![]() | Biologie | Chimie | Didactica | Fizica | Geografie | Informatica |
Istorie | Literatura | Matematica | Psihologie |
Matricea unei aplicatii liniare. Schimbarea sa la schimbarea bazelor
Aplicatii liniare intre spatii finit dimensionale
Fie o aplicatie liniara
intre doua spatii vectoriale finit generate peste acelasi corp comutativ K. Daca
este o baza in V si
o baza in V' atunci vectorii:
sunt in
si deci se scriu, in
mod unic, ca niste combinatii liniare de vectorii
:
S-a format astfel o matrice:
numita matricea aplicatiei liniare f in raport cu bazele din V si
din
. Aceasta matrice se alcatuieste plasand pe coloane
coordonatele vectorilor
in baza
.
Folosind matricea A,
relatiile vectoriale care exprima vectorii in functie de vectorii
se pot scrie sub forma
matriceala:
.
Matricea A este la randul ei determinata de cele doua baze.
Propozitie
Daca
;
,
atunci
Demonstratie
Scazand membru cu membru cele doua relatii rezulta:
,
unde 0 din membrul stang
inseamna matricea linie formata cu m
vectori, toti egali cu vectorul nul din spatiul . Notand
elementul generic al
matricei
putem scrie:
.
Din liniar independenta vectorilor rezulta ca:
adica prima coloana a
matricei
este nula. La fel se
arata ca si celelalte coloane ale matricei
sunt nule si in consecinta
. Q.E.D.
Utilitatea matricei unei aplicatii liniare
Fie coordonatele cunoscute
ale vectorului x din V si ne propunem sa aflam coordonatele
ale vectorului
din
folosind matricea A.
Din liniaritatea functiei f rezulta:
Pe de alta parte,.
Din unicitatea scrierii vectorului ca o combinatie
liniara de vectorii bazei
se obtine:
.
Asadar, coloana
coordonatelor vectorului se obtine prin inmultirea matricei A cu
coloana coordonatelor lui x.
Observatii
1. Rezultatul
obtinut mai sus are urmatoarea semnificatie: este suficient sa cunoastem
imaginile ale vectorilor bazei,
pentru ca sa putem deduce imaginile prin f
ale tuturor vectorilor din V.
Intr-adevar, cunoasterea matricei A
inseamna cunoasterea vectorilor
.
2. In paragraful
anterior am mentionat ca multimea a aplicatiilor liniare de la V la
are o structura de spatiu vectorial peste
corpul K. Asociind fiecarei aplicatii
liniare o matrice de tip
se defineste o functie
de la spatiul
la spatiul
al matricelor de tip
formate cu elemente
din corpul comutativ K.
Este usor de verificat ca aceasta aplicatie este liniara:
sumei ii corespunde suma
a matricelor
corespunzatoare, iar aplicatiei
ii corespunde produsul
dintre scalarul
si matricea A corespunzatoare lui f.
Observatia anterioara atesta ca aceasta aplicatie este injectiva: nu pot exista doua aplicatii liniare definite de aceeasi matrice din moment ce matricea determina aplicatia liniara care a definit-o.
Dar aceasta aplicatie este si surjectiva deoarece oricare
ar fi matricea A, de tip , relatia :
,
defineste o aplicatie
liniara de la V la .
Asadar spatiul este izomorf cu
spatiul
.
In cazul obtinem ca algebra
este izomorfa cu algebra
a matricelor patratice de ordinul n.
Formula de schimbarea a matricei unei aplicatii
lineare
la schimbarea bazelor
Din felul cum a fost construita matricea A, ea depinde de bazele din
V si
din
. Mai mult, propozitia anterioara afirma ca matricea A este chiar determinata de aceste baze.
Ne propunem sa aflam ce devine matricea A atunci cand se schimba bazele.
Fie o noua baza in V si
o noua baza in
. Sa notam T
matricea de trecere de la baza
la baza
si S
matricea de trecere de la baza
la baza
. Sa mai notam cu B
matricea aplicatiei liniare f in raport cu bazele
din V si
din V'. Din definitiile matricelor T, S, A si B rezulta relatiile:
Notam . Prin aceasta notatie precizam ca aplicarea functiei f unei matrice (linie) formate din
vectori inseamna aplicarea functiei f
vectorilor acestei matrice. Avem:
.
Sa remarcam mai departe ca vectorii matricei linie sunt combinatii
liniare de vectorii
. Cand se aplica functia liniara
f acestor combinatii liniare, ea se
aplica numai vectorilor acestor combinatii liniare, deci:
Asadar,
Dar deoarece, din propozitia
demonstrata mai sus, rezulta ca:
.
Formula de transformare a matricei unui operator
liniare
la schimbarea bazei
Daca atunci, asa cum am
precizat in paragraful anterior, morfismul f
se numeste endomorfism. El poarta numele specific de operator liniar in cazul spatiilor vectoriale.
In cazul cand f
este operator liniar (deci ) se ia, fireste, aceeasi baza in V atat in rol de domeniu de definitie al functiei f cat si in rol de codomeniu. Asadar,
si in consecinta
.
Ca urmare formula de transformare a matricei unui operator liniar al unui spatiu vectorial atunci cand se schimba baza spatiului, devine:
.
Scrierea formulelor sub forma concentrata
Fie un operator liniar al
spatiului vectorial V si
o baza in V. Notam
elementul generic al
matricei A a operatorului f in baza
.
Coordonatele unui
vector x in aceasta baza le notam , adica:
,
potrivit conventiei conform careia, daca se repeta un indice, unul superior si altul inferior, atunci se intelege sumarea dupa acel indice.
Relatia matriceala: A se scrie sub forma concentrata astfel:
.
Daca este o noua baza notam
elementul generic al matricei B a operatorului f in
aceasta noua baza, adica:
.
Notam elementul generic al matricei T, respectiv
, in care T este
matricea de trecere de la baza
la baza
adica:
.
Rezulta: . Pe de alta parte,
. Din unicitatea scrierii vectorului
ca o combinatie
liniara de vectorii bazei
rezulta ca pentru
orice indici i si l este indeplinita egalitatea:
,
care reprezinta tocmai forma
concentrata a relatiei matriceale .
Copyright © 2025 - Toate drepturile rezervate