Aplicatii liniare

Aplicatii liniare

Definitie

Fie V si doua spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K. Se numeste aplicatie liniara o functie avand urmatoarele proprietati:

(aditivitatea).

(omogenitatea).

Cele doua proprietati exprima faptul ca functia f pastreaza cele doua operatii ale structurii de spatiu vectorial, adica este ceea ce numim homomorfism, sau morfism de spatii vectoriale. Altfel spus, morfismul, in cazul spatiilor vectoriale, poarta acest nume specific de aplicatie liniara.

Din cele doua conditii din definitia aplicatiei liniare se deduce cu usurinta relatia:

,

numita conditia de liniaritate. Ea este chiar echivalenta cu cele doua conditii deoarece acestea se pot deduce lesne din conditia de liniaritate.

Aceasta relatie exprima faptul ca f pastreaza combinatiile lineare. De aceea se numeste aplicatie "liniara". Evident ca o aplicatie liniara pastreaza orice combinatie liniara, nu numai combinatiile liniare de doi vectori.

Exemple

I. Fie A o matrice de tip formata cu elemente dintr-un corp comutativ . Cu ajutorul matricei A se poate defini o functie

,

in felul urmator unde am notat cu X o matrice oarecare de tip. Tipul matricelor A si X permite efectuarea produsului A X, iar rezultatul este o matrice de tip .

Din proprietatile operatiilor cu matrice rezulta ca functia f este liniara.

Intr-adevar:

Acest exemplu dezvaluie bogatia notiunii de aplicatie liniara: orice matrice defineste o aplicatie liniara.

Consideram definita prin operatia de derivare. Proprietatile operatiei de derivare asigura ca aceasta functie este o aplicatie liniara.

La fel, functia este o aplicatie liniara.

Operatii cu aplicatii liniare

Cu aplicatiile liniare se pot defini diverse operatii.

Adunarea. Daca f si g sunt aplicatii liniare definite pe V cu valori in V' atunci functia definita prin este tot o aplicatie liniara definita pe V cu valori in

Inmultirea cu scalari. Pentru orice aplicatie liniara f definita pe V cu valori functia definita prin este tot o aplicatie liniara definita pe V cu valori in.

Compunerea aplicatiilor liniare . Daca si sunt aplicatii liniare atunci functia gf definita prin: este o aplicatie liniara definita pe V cu valori in .

Demonstrarea afirmatiilor de mai sus consta in verificarea celor doua conditii din definitia aplicatiei liniare, lucru ce nu prezinta dificultati, astfel ca este lasata ca exercitiu.

Notam multimea aplicatiilor liniare definite pe V cu valori in . Din cele de mai sus rezulta ca adunarea este o operatie interna iar inmultirea cu scalari este o operatie externa pe aceasta multime.

Daca V = V atunci in loc de se scrie (multimea endomorfismelor lui V). Pentru aceasta multime, operatia de compunere a aplicatiilor liniare este o operatie interna.

Verificand proprietatile care definesc structurile de spatiu vectorial, inel, algebra peste un corp, se demonstreaza fara dificultate urmatoarea:

Propozitie

Adunarea si inmultirea cu scalari definesc pe multimea

o structura de spatiu vectorial peste corpul K.

Adunarea si compunerea definesc pe multimea o structura de inel.

Adunarea, inmultirea cu scalari si compunerea definesc pe o structura de algebra peste corpul K. Aceasta inseamna ca pe langa faptul ca este inel si spatiu vectorial, sunt satisfacute relatiile .