d(A,B) sau simplu AB care se numeste distanta intre A si B. Lungimea segmentului (AB) este d(A,B) sau AB. Reprezentarea numerelor reale pe o dreapta, exersata frecvent de elevi in clasele precedente ii determina sa accepte cu usurinta axioma riglei:

Fie d o dreapta oarecare si A,BI d, doua puncte distincte. Exista o functie bijectiva f: d→ R astfel incat: 1) f(A)=0, f(B)>0;

2) Oricare ar fi punctele P, Q pe d avem d(P,Q)=| f(Q) - f(P) |=| PQ|.

Functia f: d → R se numeste sistem de coordonate pe d, punctul A - originea lui si f(M)=x_M - abscisa punctului M.