Observatii asupra definirii grupului

Observatii asupra definirii grupului

Daca avem o multime M Ø, aplicatia este o lege de compozitie (interna) binara, definita pe M. Generalizand, , este o lege n-ara pe M si particularizand, pentru n=1 si n=0 avem, lege unara iar lege nulara pe M (revine la fixarea unui element in M).

Cu cele de mai sus prezente, sa supunem unei analize mai atente definitia grupului asa cum este data la nivel liceal.

D₁ Multimea G, inzestrata cu o lege de compozitie interna (binara) f, este grup daca sunt verificate axiomele (grupului):

(G₁) ;

(G₂) ;

(G₃) .

Legea f este notata: ,, sau cu orice alt simbol.

Observatia 1 Sistemul de axiome de mai sus nu este minimal deoarece, este suficient sa cerem, in (G₂), ca elementul unitate sa fie doar la stanga (dreapta), caci se poate arata ca este si la dreapta (stanga) iar in (G₃), este suficient sa consideram simetricul doar la stanga (dreapta).

Cu aceste precizari axiomele grupului pot fi formulate astfel, pentru perechea intr-o alta definitie D₂:

D₂

(G₁) ;

(G₂)

(G₃) .

Se arata ca aceasta definitie D₂ este echivalenta cu precedenta D₁. Este evident ca din prima definitie rezulta a doua. Sa aratam si reciproc, din a doua rezulta prima. Pentru aceasta fie e_s element unitate la stanga si pentru , x_s element simetric la stanga: ; atunci

.

Notam cu simetricul la stanga a lui x_s si avem:

Asa ca, pentru orice

.

Din , rezulta

pentru orice

Deci elementul unitate, respectiv simetricul, la stanga este si la dreapta, asa incat din definitia a doua rezulta prima.

Observatia 2 Legea

este o lege binara definita pe G     (la doua elemente asociaza un element - compusul lor dupa legea )

Dupa axioma (G₃), la orice x asociem un , deci avem o lege unara iar in axioma (G ) se fixeaza , care este o lege nulara. Astfel, o definitie mai "pedanta" a grupului ar fi urmatoarea:

D₃ O multime G inzestrata cu o lege de compozitie binara, una unara si alta nulara, in notatia este grup daca sunt verificate axiomele din D₁ sau D₂.

Observatia 3. In axiomele grupului mai figureaza si semnul egalitatii, care si el se defineste. Astfel, o egalitate in C:

este echivalenta cu 2 egalitati in R. Asa incat: multimea G pe care avem definita o egalitate si legile amintite, este grup daca sunt satisfacute axiomele din D₁ sau D₂.

In continuarea, ne oprim asupra altora dintre sistemele de axiome ale acestei structuri algebrice fundamentale.

D₄ O multime G, inzestrata cu o lege de compozitie interna , asociativa se numeste grup daca pentru orice , ecuatiile

,

au solutii (unice) in G.

Se arata ca D₄D₁. In adevar, din definitia D₁ - dupa (G₃) orice admite element simetric Inlocuind in , obtinem:

deci este solutie. Daca ar exista astfel incat

si

am avea

,

insa fiind simetrizabil este si regulat (simplificabil), deci

.

Prin urmare, ecuatia admite solutia unica .

In mod analog se arata existenta si unicitatea solutiei ecuatiei (care este ). Deci din D₁ rezulta D₄.

Reciproc, presupunem ca G este grup dupa D₄; atunci ecuatia are solutie unica pentru , de unde rezulta ca si ecuatia are o astfel de solutie pentru , pe care o notam cu : . Urmeaza sa aratam ca nu depinde de a. Pentru si z solutie a ecuatiei (), avem

,

de unde rezulta ca nu depinde de a si notandu-l cu e avem

. (1)

Analog, pornind de la ecuatia se considera si se demonstreaza existenta unui singur element , astfel incat

. (2)

Daca in (1) il inlocuim pe x cu si in (2) cu e, obtinem respectiv si , de unde rezulta . Prin urmare, in G, legea admite element neutru.

Din supozitia ca ecuatiile si au solutii unice in G, , rezulta ca exista elementele unice astfel ca

si . (3)

Tinand seama de faptul ca legea este asociativa si admite element neutru, folosind relatiile (3), avem:

,

prin urmare, in G fiecare element este simetrizabil. Deci si din definitia D₄ rezulta D₁: Cele doua definitii sunt echivalente.

Observatia 4. Un semigrup este grup daca si numai daca ecuatiile

si

au solutii (unice) in G, .

P. Dubreil in Algebre, Edit. G. Villars, Paris 1954 pag. 98-107, arata ca: un grupoid finit , care verifica conditiile:

Admite o unitate (bilaterala),

Orice admite un invers unic,

Este verificata regula dreptunghiului pentru forma normala:

pentru , este grup.

Profesorul Emanoil Arghiriade si Profesoara Maria Neumann, au aratat ca acest rezultat demonstrat pentru grupuri finite are loc si pentru grupuri infinite, conform definitiei:

D₅ (Arghiriade-Neumann). Un grupoid , care verifica conditiile:

Exista ("cel putin") o unitate la stanga,

;

Orice are ("cel putin") un invers la stanga,

;

este verificata regula dreptunghiului

,

pentru , este ("un") grup.

Din 1 si 2 deducem

si tinand seama de 3 , rezulta

deci, unitatea la stanga este si unitate la dreapta.

In continuare, tinand seama de 3 avem

,

deci, inversul la stanga este si invers la dreapta.

Din relatiile

rezulta

(1)

Sa aratam asociativitatea. Tinand seama de 3 avem

deci

In continuare,

(2)

si cu notatiile:

, , (conform cu (1)),

relatia (2) devine, tinand seama de

si asociativitatea e demonstrata.

Deci este grup.

Observatia 5. Intr-un grup, asociativitatea este o consecinta a axiomelor 1 si a regulei dreptunghiului.

In predare si prezentare, la diferite nivele, acceptam un anumit nivel de rigoare, asa ca, prezentarile din manuale nu sunt neriguroase, trecand peste anumite amanunte ce nu sunt necesare la nivelul respectiv. Este bine insa sa fim constienti si de cele ce nu spunem (elevilor) la nivelul respectiv cat si de ceea ce spunem redundant (in plus) si sa urcam nivelul de rigoare la cercurile de elevi sau alte activitati complementare.

Bibliografie:

1. A. Dragomir, P. Dragomir, Structuri algebrice, Editura Facla, 1981.

2. C. Nastasescu, C. Nita, G. Grigore, D. Bulacu, Manual pentru clasa a XII-a, Editura Didactica si Pedagogica, 2002.

3. E. Arghiriade, M. Neumann: Observatii asupra axiomelor grupului. Lucrarile stiintifice, Institutul Pedagogic Timisoara, Matematica - Fizica 1959.