Triedrul lui Frenét

Triedrul lui Frenét

Planul osculator al unei curbe intr-un punct al ei

Dupa cum am mentionat, in acest capitol avem in vedere in mod special curbele care nu sunt situate intr-un plan. In § 3.1 am dat ca exemplu spirala. Nu numai ca aceasta curba nu se poate aseza in vreun plan, dar nici segmente oricat de mici ale acestei curbe, riguros vorbind, nu se pot asterne intr-un plan.

Totusi, fixand un punct al unei curbei, putem pune problema urmatoare: dintre toate planele ce trec prin acest punct sa gasim pe acela fata de care curba se abate cel mai putin intr-o vecinatate oricat de mica a punctului.

Putem spune care ar fi cea mai proasta alegere: planul normal la curba in punctul . Ne apropiem de solutie alegand nu planul normal, adica cel perpendicular pe tangenta, ci, dimpotriva, un plan care contine tangenta. Deci problema se reduce la alegerea celui mai potrivit plan din fasciculul planelor ce contin tangenta in punctul la curba.

Daca P este un punct pe curba apropiat de , atunci planul cautat pentru nu difera mult de cel potrivit pentru punctul P. Dar acesta din urma contine tangenta in punctul P la curba. Asadar planul care trece prin si care pe langa vectorul tangent in contine si vectorul tangent in P va fi o aproximare acceptabila a planului cautat. Aproximarea este cu atat mai buna cu cat punctul P este mai apropiat de . Aceste consideratii conduc la urmatoarea definitie.

Definitie. Se numeste planul osculator al curbei in punctul pozitia limita, cand punctul P de pe curba tinde catre , a planului care contine tangenta in si vectorul tangent la curba in punctul P.

Pentru a gasi ecuatia planului osculator consideram un punct P situat pe curba in apropierea lui si planul care contine punctul si vectorii tangenti la curba in punctele si P, adica , unde si t sunt astfel incat: . Acest plan va contine si vectorul: . Dar, cand t tinde catre , acest din urma vector tinde catre vectorul .

In concluzie planul osculator trece prin si contine vectorii . Conditia ca un punct Q sa se afle in acest plan este ca vectorii sa fie coplanari, adica produsul lor mixt sa fie nul.

Notand coordonatele carteziene ale punctului Q, din formula de calculare a produsului mixt a trei vectori obtinem conditia pe care trebuie s-o indeplineasca X, Y si Z pentru ca punctul Q sa se afle in planul osculator, adica ecuatia planului osculator:

Reamintim ca planul perpendicular pe tangenta in punctul la curba se numeste planul normal la curba in acest punct. Toti vectorii continuti in acest plan, fiind perpendiculari pe tangenta, se numesc vectori normali la curba in punctul .

Printre vectorii normali la curba in se afla si vectorul , care este perpendicular pe planul osculator. Acest vector normal se numeste vectorul binormal al curbei in , iar dreapta ce trece prin si contine acest vector se numeste binormala curbei in . Se vede ca litera aleasa pentru a desemna vectorul binormal este initiala cuvantului "binormal". Urmand aceasta regula, vectorul , care are directia tangentei, se noteaza .

Din vectorii perpendiculari si se obtine vectorul , care este si el un vector normal, deoarece este perpendicular pe vectorul tangent. Acest vector se numeste vectorul normala principala, iar dreapta ce trece prin si contine acest vector se numeste normala principala a curbei in .

Sagetile cu sursa in reprezentand vectorii constituie un triedru triortogonal, numit triedrul lui Frenét al curbei in punctul . Versorii acestor vectori au notatii consacrate, si anume .

O data cu deplasarea punctului pe curba, vectorii acestui triedru se schimba, ramanand, fireste, un triedru ortogonal. De aceea se spune ca triedrul lui Frenét este "mobil" pe curba.

Exemplu

Sa identificam vectorii acestui triedru in cazul celei mai reprezentative curbe strambe, si anume spirala.

Figura 3.2

Reprezentarea analitica a curbei sub forma vectoriala este:

,

de unde rezulta:

,

iar

in care s-a folosit formula de calculare a produsului dublu vectorial si faptul ca produsul scalar al vectorilor si este nul.

Observam ca vectorul normala principala are directia si sensul
vectorului , iar acesta are aceeasi directie cu proiectia pe planul xOy a vectorului de pozitie al punctului de pe curba, dar sensul contrar acestei proiectii. Prin urmare normala principala a punctului P se obtine unind
punctul P cu punctul de pe axa Oz avand aceeasi cota cu punctul P.

Planul osculator este cel care contine tangenta si normala principala. Binormala este normala acestui plan.