Metoda aproximatiilor succesive

Metoda aproximatiilor succesive

Consideram f(x) = 0 ecuatie algebrica sau transcendenta care are in intervalul [a,b] o singura radacina reala δ. Notam φ(x) = f(x) + x; pentru f(x) = 0 ecuatia devine

x = φ(x). Se observa ca, daca δ este radacina ecuatiei f(x) = 0 atunci ea vafi si radacina ecuatiei x = φ(x).

Se observa ca, daca δ este radacina ecuatiei f(x) = 0 atunci ea va fi si radacina a ecuatiei x = φ(x).

Cunoscand o valoare initiala , metoda aproximatiilor succesive consta intr-un sir de iteratii:

l      Daca φ(x) este derivabila pe [a,b] si, daca, pentru , atunci sirul iteratiilor definit mai sus converge catre δ, radacina unica a ecuatiei f(x) = 0.

Dem. Consideram diferenta careia i se aplica teorema lui Lagrange: , unde

Deoarece pentru

pentru n = 0:

pentru n = 1:

.................

pentru n = k:

Rezulta .

Deoarece φ(x) este continua, rezulta, prin trecere la limita in relatia iterativa : .